一类三维人口模型的初边值问题

梁波,庞敏,张亚杰,郭大为

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连116028)

一类三维人口模型的初边值问题

梁波,庞敏,张亚杰,郭大为

(大连交通大学 理学院，辽宁 大连116028)

研究一类三维人口模型初边值问题弱解的存在性. 此模型属于四阶非线性抛物方程, 可以用来描述人口问题的增长和弥散. 方法上, 利用Laplace算子得到的特征函数系，构造了适用于Galerkin方法的逼近解, 对逼近解做一致性估计获得收敛性极限，进而获得弱解的存在性.

非线性抛物方程; 弱解; 存在性

0 引言

主要研究一类三维人口模型方程的初边值问题.为获得解的存在性,主要利用Galerkin方法.首先利用此方法构造此模型方程的逼近解,其次对构造的逼近解通过选取恰当的检验函数做一些必要的估计,进而得到逼近解的收敛性结果,最后即可证明弱解的存在性(方法上也可参考文献[1-2]).

本文研究下面三维人口模型方程的初边值问题,形式如下：

(1)

(2)

(3)

其中,QT=Ω×(0,T),T>0,Ω是R3中具有充分光滑边界∂Ω的有界区域，00,a2≠0都是常数，u0(x)是定义在Ω上的已知函数，G(s)是给定的非线性函数.

定义1 一个函数满足下列条件：

(1)u∈L2(0,T;H2(Ω)),ul∈L2(0,T;H2(Ω)′)，

∬QTa2Δuφdxdt-∬QTaΔu3φdxdt-

(4)

在L2(Ω)意义下，u(x,0)=u0(x), 则称为问题(1)～(3)的弱解.

定理1 设G∈C1(R),∀s∈R,G′(s)≤γ,其中γ为常数,G(0)=0, u0∈L2(Ω),则问题(1)～(3)存在弱解且u且u∈L2(0,T;H2(Ω)′).

1 逼近解估计及存在性

设{yj(x)}(j=1,2,…)是特征值问题

对相应特征值λj(j=1,2,…)的特征函数系,则{yj(x)}(j=1,2,…)构成L2(Ω)中的一组标准正交基. 令

是问题(1)～(3)的Galerkin逼近解,其中aNj(t)(j=1,2,…,N)是待定系数,N是正常数，则aNj(t)(j=1,2，…,N)应满足下列常微分方程组问题：

(5)

(6)

其中,(·,·)表示L2(Ω)中的内积.下面用‖·‖表示L2(Ω)上的范数.

引理1 在定理1的条件下,对任意的,问题(5)～(6)至少有一解aNj(t)∈C1[0,T](j=1,2,…,N),并有估计

(7)

其中,C(T)表示依赖于T的正常数.

证明 由经典的常微分方程解的存在性理论，可知局部解解存在唯一解aNj(t). 在式(5)中以aNj(t)为检验函数并求和有

(8)

利用分步积分有

(9)

(11)

(12)

(13)

将式(9)～(13)代入式(8)得

(14)

(15)

由Gronwall不等式知

(16)

所以式(7)成立.

引理2 在定理1的条件下,逼近解uN具有估计：

则

从而

又因为0

故ut∈L2(0,T;H2(Ω)′).

利用引理1和引理2得到的关键性估计，再通过函数列收敛和弱收敛的经典讨论(参考[4-6])，可以得到定理1的弱解存在性结果.

[1]郭金勇. 退化拟抛物方程弱解的存在性[J]. 南京师大学报(自然科学版), 2013(2): 15-19.

[2]COLEMAN B D，DUFFIN R J，MIZEL V J． Instability，uniqueness and non-existence theorems for the equations，ut=uxx-uxtxon a strip[J]． Arch Rat Mech Anal，1965，19(2):100-116．

[3]陈亚淅，吴兰成．二阶椭圆型方程与椭圆型方程组[M]． 北京:科学出版社，1991．

[4]ADAMS R A.Soblev Space [M].New Yrok: Academic Press ,1975.

[5]XU M, ZHOU S.Existence and Uniqueness of weak solutions for a generalized thin film equation[J]．Nonlinear Anal,2005,60:755-774.

[6]SOMON J. Compact sets in the space Lp(0,T; B)[J]． Ann Math Pura Appl，1987，146(1):65-96．

Initial Boundary Value Problem to a Population Model in Three Dimensional Space

LIANG Bo, PANG Min, ZHANG Yajie , GUO Dawei

(School of Mathematics & Physics, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China)

The existence of a population model in three dimensional space is studied. This model is a nonlinear fourth order parabolic equation which can describe the increase and diffusion of the population problem. For the method, an eigenfunction system is applied to construct the approximation solution for the purpose of Galerkin method. The uniform estimates of the approximate solution give the convergence limits, and then the existence of the weak solutions of the corresponding problem is proved.

nonlinear parabolic equation; weak solutions; existence

1673- 9590(2017)04- 0203- 03

2016- 07-19

国家自然科学基金资助项目(11201045)； 辽宁省教育厅高等学校科学研究计划资助项目(JDL2016029);辽宁省自然科学基金指导计划资助项目(20170540136)

梁波(1980-),男，副教授，博士，主要从事偏微分方程的研究E- mail:cnliangbo@163.com.

A