关于内幂零群结构定理的一个注记

王玉婷， 郝成功

(山西大学 数学科学学院， 山西 太原 030006)

关于内幂零群结构定理的一个注记

王玉婷， 郝成功

(山西大学 数学科学学院， 山西 太原 030006)

研究了极小非平凡的群作用. 将域F上有限维向量空间线性变换不可约的等价条件推广到初等交换p-群上， 再结合极小非平凡作用的定义, 得到了Hall-Higman简化定理的充要条件形式， 从而给出了极小非平凡作用的另一种刻画， 利用此种刻画探讨了p-群的一个p′-自同构何时在Frattini商群上的诱导作用不可约， 重新证明了Schmidt定理.作为上述两个结果的综合应用， 给出了内幂零群结构定理的一个新的描述和简化证明.

内幂零群； 极小非平凡作用； 不可约； 自同构

0 引 言

本文所使用的符号术语大部分是标准的， 可参考Isaacs的群论教程[1-2].

设G为有限群， 如果G的每个真子群均为幂零群， 但其本身不是幂零群， 则称G为一个内幂零群.这是非常重要的一类临界群， 有关临界群的系统研究， 可参考陈重穆的专著[3]， 本文对此不展开讨论. 1924年， Schmidt首次研究了内幂零群， 因此内幂零群在很多文献中也被称为Schmidt群， 在很多群论教科书[4]中均有关于内幂零群的结构描述， 但并没给出完整的刻画.事实上， 关于内幂零群有很多学者都做了深入的研究[5-13]， 如何立国[5]证明了当内幂零群正规Sylow子群中元为广义中心元时， 其为超可解， 并且给出了内幂零群中心的几个性质； 王坤仁[6]给出了内幂零群的若干充分条件； 李千路[7]证明了广义极小非幂零群可解； 罗驰[8]讨论了内幂零群的正规Sylow子群的换位子群， 确定了换位子群的一个生成元集. 直到2005年， Ballesterbolinches A等[14]利用极小非PST群类的定理， 最终得到了内幂零群结构的完整刻画， 但该证明比较复杂.

本文从一个新的角度给出了内幂零群结构定理的简化证明.特别地， 我们将从线性代数和分裂域的角度， 给出p元域上n维向量空间的可逆线性变换为不可约的充要条件， 以此为主要技术， 再结合改造的Hall-Higman简化定理， 最终得到内幂零群定理的初等证明.

本文第一个主要结果是将经典的Hall-Higman简化定理加以改进， 获得其充要条件形式， 从而得到了极小非平凡作用的一个刻画.

1)Cp(A)=Φ(P)， 其中Φ(P)为P的Frattini子群；

2)A在P/Φ(P)上的诱导作用不可约.

作为定理1的应用， 我们可得到下述内幂零群结构定理的一个简化证明.

定理 2 设G为有限群， 则G为内幂零群当且仅当下述三个条件同时成立:

2)CQ(P)=Φ(Q)，CP(Q)=P′， 其中Φ(Q)为Q的Frattini子群；

3)d(p)=ordq(p)， 其中d(p)为P的最小生成元个数，ordq(p)为满足同余方程pr≡1(modq)的最小正整数r.

值得指出的是， 我们给出的定理2的表述， 与经典的内幂零群结构定理(见本文中Schmidt 定理)相比， 用数论条件3)替代了原先的不可约条件(即Schmidt定理中的“Q在P/P′上的作用不可约”条件)， 这在技术和应用上都是很便利的， 有一定的价值和意义.

1 定理及证明

我们先给出一些基本概念及结论.

定义 1 设φ∈EndF(V)是域F上有限维向量空间V的一个线性变换， 如果V的φ-不变子空间仅有0和V本身， 则称φ是V的一个不可约线性变换， 也称V是φ-不可约的.

下面是不可约线性变换的一个刻画.

引理 1 设F为任意域，V是F上的一个有限维向量空间，φ∈EndF(V)为V的一个F-线性变换， 则V是φ-不可约的当且仅当φ的特征多项式在F上不可约.

证明 设dimV=n，c(x)为φ在V上的特征多项式.

先证充分性.假设c(x)不可约. 任取W⊆V为φ-不变非零子空间， 再取W的一组基ε1,…,εk， 并将其扩充为V的一组基ε1,…,εk；εk+1,…,εn， 则φ在这组基下的矩阵为

其中,A为k×k阶矩阵，B为(n-k)×k阶矩阵，D为(n-k)×(n-k)阶矩阵. 从而

c(x)=|xEk-A|·|xEn-k-D|,

式中：Ek和En-k分别表示k阶和n-k阶单位矩阵. 因为c(x)不可约， 故而必有k=n， 即W=V， 因此V是φ-不可约的.

再证必要性.假设V是φ-不可约的.设c(x)=c1(x)c2(x)为一个非平凡分解， 则Vc1(φ)是一个φ-不变子空间， 从而有Vc1(φ)=0或Vc1(φ)=V. 对于后一种情形，Vc2(φ)=Vc1(φ)Vc2(φ)=0.所以， 不失一般性， 假设Vc1(φ)=0. 设degc1(x)=m， 则必有m

W=span{v,vφ,…,vφm-1}

是一个φ-不变子空间， 且1≤dimW≤m

其次， 我们考虑基域F=GF(p)为p元域的情形， 其中p为素数. 设m为正整数， 使得(m,p)=1. 再设E为多项式xm-1在F上的分裂域， 熟知E/F为Galois扩张， 并且Galois群

Gal(E/F)=〈σ〉

为循环群， 其中σ如下定义

σ∶E→E,σ(a)=ap,

σ为E的Frobenius自同构， 这些都是域论中的经典结果， 细节可见文献[15]. 若令

|E∶F|=o(σ)=r,

则熟知r为满足同余方程

pr≡1(modm)

的最小正整数， 即r=ordm(p)为p模m的阶.

我们需要的是引理2的下述推论.

引理 3 设V为初等交换p-群， |V|=pn， 并且α∈Aut(V)的阶o(α)=pe， 其中q≠p为素数， 则α在V上不可约当且仅当n=ordqe(p).

证明 因为V是pn阶初等交换p-群， 故可视为p元域F=GF(p)上的向量空间， 其线性结构由其加群结构所决定， 并且dimF(V)=n. 因此， 如果α∈Aut(V)， 则α可视为V上的可逆线性变换. 根据上述引理2即得所证结论. 证毕.

本文将研究极小非平凡作用， 为此先回顾一下相关概念.

定义 2 如果有限群A在有限群G上的作用是非平凡的， 但在G的每个A-不变的真子群上的作用都是平凡的， 则称A在G上的作用为一个极小非平凡的作用.

有了上述准备， 即可证明本文的主要定理.

定理1的证明 充分性. 因为Φ(P)

从证明过程不难看出， 上述定理条件下总有Φ(P)=P′， 据此可得定理1另一个等价形式.

1)CP(A)=P′；

2)A在P/P′上的诱导作用不可约.

使用定理1， 我们先给出内幂零群结构定理的一个简洁证明.

Schmidt定理 设G为有限群， 则G为内幂零群当且仅当G满足下述两个条件:

1) |G|=paqb， 其中p,q为互异素数，a,b≥1. 若取P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G)， 则P◁G,Q循环；

2)CQ(P)=Φ(Q)，CP(Q)=P′， 并且Q在P/P′上的作用不可约.

证明 充分性. 假设条件1)， 2)成立， 下面证明G为内幂零群.

首先， 由条件CQ(P)=Φ(Q)

i) 若Q1

ii) 若Q1=Q， 则P1

必要性. 根据文献[16]第四章的定理4.2可知条件1)成立， 下面证明条件2)成立.

假设G为内幂零群， 则PΦ(Q)

现在使用引理3， 进一步改进Q在P/P′上的作用不可约的条件， 即证定理2.

定理2的证明 充分性. 根据引理3， 由条件3)可知Q在P/P′上的作用不可约， 再根据上述Schmidt定理， 即证G为内幂零群.

必要性. 若G为内幂零群， 则根据Schmidt定理， 知条件1)和2)均成立， 并且Q在P/P′上的作用不可约， 此时再利用引理3， 即证条件3)也成立. 证毕.

[1]Isaacs I M. Finite Group Theory[M]. Rhode Island: American Mathernatical Society Providence， 2008.

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[14]Ballesterbolinches A， Estebanromero R， Robinson D. On finite minimal non-nilpotent groups[J]. Proceedings of the American Mathematical Society， 2005， 133(12)： 3455-3462.

[15]聂灵沼， 丁石孙. 代数学引论[M]. 第2版. 北京： 高等教育出版社， 2000.

[16]徐明曜. 有限群导引(上册)[M]. 北京： 科学出版社， 1987.

A Note on the Structural Theorem of Minimal Nonnilpotent Groups

WANG Yu-ting， HAO Cheng-gong

(School of Mathematical Sciences， Shanxi University， Taiyuan 030006， China)

Minimal nontrivial actions were studied. The equivalent conditions of irreducibility of linear transformations of finite dimensional vector spaces over a fieldFwere generalized to the elementary abelianp-groups. Combining with the concept of minimal nontrivial actions, a necessary and sufficient condition of Hall-Higman’s theorem was obtained. As a corollary, a new characterization of the minimal nontrivial actions was given. This new characterization was applied to study when the induced action of ap′-automorphism of ap-group on the Frattini quotient is irreducible. Furthermore, a new proof of Schmidt's theorem is obtained. As a consequence, a new criterion (with a simplified proof) of minimal nonnilpotent groups is developed.

minimal nonnilpotent group; minimal nontrivial action; irreducible; automorphism

2016-08-12

山西省自然科学基金资助项目(201601D011006)

王玉婷(1991-)， 女， 硕士生， 主要从事群论的研究.

1673-3193(2017)02-0099-04

O152.1

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.02.001