浅谈数形结合法在高中数学中的应用

游绍斌

摘要：数学是研究空间形式与数量的科学，高中数学是综合研究空间形式与数量的科学。而在高考数学的考察中，数形结合法是研究空间和数量的最重要的研究方法之一，是帮助高中学生解决抽象数学问题的有效方法。使用数形结合法是可以使复杂的数学问题化繁为简，化抽象为具体，从而帮助学生更加高效地解决数学问题。

关键词：高中数学；数形结合；重要性；应用及效果

数形结合法是高中学生在数学解题中掌握的最基本最重要的方法之一，学生通过数与行之间的转化，对问题的理解更加深入，更加透彻。纵观近几年来数学高考试题，数形结合法的应用无处不在，它已经成为学生解决问题的思路之一。本文就数形结合法在高中数学中的应用进行了简单的阐述与说明。

一、数形结合法在高中数学中的重要性

华罗庚先生在总结数形结合法的重要性时说过一句话：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”，这一句话充分地说明了数形结合法的重要性。高中数学的难度较大，题目种类繁多，内容错综复杂，学生掌握起来的难度较大，毫无目的性地做题不仅会消耗大量的时间，反而会降低学习效率。因此，学生必须要掌握解题的方法，节省解题的时间，提高学习效率。高中数学的大部分题目都是数与形结合综合考察的题目，对于学生的解题能力要求较高，学生必须掌握专门的解题方法才能解题。数形结合法是解决数与形结合类题目的最好出发点，通过数形结合能大大提高解决数与形结合类的题目效率，打开学生的思路。另外，在古代，数学家们就认为数与形不可分家，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。随着数学学科的发展，这种数学解题思想也被延续下来并发展壮大，尤其是高中学生经过一定的数学训练，掌握了一定的数学基础知识，拥有了数学自学能力，对于数学也有了自身的理解，学生对于“数形结合法”的应用更是轻车熟路，也成为学生解决问题必备的方法之一。同时，近几年在高考试卷中，数形结合法占的比重就显得非常突出，对于学生综合应用数与形的能力也提出了更高的要求，数形结合法已经成为高中数学必不可少的一部分。

二、数形结合法在高中数学中的应用及其效果

（一）解决方程与不等式问题

在解决方程问题时可以将方程的解看作两个图像的交点，利用数形结合法进行求解，简化方程繁琐的计算步骤，节省方程的化简时间。不等式问题在解决时同方程问题一样，可以将不等式的解与图形相结合，将不等式的大小关系通过图形反映出来，这样会使不等式更加直观地反映出来，有利于学生更加清晰地进行思考与解题。比如说在求解2x?+6x-3≥0的根时，可以先利用二次方程的性质将二次方程反映在图形中，在根据图形中所反映的问题进行求解，这样一来根的求解会更加透明，更加便于理解。通过数形结合法将方程与不等式问题进行简化，在高考数学紧迫的答题时间中，有利于節省学生的答题时间，从而为学生的思考赢得更多的时间。

（二）解决集合类问题

高中数学的集合类问题涉及到元素与集合的关系，集合的表示方法，集合的真子集与子集以及集合等较多较为抽象的问题，高中学生对于集合类问题在之前的数学课堂中也从未涉猎，学生初次理解较为困难，学习难度较大。这时采用数形结合法会让学生直观地了解集合问题，更加深入地挖掘集合知识。在解决集合问题的过程中，将集合问题图形化，将抽象问题简单化，更加高效地吸收与理解集合知识。比如在描述集合的子集与真子集的问题时，学生仅仅通过言语感知很难真正理解它们的真正含义。但是，利用数形结合法将集合的子集在图形中列视，学生通过图形去理解知识，从而会更加深刻，对于集合的理论知识与性质记忆也会一目了然。数形结合法在解决集合类问题中是必不可少的，同时也是解决集合类问题最高效率的方法。因此，教师应督导学生在解决集合类问题时应用数形结合法，从而取得数学学习的进步。

（三）解决三角函数类问题

三角函数类问题是高考数学的必考内容，其重要性不言而喻。由于三角函数的性质较为复杂，数形结合法在三角函数中的应用较为广泛。首先其可以简单快捷地判断三角函数的周期，比如判断函数f（x）=tanx÷sinx最小正周期时，可以利用数形结合法先对函数进行化简，再画出图像，函数的最小正周期一目了然，不仅提高了解题效率还节省了解题时间。其次数形结合法可以帮助比较一些较难计算的函数值的大小。在高中数学的解题过程中，经常会出现比较函数值大小的问题，学生在遇见此类问题时，如果是经过计算即可简便得出结论的三角函数值，学生不会浪费过多的时间耽误解题进度，但是大部分的三角函数值同普通的函数值是不同的，三角函数值一般无法直接经过计算得出，这时就需要采用数形结合法来对三角函数值进行比较，从而得出结论，快速高效地解决问题。比如在比较三角函数sinx与cosx在[0，π╱2]的大小时，通过计算根本无法解决问题，这时将数形结合法应用其中，便可以很快得出答案。同时，在三角函数中利用数形结合法可以直接判断出函数的单调性与计算出三角函数的值，三角函数的单调性与一次函数不同，它不可以直接通过函数表达式根据函数的性质得出，必须要画图结合公式才能求解，而部分三角函数的值也必须要通过数与形的结合才能得出结果。在三角函数中利用数形结合法解题，大大提高了解题效率，解决了三角函数中通过繁琐计算解决浪费时间的问题。

（四）解决线性规划问题，简化思路

线性规划通常作为高考的中档难度的试题出现，考察形式多种多样。因此，考生在解决此类问题时必须要掌握一定的技巧与方法，提升解决此类问题的速度，为紧张的高考数学答题赢取更多的时间，进而提高分数。数形结合法在线性规划中主要用来解决不等式组中求平面区域或者取值范围。比如求取不等式组3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9表示的平面区域类的问题，涉及到此类的线性规划时，教师应当提醒学生注意应用数形结合法解题，同时为学生总结此类问题的解决方法。

三、结束语

数形结合法是高中数学重要的解题方法之一，教师应为学生做好题型的总结与概括，提醒学生注意应用数形结合法解题，要让学生通过数与形的转化真正理解数形结合法解题的奇妙，体会数形结合思想所带来的解题便利，从而让学生提高数学解题的速度与正确率，提高高考数学学科的成绩。