初高中数学思想的衔接性研究

杨文+李毅

【摘 要】 随着数学课程标准和教材对数学思想渗透的重视，初高中数学思想教学衔接性问题进一步加剧.影响初高中数学思想教学衔接性的因素有：教师对初高中数学课标内容要求重视和理解不够；初高中数学教师间交流不够；初高中数学教师在教学中对数学思想挖掘不够；初高中数学教师对教育本质认识不够.改善初高中数学思想教学衔接性的建议是：加强对初高中数学课标的认识；加强初高中数学教师间的交流；加强对教材知识、习题的深入挖掘；转变教育教学观念.

【关键词】 初高中；数学课程标准；教材；数学思想；衔接性

1 问题的提出

数学思想是数学知识的精髓、灵魂，它是对数学本质的理解和认识，是数学学习的根本目的.重视数学思想的教学，在数学教学中注重数学思想的渗透，是提高个体思维品质和数学素养、发展智力的关键所在，也是现代社会对人才培养的基本要求[1].正因为如此，高中数学课程标准一再强调高中学生必须在九年义务教育数学课程标准的基础上，做到具有必要的数学基础知识、基本技能以及基本数学思想.在此，对初高中数学教材中数学思想的衔接性问题进行梳理显得很有必要，对进一步提高教师对数学思想教学的重视程度也有积极意义.（以调研区北师大版初中数学教材和人教版高中（必修）为例）

2 初高中课程标准中数学思想的衔接性

《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》（以下简称义务教育标准）和《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称高中标准）在总体目标中都指出让学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想和必要的应用技能.”这说明了数学思想在基础教育阶段的重要性.表1就两种课标中提到的数学思想加以列举比较[2].

从表1中，可以看出对初高中数学教学中数学思想渗透的重视，而且在数学思想的衔接上呈现出基本一致的整体性和螺旋上升的延续性.这就为教师在教学过程中对数学思想的渗透提供了理论基础和规范性.

3 初高中教材中部分主要数学思想的衔接性

3.1 初高中教材中字母代替数思想的衔接性

用字母代替数思想是初高中数学中最基本的數学思想之一，也是代数的基本特征，它可以把数或数量关系简明而普遍地表现出来，也可以使一些复杂的运算变得简单，这是发展符号意识，进行量化刻画地基础，也是从常量研究过渡到变量研究的基础[3].

初中案例1 （七年级上册第99页）你在心里想好一个两位数，将十位数字乘以2，然后加3，再将所得新数乘以5，最后得到的数加个位数.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数.你知道其中的道理吗？

解 设你心里想好的两位数的个位数字和十位数字分别是a和b，按照运算步骤，最后结果为10b+15+a，因此只要把计算结果减15，得到的数就是你心中想好的两位数.以上例题，运用字母代替数的数学思想，用字母把数量关系表示出来，简化了题目的解答，揭示了题目的本质.

高中案例2 （《中学数学解题》第134页）

求证：2549>49！.

解析 要证2549>49！可证n+12n>n！（n∈N）.

因为n+12=n（n+1）2n=1+2+3+…nn

>n1×2×3×…×n

1+2+3+…nnn>1×2×3×…×n=n！

n+12n>n！，

n=49，得49+1249>49！.

以上例题，用字母n代替数字，即可证得2549>49！.

3.2 初高中教材中方程与函数思想的衔接性

函数思想一般就是指构造函数继而利用函数的性质去处理问题，整理出函数解析式和灵活运用函数的特点是把握函数思想的关键.方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.二者是密不可分的.

初中案例3 （九年级下册48页例2）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少时，客房日租金的总收入最高[4]？

解 由题意，设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为W，得： W=（160+10x）（120-6x）=-60（x-2）2+19440，当x=2时，这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）.

答：当每间客房的日租金提高到180元时，客房收入最高，最高为19440元.以上例题，将得到的数量关系看作二次函数，进而配方求值.

高中案例4 （高三某复习资料）椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且AP=3PB.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求m的取值范围.

解 （1）略.（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m，

2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，Δ=4（k2-2m2+2）>0，x1+x2=-2kmk2+2，x1·x2=m2-1k2+2. 因为AP=3PB.所以-x1=3x2，3（x1+x2）2+4x1·x2=0代入整理得k2（4m2-1）+2m-2=0，所以k2=2-2m24m2-1>0，

解得-1 3.3 初高中教材中转化与化归思想的衔接性

转化与化归思想就是将原问题进行变形，使之转化为熟悉的或已解决的或易于解决的问题，即可获得原有问题的解决，解题过程就是不断转化的过程：化繁为简，化难为易，化生为熟，从而使问题得以解决.

初中案例5

解方程组：x+y+z=23， （1）

x-y=1，（2）

2x+y-z=20.（3）

解 由方程（2）得x=y+1， （4）

把（4）代入（1）（3），得2y+z=22， （5）

3y-z=18.（6）

解由（5）（6）组成的二元一次方程组，得y=8，

z=6.

把y=8代入（4），得x=9.（摘自北师大版八年级上册130页例）以上例题，将三元一次方程组转化成二元一次方程组，再转化成一元一次方程，进而求得解.

高中案例6 （高中数学第二册（上）第27页例1）已知a、b、c、d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：ac+bd≤1.

证明 设b=sinα，a=cosα，c=cosβ，d=sinβ；则ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1.

以上例题，运用转化思想，将其转化成三角函数，进而证明.

3.4 初高中教材中数形结合思想的衔接性

数形结合就是以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形.它包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.两方面有机结合才是完整的数形结合.数学大师华罗庚曾经说过，数离形时少直观，形离数时难入微.

初中案例7 （八年级上册第7页数学理解第2题）1876年，美国总统加菲尔德利用如图1验证了勾股定理.你能利用它验证勾股定理吗[4]？