用函数关系求解初中数式规律型问题探索

梁翔

【摘要】本文阐述了建立函数关系式求解初中数式规律型问题的方法，教师在指导学生解答数式规律型问题时，要为学生创造认知冲突以加深学生的印象，循序渐进地教学，及时帮助学生巩固所学知识，提高学生能力。

【关键词】初中数学 函数关系

数式规律型问题

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）06A-0122-02

一直以来，全国各地的中考试题中都出现探究规律性的问题，探究规律性的问题考查了初中生的数学基础知识、基本技能、应用能力等，是中考命题中不可缺少的部分；探究规律性问题的特点是：通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动，得到问题的结论。这类问题，因其独特的规律性和探究性，对学生分析问题、解决问题的能力提出了很高的要求；对许多考生而言，完成该类问题的难度较大，能力一般的学生基本选择放弃；此类考题编排顺序一般比较靠前，考生一旦受挫就会影响应考情绪，继而影响到数学学科的成绩，甚至影响学生的总体成绩。如何提高探究规律性的问题的教学有效性是毕业班指导教师都感到困惑的问题。

探究规律性问题常见的类型有：（1）数式规律型；（2）图形变化规律型；（3）坐标变化规律型；（4）数形结合规律型等。规律性问题是有规律可循的，数式规律型问题中存在着函数关系。近几年来，笔者尝试通过求函数关系式的思路来求解规律通式并将其运用在教育教学中，笔者所指导的学生在中考中应对规律性问题时得分率在90%以上，特别是数式规律型问题基本上没有失分，在此将探究数式规律型问题的教学方法的感受与大家分享。

筆者在教学时，首先给学生展示了例1（2015·天津北辰区；一模）：如图1，用火柴棒拼成一排由三角形组成的图形；若拼成的图形中有n个三角形，则需要火柴棒的根数是（ ）

图1

A. n+2 B. n+3

C. 2n-1 D. 2n+1

在平时的教学中，教师会用学生熟悉的从特殊到一般的归纳方法来解决这类问题，具体的方法如下：

观察图形中的数量关系，列出表格，如表一：

表一

通过观察两个变量的关系、从数理关系归纳和验证得到结论：当有n个三角形时，火柴棒的根数为2n+1，故答案为：D。

该方法对学生的已有认知而言是比较抽象的，学生掌握的难度也比较大。如果用求函数关系式的思路来解决此问题，学生理解起来就会简单和直观多了。方法如下：

（1）确定变量：该问题有两个变量，即三角形个数和火柴棒根数，设三角形个数为自变量x，火柴棒根数为函数y；

（2）取特殊点：

当x=1时，y=3，即（1，3），

当x=2时，y=5，即（2，5），

当x=3时，y=7，即（3，7），

当x=4时，y=9，即（4，9）；

（3）确定函数类型：通过描点、连线，观察图象发现该函数属一次函数类型，如图2；

（4）建立y与x的函数关系，设：y=kx+b；

（5）用待定系数法求得关系式：y=2x+1；

（6）检验关系式，确定当有n个三角形时，火柴棒根数为：2n+1；故答案为：D。

这种解决问题的方法是在利用从特殊到一般的归纳方法的基础上融入了函数关系式的思路，除了比较直观、简单易懂外，还可以帮助学生建立解决此类问题的模型，培养学生的函数思想与建模思想。

接着，笔者给学生出示了例2（2016·重庆巴蜀）：如图3，每个图形都由同样大小的正方形按照一定的规律组合而成，其中图形①的面积为6cm2，图形②的面积为18cm2，图形③的面积为36cm2，…，那么图形⑥的面积为（ ）

A.84cm2 B.90cm2

C.126cm2 D.168cm2

笔者首先让学生使用他们比较熟悉的用从特殊到一般的归纳方法来解决此问题，学生大多列表如下：

但是学生很难归纳出图形面积的变化规律，就算是笔者也很难直接观察表格得出结论，应试当中的学生更是难以解决该问题。

笔者在教学实践中发现：当两个变量之间没有明显的和、差、倍数关系时，若想直接通过观察数理关系归纳出结论非常困难，但是如果利用建立函数关系模式来求解就容易得多了。

于是，笔者建议学生使用例1中的构建函数关系式的方法求解例2，并适时给予学生提示，具体解决过程如下：

（1）确定变量：该问题有两个变量，即序数和图形的面积，设定序数为自变量n，图形的面积为函数S；

（2）取特殊点：

当n=1时，S=6，即（1，6）；

当n=2时，S=18，即（2，18）；

当n=3时，S=36，即（3，36）；

当x=4时，S=60，即（4，60）；

（3）确定函数类型：通过描点、连线，观察图象发现该函数属二次函数类型，如图4；

（4）建立函数关系：设S=an2+bn+c；

（5）用待定系数法求得关系式：S=3n2+3n；

（6）检验关系式，确定第n个图形的面积为：3n2+3n；

则n=6时，S=126，故答案为：C。

在此教学过程中，笔者首先为学生创造了认知冲突——让学生意识到用从特殊到一般的归纳方法难以得出例2的结论；接着，笔者引导学生使用建立函数关系式的方法解答例2，不仅求解过程简单、快速，而且学生容易接受。该教学过程是成功的，既让学生掌握了解题方法，又培养了学生的函数思想、举一反三的能力。

笔者趁热打铁，给学生出示了练习3（2015·江苏江阴）：观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，7，…，将这列数排成下列形式：记aij为第i行第j列的数，如a23=4，那么a87是 .

在巡视时，笔者惊喜地发现大多数学生已经掌握了用建立函数关系式求解规律问题的方法，并且还产生了不同的解题方法，具体如下：

方法一：先求ann的通式（如下方框内的数）：

用类似例2的方法可求得通式：ann=n2-n+1，

则a88=82-8+1=57，由距阵中横向数列的特征可得：a87=56。

方法二：可以先求出an（n-1）的通式（如下图方框内的数）：

用类似例2的方法可求得通式：an（n-1）=n2-n，

则a87=82-8=56。

当然，每种规律性问题都存在其独特性，并非所有的规律性问题都可以用求函数关系式的思路来求解规律通式；但因一些数式规律型问题存在某种函数关系，可以用建立函数关系式的思路来求解规律通式。通常可构建解决这类问题的模型：设序数为自变量，序数对应值为函数；取特殊值，描点、连线，确定函数类型；求出关系式则可得规律通式；通过检验来确定通式的准确性。

教师在平时的教学中应当多关注学生，了解学生的难点所在并有针对性地进行训练，帮助学生突破难点，提高学生的能力。

（责编 刘小瑗）