解题的层次性表现及其应用

2017-07-25河南省平顶山市第一高级中学467000祝要辉

中学数学研究(广东) 2017年11期

河南省平顶山市第一高级中学(467000) 祝要辉

解题的层次性表现及其应用

河南省平顶山市第一高级中学(467000) 祝要辉

1 解题中表现的层次性

读刊偶得一题:在平面直角坐标系xOy中对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c).若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1,P2,被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.

(I)求证:点A(1,2),B(−1,0)被直线x+y−1=0分隔;

(II)若直线y=kx是曲线x2−4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;

(III)动点M 到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E,求证:通过原点的直线中,有且只有一条直线是E的分隔线.

本题中理解“点被直线分隔,直线为曲线的一条分隔线”是解题的关键,第(I)和(II)小题帮助我们进一步理解了概念,难度不大,过程略.对于第(III)问多数学生无从下手,部分学生可能会设点M(x,y),根据题设得到E的方程|x|=1(x0)就没有思路了,少数学生可能进一步发现,因为x=0不满足上述方程,且“以−x代换x方程不变”可知曲线关于y轴对称,所以x=0是曲线E的一条分隔线,以下就不知道该怎么办了.

图1

这里,研读“直线为曲线E的一条分隔线”的概念,就会产生这样的解题心向:一是有一条曲线E的分隔线;一是过原点的其它直线都不是曲线的分隔线,在解题心向的驱使下,促使我们直觉判断:直线x=0是不是曲线E的一条分隔线(学生的解题实践表明确实有部分学生做了肯定判断);另一方面,假设直线y=kx是曲线E的另一条分隔线,代入E得方程|x2+(kx−2)2|·x2=1有解.这其实就是解题的第一层次性表现—策略性(或方向性).在数形结合思想引领下有:方程x2+(kx−2)2=有解,在同一坐标系中作出函数y2=与y1=x2+(kx−2)2的图象,如图1,它们总有交点,即直线y=kx与E有公共点,与分隔线的定义矛盾.在函数方程思想的引领下有:方程(k2+1)x4−3kx3+4x2−1=0有解,也就是函数f(x)=(k2+1)x4−3kx3+4x2−1在某一区间上有零点,只有两个端点函数值之积小于零即可,这时从简单入手,f(0)= −1<0,f(1)=(k+2)2>0,f(2)=16(k−1)2+15>0,所以方程f(x)=0在区间(0,2)上有解,即直线y=kx与E有公共点,直线y=kx不是曲线E的分隔线.等等,这就是解题的第二层次性表现—思想性(或方法性).

在上述解题过程中,譬如设点M(x,y),建立等量关系化简得到E 的方程将E的方程等价转化为方程等等,这些都是解题的第三层次性表现— 技能性(或具体性).

2 解题层次性表现分析

处理一个问题时,我们一般先对问题做一个粗略的思考,在优化知识体系下知识会产生正迁移,就能确定出解题的最终目标,再借助数学思想(函数方程、数形结合、转化化归和分类讨论)逐步深入问题的实质,同时还要确保不偏离解题目标,最后在操作层面灵活运用各种解题技能解决问题.如果把这个思考问题过程再明确一点的话,也就是解题的三层次性表现:第一层次性表现,策略性的解决问题,明确解决问题的方向性,确定解题目标;第二层次性表现,思想性的解决问题,借助数学思想方法,在解题目标的指引下解决问题;第三层次性表现,技能性的解决问题,利用各种解题技能完成操作层面的解题过程.

3 解题层次性表现应用

应用1(2016年高考江苏卷14题)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinB sinC,则tanAtanB tanC的最小值是___.

层次性解决①策略性层面解决.初读题目,似乎很熟悉,是一道形式简洁的三角题,已知条件中涉及的三角函数名称只有正弦,而结论中是正切,从策略层面可以确定通过“切化弦”找到解题努力的方向,也就是找到齐次式,结合条件“锐角三角形ABC”有sin(B+C)=2sinB sinC,即sinB cosC+sinC cosB=2sinB sinC,tanB+tanC=2tanB tanC.

②思想性层面解决问题.再次细读题目,结论要求的是“C的最小值”,结合等式“tanB+tanC=2tanB tanC”的结构特点,根据函数思想就可以建立一个函数.