数学问题与数学发展

刘明月

【摘要】数学，其本质就是一种产生问题和解决问题的活动，一个问题的解决又常常是新的问题的起源.数学家们认为任何问题都是可解的，只是时间早晚的事情.各种问题的一次次的解决，促进了数学的不断发展.而同时数学理论的发展也加速了实际研究的进程.历史的演变总是可以帮助我们认识到问题的难点和数学上的伟大突破的，学点儿数学发展史绝对有助于理解抽象难懂的数学.

【关键词】数学问题；数学发展；数学应用

数学，其本质就是一种产生问题和解决问题的活动，这些问题可以是容易的或是困难的、肤浅的或是深刻的、理论的或是实用的、纯粹的或是应用的……问题之多之杂无穷无尽，一个问题的解决又常常是新的问题的起源.时至今日，数学中已解决的问题和尚未解决的问题还是非常之多.

数学家们认为任何问题都是可解的，只是时间早晚的事情.这就是希尔伯特在巴黎的演讲中说的：“对于研究者来说，相信每一个问题都有一个解答，这种信念是一种强有力的激励.在我们的心中，我们听到永恒的召唤，这里有一个问题，让我们找到它的解答.我们单靠理性就能找到它，因为在数学中，没有任何不可知.”[4]对于各种问题的一次次的解决，促进了数学的不断发展.

数字大概起源于“结绳记事”等生活的需要，但数学起源于数千年前人们对于天文学的研究.在记录星体、预测未来的过程中，出现了最早的天文学演算.其中，美索不达米亚人关于太阳运行的数学模型，对于现今的数学建模都有着很大的启发.如果假设太阳沿黄道匀速运动，优点是模型简单、易于使用，但缺点是不够精确.在数学建模中，常常会在使用方便和推算结果的精确之间权衡取舍，就如同鱼与熊掌不可兼得一样.

希腊人使用几何来研究自然，而美索不达米亚人运用算术和原始的代数研究自然，所以，数学最初的两个分支就是几何和代数.人们往往容易对几何学的描述感兴趣，如达·芬奇的守恒定律是体积守恒定律，关于行星运动的开普勒第三定律本质上是面积守恒定律等.[3]但逻辑算术在很多时候更有利于简化运算、提高效率.随着数学的发展，几何学已经还原为数学分析，数学分析已经还原为算术，现在康托尔及费雷格证明算术转而还原为集合论，也就是还原为纯粹逻辑.[3]在此过程中，数学在几何和代数的基础上又衍生出了众多分支.其中，无穷级数和其他“无穷过程”的引入，对西方科学技术的发展产生了深远的影响.而西蒙.史蒂文是第一个在无穷小分析中进行由几何到算术的转变的数学家.而无穷小分析，就是微积分的雏形.

历史的发展促进了数学在社会各个领域的应用，这些应用也进一步丰富了数学的发展和分类.在文艺复兴时期，绘画巨匠们的作品之所以如此栩栩如生，正是由于他们掌握了透视的基本方法，这导致射影几何学的诞生.大航海时代，自然推动了地图、海图绘制技术的发展，它反过来也推动人们了解曲面的几何学.[1]同样，工程画现已成为了工程技术人员的通用语言.随着客观世界的不确定性的大量出现，概率和统计也应运而生.尽管概率论有着并不光彩的出身，但赌徒的问题毕竟使数学家建立起系统的理论，而且有着越来越多的应用.

抛开数学领域的各种分类，就数学本身而言它具有两面性.一面朝内，面向人类的理念世界和抽象世界，代表数学的纯粹性，完全关注学科的创造成果，试图知道和理解它们是什么（即数学的理论性）；一面朝外，面向客观世界和物质世界，从而构成应用数学，其动机是功利的，目标是看能用这些创造成果做什么（即数学的应用性）.[4]

人们往往会认为自然科学和物理科学要比数学更为容易一些，这主要是源于数学的纯粹性（即其理论性）.自然科学和物理科学所描绘的世界是具体的，是人们能够感知的，人们通过一些技术手段甚至能够达到二级近似；而纯粹数学所描绘的世界则是由理念构成的抽象世界，只能通过心灵来感知.[2]

好在数学在其产生和发展过程中还有其重要的应用性，从而促进或刺激了数学的各个分支不断地向前深入发展.例如，实际应用时的计算问题促进了算术的发展；农业生产中的面积等问题刺激了几何学的发展；物理学中的各种数学应用直接导致数学分析的发展……而且伴随历史的发展，人们在实用与功利的动机推动下，不断地去发展着这些领域的数学理论，从而产生了很多令人意想不到的结果.

实际问题的解决促进了数学理论的发展，反之，数学理论的发展也加速了实际研究的进程.尤其是进入20世纪以来，数学在理论性和应用性两方面的彼此助长更为明显.除了一些像物理学、天文学、建筑工程等已经较为完善的科学领域外，数学还在一些像计算机科学、生物学、经济学等新兴科学领域崭露了头角.而物理科学当之无愧是产生数学与应用数学最重要的领域，如，它推动了纽结理论、泛函分析和张量演算的不断发展，而这些理论又成为弦论、量子力学和广义相对论中的重要理论依据.最优化、一般均衡理论和博弈论的创立解决了经济上的很多问题，而纽结理论则解决了生物学上的一些困扰了很久的难题.20世纪50年代，冯诺伊曼在研究细胞自动机理论时，受到数学计算理论中一种技巧的启发，从而制造出了一台自己能复制自己的機器.而近代计算机的出现则是对数学之恩惠的最大报答之一，计算机的应用和发展从根本上改变了人们的日常生活.就如同无线电波实际上是解微分方程的产物一样，数学发展的结果是如此深刻，超出了一般人的理解.同时，社会选择论的出现和发展，表明即使对看上去不太适合做形式分析的人文科学，数学也大有用武之地.

缺少必要的数学就会带来太多的臆测；离开数学，就会缺少一个共通的、没有歧义的语言来表达思想；离开数学，区分有用的思想和没用的思想变得困难了很多.所以，达·芬奇在追求潜在原理的确定性时相信：不以数学为基础的知识就不可能存在确定性.正是像达·芬奇、牛顿一般的数学家们使得数学和基于数学的科学、技术推动了历史，使数学变成须臾不可离的东西.而数学的实质在于有一套提出问题和解决问题的普遍理论及方法.

数学的学习已然成为当今学生头上的一座大山.虽然数学学习本身并没有什么坏处，但是很多人根本用不上他们所学的数学知识，也没有掌握数学的思维方法，在理解新的数学知识时仍然感到十分困难.更糟糕的是，很多学生失去了学习数学的动力和兴趣.如果一个人单单是为了应付考试才去硬着头皮学习数学，那肯定是痛苦且不长久的.那么，到底有没有既能培养学生学习数学的兴趣、又能提高学生对于数学的理解力的方法呢？有！那就是学点儿数学发展史.历史的演变总是可以帮助我们认识到问题的难点和数学上的伟大突破的，而教科书却很少详细地阐述什么是重要的，什么是不重要的.只有懂得了这些，才能说是懂得了数学.学点儿数学发展史绝对有助于理解抽象难懂的数学，例如，数学与量子力学和相对论是平行发展的，对学习者会有很大启发.

【参考文献】

[1]吴赣昌.微积分（上）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.

[2]郭运瑞.高等数学[M].西安：西安交通大学出版社，2010.

[3]塔巴克.数学和自然法则[M].北京：商务印书馆，2009.

[4]皮耶尔乔治·奥迪弗雷迪.数学世纪[M].上海：上海科学技术出版社，2014.