谈谈空间想象能力的培养

苏文祥

摘要 空间想象能力是中学数学传统三大能力之一，高中的立体几何课程是培养学生空间想象能力的重要栽体。现行的课程标准教材在内容编排顺序、教学要求等方面做很大的改变，但课程对空间想象能力的培养要求并没有降低，课标强调通过对几何图形、几何体的观察、直观感知、操作确认、实验推演、分析归纳来培养学生的空间想象能力。本文在空间几何的直观操作的层面给出了作者的经验做法，为培养学生空间想象能力展示了一种可操作的实践方法。

关键词 教学 几何直观 空间想象能力 培养数学能力

三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形、发展几何直观能力、发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力是高中阶段数学课程的基本要求。本文探讨在高中立体几何教学中培养学生的空间想象能力问题。

1空间想象能力的概述

空间想象能力是中学数学传统三大能力之一，历来受到教师和学生的重视。空间想象能力是指通过观察、触摸，以及实践经验得到的一种能思考物体形状、位置的能力，是对空间图形的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。具体来说，就是通过观察研究所给图形，能迅速合理地把握它的基本几何元素及它们之间的相互关系，能将文字语言和符号语言按照画法规则绘制出相应的空间图形，从而转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行分割、补全、折叠、展开、整合等各种变化，能从复杂的图形中区分出基本图形，甚至在无图的情况下根据条件想象出空间图形的直观形象并进行基本图形的识记、再现和思考。

2高中立体几何内容的分析

2.1高中立体几何内容呈现的特点

高中原立体几何教材是从点、直线和面开始，讲述平面及其基本性质、几何元素的位置关系和相关的公理、定理和性质，再研究由他们组成的几何体，是按照从局部到整体的思路安排的，特点是逻辑关系严谨。但这种安排被认为是有悖于学生的认知规律，造成高中立体几何难学。现行的课标教材则打破这种逻辑安排，先从对空间几何体的整体感受入手认识常见的几何体，如柱、锥、台、球等，或者更细化的长方体、四面弹等，然后再研究组成空间几何体的点、直线和平面。

2.2高中立体几何的教学安排

高中立体几何教学分三步。第一步，必修课程中数学2的“立体几何初步”，主要通过直观感知、操作确认，获得空间几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质；第二步，选修系列2中的“空间向量与立体几何”（理科要求），这是对于立体几何初步的进一步提升，借助空间向量处理立体几何中的位置关系、数量关系等；第三步，选修3系列和选修4系列，如选修4-1的“几何证明选讲”等，但由于高考对选修系列3不作要求，所以在中学数学教学中并非所有的学校都能够完全开出此类选修课程，不能不说是一个遗憾。

2.3高中立体几何学习的分层

新课程标准降低了几何证明的要求，且对证明的要求也是逐步分层提高的：

层次1：必修2中的“立体几何初步”对几何体的认识，依赖学生的直观感受，不作任何的推理要求；

层次2：以长方体为载体、其他几何体的实物模型、生活中的实际例子，对照此图形或者模型进行观察、操作实验和说理，引入合情推理；

层次3：严格的推理证明，如证明线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理等。

层次4：在选修2-1的“空间向量和立体几何”引入向量坐标，用空间向量处理空间中角问题和距离问题，使几何问题代数化，使几何问题的处理多了一种方法，对立体几何的认识也多了一个视角。

对于立体几何的学习，为了达到各个层次的要求与目标，课程标准也给出了基本方法：通过对几何图形、几何体的观察、直观感知、操作确认、实验推演、分析归纳出相应层次的结论，即相关的几何性质定理。

3高中立体几何的教学策略

3.1立体几何教学应遵循学生的认知规律

教师在立体几何教学中要遵循“直观感知-操作确认-思辨论证-度量计算”的规律，设计相关的教學活动，充分利用观察、思考、探究等教学过程展开学习研究活动。比如，可以以长方体作为直观载体学习空间几何元素的位置关系，按照观察、操作确认，用精确的语言进行描述，再将判定定理、性质定理进行严格的论证，然后对相关的几何度量进行计算等。

通过观察、思考、探究等教学环节，让学生在学习的过程中发挥自主探索精神，认识和掌握空间图形的性质，积累数学活动经验，发展空间观念和推理能力、空间想象能力。

3.2立体几何教学要突出几何直觉

立体几何教学强调几何直觉，就是把空间观念的建立和对空间想象能力的培养置于突出的位置。图形的直观，不仅为学生感受、理解抽象的数学概念提供了有力支撑，而且有助于培养学生的合情推理和演绎推理的能力。

无论是空间几何体的结构，还是他们的三视图、直观图、表面积、体积，都涉及大量的空间图形、平面图形，以及他们之间的相互转化。没有这些图形的直观演示而让学生凭空掌握理解是不现实的，必须突出学生的几何直觉。因此教师要积极引导学生从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形，再以长方体为载体，直观认识空间元素的位置关系，抽象出概念，用数学语言表述性质与判定。

3.3立体几何教学要适当使用信息技术

在立体几何教学中，利用信息技术工具，可以帮助学生建立空间观念，提高学生的空间想象能力和几何直观能力。比如展示丰富的实物图片，让学生抽象出几何体的及其结构特征；或者态展示空间几何体，这样能很好地帮助学生认识立体几何图形与平面几何图形的关系。因此，应该适当使用信息技术，帮助学生学习立体几何的内容。

4空间图形的直观操作举例

因为空间想象能力涉及这些复杂的认知、操作、推理过程，所以尽管学生从小学开始接触空间图形，但到了高中阶段，还是有一部分学生的空间想象能力不够强。笔者认为在模块“立体几何初步”的授课中，借助一些经典的题目，对提高学生的空间想象能力有一定的帮助。

4.1把空间图形倒过来

笔者教数学必修2模块“立体几何初步”时，在开始阶段总拿一小题目来做一个测试。

题目1：正方体ABCD-A1B1C1D1如图1，请学生想象一下，（1）过A1、D1、C、B四点“切一刀”，切下来的下半部分是什么形状？（2）如果接着再过D1、D、B三点“切一刀”，切出来的两个部分各是什么形状？

想象不出“第一刀”结果的学生，在往后的立体几何学习过程中表现出困难重重；而能迅速准确答对“第二刀”所得到的两个多面体的形状的学生，就是那些在往后的学习中表现出良好的空间想象能力的学生。所以这个小测验往往成为了解学生空间想象能力比较有效的依据。笔者教的2014级有一个学生就是一个经不起“第一刀”的学生，小测试过后他来诉苦：老师，我看那些图都是平面的，怎么也“立”不起来；我好像完全没有空间想象能力啊！但当他站在我面前看到我备课本上图形时惊呼：图形现在会“立”起来了！他是站在我的对面与我相向的，我意识到这可能是因为有些人更容易“看懂”视线是从左往右看的图形（图2）中的空间关系。这件事使我想起自己念小学时遇到镜面反射成像与钟面指时关系的问题，每当难确定镜像中的时间读数时，就把页面翻过来看就解决问题了（如果页面能够透光的话）。也许对一部分学生来说，学习立体几何也需要这种“倒过来”看的窍门。

4.2把不动的变成动的

立体几何中的一些几何体本身就是通过运动产生的，如球、圆锥、圆台、圆柱等，课本在描述圆锥、圆台、圆柱之间的关系时也是通过运动的方式来串通的。让学生把握好空间几何中的元素的运动来研究它们的关系，能培养学生的空间想象能力，现举一例。

题目2：过△ABC所在平面a外一点P，作OP⊥a，垂足为O，连接PA、PB、PC。

（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則点O是AB边的_点；

（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的_心。

这是在人教A版高中数学必修2模块第67页的练习2的一部分。学习了圆锥的概念学生就知道，除了通过直角三角形绕一直角边旋转得到圆锥外，也可以过一个圆的圆心作这个圆面的垂直线，垂足为P，点P沿着垂线在平面的其中一侧作远离平面的运动，此时点P与圆周上的点连接，就能得到一个圆锥，这些连接的线段就是圆锥的母线。由本题中的（1）、（2）的条件PA=PB=PC可知PA、PB、PC可以看作圆锥的母线，结合其余条件，就可以轻易解决这两个问题。这个解题过程充分运用了运动的思想，学生一旦掌握这种处理问题的方法，有助于提升他们的空间想象能力，让他们解决这类问题表现出良好的空间想象能力。

4.3把空间图形切开来

学习立体几何，学生都懂得要把立体图形问题转化为平面图形的问题来解决。但这个转化对一部分学生来说，会因为空间想象能力不够强而变得无法完成，他们的难点是不知道如何“操作”实现转化。也许，学生比较熟悉把立体图形各个面展开，或者在立体图形的表面、内部画辅助线，但其它方面的操作显得无从下手。如果老师在适当时候给予他们点拨，有助于培养他们的空间想象能力。

题目3：如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则P到各顶点距离的不同取值有（ ）

A.6个 B.5个 C.4个 D.3个

题目本身不是很难，比较常见的方法是定量计算点P到各个顶点的距离，这里的困难是如何确定点P的坐标，只要取适当的棱长，经过几步简单运算，可以容易得到B选项为正确答案。如果教师仅这样处理这道题目的教学本无可厚非，但却失去了一次培养学生空间想象能力的机会。

这道题能否不通过计算来解决呢？答案是肯定的。首先引导学生把点P和其它的8个顶点“放到”某些平面内，怎么放？继续引导——点P在对角线BD1上，现在把问题转化为把对角线BD。和其它的8个顶点“放到”某些平面内。这就来到了解决问题的关键的地方，原来点P和其它的8个顶点可以确定的平面太多，现在对角线BD1和其它的8个顶点确定的平面只有3个，并且只需3个过对角线BD1平面就可以把8个顶点都包含了。进一步引导学生找出这3个平面，容易找到它们（图4）分别是平面ABC1D1、平面BCD1A1、平面BB1D1D。如果设正方体的棱长为1，则它们是全等的以1、2为邻边的矩形，由此容易知道PA=PC=PB1，PD=PA1=PC1，另外还有两种距离PB和PD1，故B选项为正确答案。这里解决几何体的“内部”问题用的具体操作方法是过对角线BD1把几何体切开，突破学生空间想象能力提升的瓶颈。

4.4把图形放在大环境中

空间想象能力比较高层次的体现是对空间图形添加辅助图形或对图形进行分割、补全、折叠、展开、整合等各种变化，能从复杂的图形中区分出基本图形，甚至在无图的情况下根据条件想象出空间图形的直观形象并进行基本图形的识记、再现和思考。

题目4：同题目3。

要把空间图形放在某个大环境中考察，跳出问题去研究问题会得到不同的解决问题的途径。前提是要我们对空间图形的基本图形、基本图形内部的点线、点面、线线、线面、面面的位置关系非常熟悉。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1交平面AB1C于点P、交平面A1C1D于点Q，由以前所学的知识容易知道，BD1是平面ABIC、平面A1C1D的垂线，P、Q是对角线BD1的三等分点，P、Q也分别是△AB1C、△A1C1D的外接圆圆心，显然PA=PC=PB1，PD=PA1=PC1，另外线段PB和PD1不等，并且两者均与以上距离不等。

一般来说，结合学生的实际情况、教学的具体环境，借助合适的情景、问题来发展学生各种能力。本文的几个案例远远称不上是解决问题的有效方法，仅仅是笔者的些许经验而已，期盼抛砖引玉，得到大家的指导。