分形上函数的Hs-导数

王司晨，龙伦海

(海南大学 信息科学技术学院，海南 海口 570228)

分形上函数的Hs-导数

王司晨，龙伦海

(海南大学 信息科学技术学院，海南 海口 570228)

设E是实数集R中一个要s-紧集，利用其本身的离散结构和s-维Hausdorff测度分别给出了E上实值函数的Hs-导数的定义、性质、求导法则以及导数中值定理等，对此建立了分形上一元函数的导数理论.

s-紧集； Hausdorff 测度；Hs-导数； 中值定理

一元函数的微积分是大学数学分析和高等数学课程的主要内容，具有一套完善的理论体系，其中最主要的连续、一阶导数和一重积分(包括不定积分和定积分)是建立在一维实空间即实数集R上的.是否可以在实数集R中一个小数维s-紧集[1]E上建立一元函数的微积分理论体系，文献[2-3]讨论了实数集中分形上的L-拓扑和Hs-拓扑的相关理论，文献[4]讨论了实数集中分形上函数的连续性，文献[5]研究了分形上函数的Hs-积分的基本理论.因此笔者主要讨论E上函数的Hs-导数理论，首先给出了Hs-导数的定义及性质，然后得出了Hs-导数的运算法则，最后研究了E上函数的导数的Hs-中值定理.

1 s-紧集上函数的Hs-导数的定义及性质

若F是欧氏空间上的一个有界闭集，且其s-维Hausdorff测度介于0与+∞之间，称F为一个s-紧集.设E是实数集R中的一个s-紧集，为了避免平凡性，不妨假设0

定义1 1) 如果E中的一个点满足存在该点的一个邻域(即包含该点的一个开区间)与E的交集的s-维Hausdorff测度为零，则称该点为E的一个Hs-孤立点.

2) 如果E中的一个点满足该点的任何一个右邻域都与E的交集的s-维Hausdorff测度严格大于零，且存在该点的一个左邻域与E的交集的s-维Hausdorff测度为零，则称该点为E的一个Hs-右内端点；同样可定义E的Hs-左内端点.

3) 如果E中的一个点满足该点的任何一个邻域都与E的交集的s-维Hausdorff测度严格大于零，则称该点是E的一个Hs-内点.

根据E中点的分类的定义1，当x0是E的Hs-内点时，J(x0)只包含x0；当x0是E中的Hs-左内端点时，x0是J(x0)中的最小点；当x0是E中的Hs-右内端点时，x0是J(x0)中的最大点；当x0既是E的左端点又是E的Hs-右内端点时或者既是E的右端点又是E的Hs-左内端点时，J(x0)只包含x0；当x0既是E的左端点又是E的Hs-孤立点时，x0一定是J(x0)中的最小点，其最大点一定是E中的Hs-右内端点；同样当x0既是E的右端点又是E的Hs-孤立点时，x0一定是J(x0)中的最大点，其最小点一定是E中的Hs-左内端点.因此当x0不是E的Hs-内点时，J(x0)的最大点和最小点中至少有一个是内端点，其他点一定是E中的Hs-孤立点.

设f(x)是s-紧集E上的一个以x为自变量的一元实函数,给出f(x)在E上的Hs-连续的定义.

根据定义2中E上的所有L-连续函数的四则运算和复合运算保持Hs-连续性不变，所有Hs-连续函数一定在E上具有有界性、最值性、介值性和一致连续性等很好的性质，即E上的Hs-连续函数的值域为一闭区间.

给出E上函数f(x)的Hs-导数的定义.

1) 当x0是E的Hs-左内端点时，若极限

2) 当x0是E的Hs-右内端点时，若极限

3) 当x0是E的Hs-内点时，若函数f(x)在x0处的Hs-左导数和Hs-右导数都存在且相等，则称函数f(x)在x0处的Hs-导数存在，称该共同的极限值为f(x)在x0处的Hs-导数，记为f(1,s)(x0).

几何解释：从定义3可以看出，当x0是E的Hs-内点时，由于自变量x在E内从x0的左边变化到右边的过程中，x与x0为端点的闭区间与E的交集的s-维Hausdorff测度严格大于零，且x越接近x0，该Hausdorff测度值越接近于零，对此便可以将该Hausdorff测度值来代替通常的一元函数的导数的定义中的x与x0之间的长度，来得到f(x)在x0处Hs-导数的定义，因此Hs-导数值f(1,s)(x0)表示函数f(x)在x0处的函数值的改变量随自变量x在E中的Hausdorff测度的改变量的瞬时变化率.

给出E上的函数f(x)在E中除了Hs-内点之外的其他点的Hs-可导性和Hs-导数的定义.

1) 当x1和x2中只有一个是E的Hs-内端点时，若f(x)在J(x0)上是常函数，并且f(x)在x1和x2中的内端点处的单侧Hs-导数存在，则称f(x)在x0处是Hs-可导的，其Hs-导数值f(1,s)(x0)定义为f(x)在x1和x2中的内端点处的单侧Hs-导数值.

由定义4可知，如果x0不是E的Hs-内点且J(x0)包含不止一个点的情况下，当f(x)在x0处Hs-可导时，f(x)在J(x0)中的每一点均Hs-可导，且Hs-导数值都等于f(1,s)(x0).

定义5 设f(x)是E上的实函数.

1) 若函数f(x)在E中的每一点处都是Hs-可导的，则称f(x)在E上Hs-可导，其Hs-导函数记为f(1,s)(x)或者(f(x))(1,s)，当f(1,s)(x)是E上是Hs-连续函数时，则称f(x)在E上是Hs-连续可导的.

2) 如果f(x)在E上Hs-导函数f(1,s)(x)继续是Hs-可导的，则称f(x)在E上的二阶Hs-导函数存在，用f(2,s)(x)表示，同样用f(n,s)(x)表示f(x)在E上的n阶Hs-导函数.

定理1 若函数f(x)在E上是Hs-可导的，则f(x)是E上是Hs-连续函数，即Hs-连续是Hs-可导的必要条件.

例1 E上的常函数f(x)是Hs-可导的，并且f(1,s)(x)=0.

2 s-紧集上函数的Hs-导数的运算法则

由函数的Hs-导数的定义和实数集上一元函数的求导法则，不难得到如下的四则运算求导公式.

设f(x)和g(x)是E上的2个Hs-可导函数，有

(f(x)±g(x))(1,s)=f(1,s)(x)±g(1,s)(x)，

(f(x)g(x))(1,s)=f(1,s)(x)g(x)+f(x)g(1,s)(x)，

定理2 设u=f(x)是Hs-可导函数，g(u)是f(x)的值域(闭区间)上的一个一阶连续可导的函数，有

((g°f)(x))(1,s)=g′(f(x))·f(1,s)(x) .

g(f(x2))-g(f(x1))=g′(ξ)(f(x2)-f(x1))，

其中，ξ介于f(x1)和f(x2)之间，

对等式取x2-x1→0就可得到定理2的结论.

证毕.

定理3 设u=f(x)是Hs-连续可导函数，其值域为[c,d]，则唯一存在一个从[0,Hs(E)]到[c,d]上的一阶连续可导可逆函数g(u)，使得f(x)=(g°h)(x)，其中h(x)=Hs(E∩[a,x])为例2中恒等函数在测度空间(E,Hs)上的一个分布函数，a为E的最小点.

((g°h)(x))(1,s)=g′(u)h(1,s)(x)=g′(u) .

证毕.

利用定理3和复合函数的Hs-求导法则，就有E上函数的Hs-导数的计算公式

f(1,s)(x)=g′(h(x)) .

3 s-紧集上函数的Hs-导数的中值定理

由于Hs-导数的罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况，因此只给出Hs-导数的拉格朗日中值、柯西中值和泰勒公式.

定理4 设a,b是s-紧集E的最小和最大值点，u=f(x)是Hs-连续可导函数，

证明 由定理3可知，存在从E到[0，Hs(E)]上的Hs-连续可导函数h(x)和一个从[0,Hs(E)]到f(E)上的一阶连续可导可逆函数g(u)，使得f(x)=(g°h)(x).由于

因此只需对g(u)在闭区间[0,Hs(E)]上使用拉格朗日中值定理和复合函数的Hs-导数的求导法则即可得到定理4的证明.

证毕.

f(x0+Δx)=f(x0)+f(1,s)(ξ)h(x0+Δx) .

另外可由定理4得出以下推论

推论1 1)E上的Hs-连续可导函数f(x)的Hs-导函数f(1,s)(s)≡0的充分必要条件是f(x)为常函数.

2)E上的满足f(1,s)(s)≡g(1,s)(x)任意2个Hs-连续可导函数f(x)和g(x)之间只相差一个常数.

定理5 设a,b是s-紧集E的最小和最大值点，f(x)和g(x)都是Hs-连续可导函数，且g(1,s)(x)在E内无零点，

证明 构造辅助函数

f(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)，

可验证得f(a)=f(b)，因此只需对f(x)使用定理4便可得到定理5的证明.

证毕.

则在E中存在严格介于x0和x0+Δx之间的点ξ使得等式成立,其中，R(Δx)=f(n+1,s)(ξ)hn+1(Δx)和对任意0≤k≤n+1，

证明 作辅助函数

然后对函数重复使用n+1次定理5的结论即可证明定理6.

证毕.

[1]FalconerKJ.FractalGeometry:MathematicalFoundationsandapplications[M].Chichester:JohnWilley&Sons, 2003.

[2] 龙伦海，梁莉，单家俊. 直线上子集的Hs-拓扑及其应用[J/OL]. 数学杂志，2017,37(2)：401-408.

[3] 龙伦海，何勇，梁莉. 分形上的拓扑及其性质[J]. 海南大学学报:自然科学版,2014，32(2)：102-110.

[4] 梁莉，龙伦海，何勇. 实数集中分形上函数的连续性[J]. 海南大学学报:自然科学版,2015，33(2)：15-19.

[5] 朱莉红. 分形上函数的积分[D]. 海口：海南大学，2014.

Hs-derivative of Function on Fractal

Wang Sichen, Long Lunhai

(College of Information Science and Technology, Hainan University, Haikou 570228, China)

In the report, ifEis as-compact set in the real number set, the discrete structure ands-Hausdorff measure were used to obtain the definition, property, derivation method and derivative of the mean value theorem of theHs-derivative on the real function inE, and a function on fractal geometry derivative theory was established.

compacts-set; Hausdorff measure;Hs-derivative; the mean value theorem

2017-01-16

海南省自然科学基金 (113003)

王司晨(1993-)，女，安徽天长人，海南大学 2014 级研究生，研究方向：分形几何，E-mail：18789266226@163.com

龙伦海(1965-)，男，重庆大足人，教授，博士,研究方向：分形几何，E-mail：13118900189@163.com

1004-1729(2017)02-0095-05

O 174.12

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0017