每个困难都是向上的台阶（下）

张思明

硕士研究生毕业后，我选择了回学校工作。我希望自己做一个基础教育岗位上平凡但不平庸的老师。

我曾在自己的班里做过一项调查，题目是“在你们心目中数学是什么？”，一个学生写道：“数学是一些居心叵测的成年人为学生挖的陷阱！”另一个学生也有同感：“数学是一些仅仅出现在课本和试卷上的，让某些老师看着学生崴脚而感到窃喜的东西。”学生的“黑色幽默”令我感到震惊、悲哀，原来我们这些尽心力教学的老师在学生心目中，无非是一些挖坑布雷的高手，而数学竟被视为老师惩治学生的工具。从那时起，我开始重新审视自己的数学教学，不再满足于自己数学专业知识的娴熟，也不再满足于学生能安静地听数学课，而是需要思考我们要给学生怎样的数学和数学教育？

跟我学数学，孩子们觉得数学“好玩儿”

我国的数学教育具有基础扎实、训练严格的传统优势。但知识面窄、形式刻板、重理论轻应用的倾向也是现实问题。很多数学教师常常把主要精力放在知识点的传授上，然后让学生进行大量的反复训练，以为这样就能让学生掌握数学。但忽视了告诉学生这些数学知识的来源、应用，知识点没有了“源”和“流”，没有了生命力。实际上，数学不仅仅是“思维的体操、皇冠上的明珠、理工科的基础”，还是表达和交流的语言，它承载着思想和文化，是现代文明的重要组成部分，是文明人的标志性素养，成为人才必备的核心竞争力。

作为数学教师，如何让学生通过高中数学课程的学习，学会用数学眼光观察世界，感悟数学与现实之间的关联；用数学思维分析世界，学会用数学解决实际问题，积累数学实践的经验；用数学语言表达世界，学会交流与合作，加深对数学内容的理解，提升应用能力，增强创新意识和科学精神？这是我们的努力方向。只有让学生感受到数学与生活的密切联系，让他们学会自己提出问题，逐步学会解决问题，让学生了解数学的源和流，要让学生感觉数学可亲、可用，才能产生学习的兴趣，这才是学习的内动力。

在课堂上，我让学生接触并解决一些有真实感的应用问题，使学生觉得数学有用。比如：结合函数的学习，调查银行现行利率，计算若干年后可能的存款收益；等差数列求和与实物堆垛；排列组合与自行车变速原理；购买“平安保险”到底是亏还是赚？电视塔的高度与覆盖面的问题，足球射门问题，等等。在课外，我经常组织学生到大自然中去“玩”。我把学生带到北京近郊的关沟山谷，让他们测量一块叫“仙枕”的大石头的体积；每人采集一味中草药；判断一棵银杏树的雌雄并找到它的配偶，以此推算银杏树的传粉半径；用相机拍下古迹并判断它们的年代；用曾经讲过的分形知识，找出具有“生物全息现象”的植物学生们体验了游玩的快乐，也培养了解决实际问题的能力。

在我的引领下，学生们在“玩”中感受了从生活中发现数学问题的乐趣，开始在学数学、用数学方面表现出空前的主动性与热情，尝试着提出和解决生活中的数学问题。一个学生说：当我们凭自己的知识和智慧成功地解决了一个实际问题时，我们的喜悦心情绝对不亚于得第一、拿满分。张老师让我们体会到数学的魅力与学以致用的乐趣。

“数学好玩”，这是国际数学大师陈省身老先生致中国少年数学论坛开幕的题词。筒单的四个字折射出他的數学情怀。不愧是大师，望百之人，在参悟了人生百味后，又回复了童心童语——好玩儿；与科学相伴终身的他老人家，竟把最复杂、应用最广泛的科学，用最筒单的语言向垂髫幼童介绍——好玩儿！

玩也是我们的“问题源”，“实验”也是我们的研究手段，比如用数学实验的方法探索计算器的“不动点”，学生的好奇心被充分调动起来。其实这里面蕴含着“极限”的思想。因此，这是介绍极限知识时很适合的引入材料。在我的鼓励下，所教的两个班中，有四位学生经过自己的探索写出了“不动之数”等多篇数学小论文。实际上，学生的这些发现还可以在学习极限、用递推关系求解超越方程、了解不动点和混沌理论时发挥很好的作用。这些发现有很好的数学背景，教师可以利用它们引导学生更快地走近现代数学。

跟着我学数学，学生们真的感受到了数学的“好玩”。其实，只要学生觉得数学好玩，他们就会玩好数学。数学也在期望着，在它的宫殿里，不要只是愁眉不展的苦修者，更多的应该是快乐的、幸福的，觉得数学真正好玩的研究者。为了让我和学生把数学“玩”得更深刻、更有味儿。

尊重每一个学生，是我做建模教学的核心理念

从1992年起，我又开始尝试在中学开展数学建模的教学实践与探索。

我在中学开展数学建模，起步阶段是从国外引入了一些数学建模的教材，把它们翻译过来，加工后逐步引入中学数学教育。有了应用国外建模案例的经验，我对数学建模的认识不断提高，同时也深深感到，在我们的数学教育中应开发出适合学生使用的本土化建模问题。20多年来，我与我的研究团队一起，与我的学生一起，花费大量的时间和精力，寻求、开发了应用数学问题，积累了几十万字的资料和求解报告，其中多项案例被国家《高中数学课程标准》和高中数学教材选用。我把数学建模引入中学数学教学的做法，在全国数学教育界产生了广泛影响，我的学生200多人次在美国西屋“Inter”大赛、全国创新大赛，北京市数学知识应用竞赛中获奖。

做建模“问题意识”是关键。课堂上，都是老师给问题，学生被动地做教师提供的问题。而我特别在意把学习的机会、权利和责任还给学生。做建模的开始，老师和学生都提不出可做的问题，我就采取现场激发的办法。一组组问题在相互激发的状态下，很快就被提出来了，不少问题成为学生实际进行数学建模学习的素材。

小李同学通过观察分析发现：人在一个规则的铺满地板砖的地面上，蒙上眼睛行走，踩线（地砖缝）的可能性大小，与行人所穿鞋的几何尺寸以及地砖相对尺寸有关，通过几何概率模型他找到了两者之间的关系。论文的第一稿已经不错了，但我还是希望他进一步挖掘造成理论计算和实际统计结果之间误差的原因，小李同学经过进一步细致观察和查阅文献，发现“人在全盲状态，在一块开阔地上，在朝一个方向走的意念下，实际行走的轨迹不是直线，而是一个大圆”，从而较好地解释了论文中误差产生的原因，论文的第二稿又进了一步。但我还是对他说，你的工作做得不错，但到现在还停留在“解释世界”的层面，能不能提高到“改造世界”的层面呢？小李同学带着这样的要求又继续观察，他在动物园的儿童乐园里，看孩子们玩碰碰车，车带着一个像无轨电车一样的长导电杆与顶棚相触，车的动力电源靠全金属的顶棚供应。这时小李同学联想到自己的研究结果，如果把顶棚换成金属网格，导电杆与顶棚接触部分的尺度超过网格的宽度，就像一只大鞋踩在小的地板砖上，不管碰碰车在什么位置，导电杆都会与金属网格接触，从而导电，这样既节省金属材料，降低造价，还能改善采光、通透和视觉效果。他把这种想法写进了小论文，这个结果在北京市当年的某项论文竞赛中获一等奖。

尊重每一个学生，给他们提供更多的发展机会，是我做建模教学的核心理念，特别是一些学业成绩不出色的学生。学生在课堂学习中由于各种原因，如基础知识、个人兴趣、教师水平、家庭环境等，造成了他们的成绩分化。但考试成绩中有不少是“应试能力”的表现，不一定是学生能力的全面体现。有的人“急中生智”，有的人“慢功出细活”，建模学习常常可以为不同能力结构的学生提供展示才能的机会。建模学习中适当分组，将有各种特长（或短處）的学生放在一起，有时常常会使学生产生意外的收获。在数学建模活动中，提倡两三位学生一起做一个课题，一位学生可能擅长计算机，另一位学生擅长实验，还有一位学生可能擅长与人打交道，这样在做调查时就可以承担“公关”的任务。

记得有一次，3位初一的学生组成一个课题小组完成了一篇小论文，在发表前找到了我，问应该署谁的名字做第一作者，这种问题在以前的学生中不太会遇到。一是很少有这样的机会，二是很少去考虑这样的问题。面对这个“与时倶进”的问题，我先和学生们座谈，请大家谈一谈各自在论文中的贡献，自己的发现及别人的长处。然后给学生们提议，谁对这项研究的贡献大，起主要作用，做出关键结果，谁就可以署第一作者，这篇文章谁做第一作者，相信你们能统一认识。作为老师，我的建议是，你们这个研究小组是一个非常好的研究集体，希望你们再继续做第二个、第三个小课题，我想你们每一个人都可以做一次“第一作者”。一年过去了，“三人小组”已经做完了三个小课题，在正式出版物上发表了两篇文章，“第一作者”流动着。

小光同学是我班的体育特长生，学习上有些吃力，在我们的探究发现交流课上，颇不自信地介绍自己的“发现”：“我假期观察的各种年历，发现平年时，1、10月；2、3、11月；4、7月；9、12月的月历表一致；而闰年时，1、4、7月；2、8月；3、11月；9、12月的月历表一致。”

同学们听到小光的介绍，表情颇有几分不屑。我马上心里一动，一个体育特长生能抓住身边的小事，观察发现，还会分类讨论，实属不易，应该鼓励。我接过小光同学的话茬儿，说：你们就没体会小光同学发现的“伟大的现实意义”和“深远的历史意义”。比如，有一种计算机病毒叫“黑色的星期五”，它的发作条件是计算机的日期如果是某月的13日是星期五，它就发作。请你找出距今天较近的3个使“黑色的星期五”发作的年、月、日。

再如，有人说：“最好的‘办喜事的日子应该是‘6月6日，又是星期六，可这样的日子是千载难逢的”，你同意这种说法吗？你能找出几个“6月6日，又是星期六”的具体年、月、日。

还有，印刷厂为了印刷每年的整张年历，需要制作“年历模板”。如果标题的年号和农历不写的年历称为年历模板，不同的年历模版只要有多少种？2016年的年历模板，下一次哪年能用？

说到这里，小光眼里放光，露出得意的笑容。同学们被带进了新的思考和讨论。同学们用计算机发现“6月6日是星期六”的日子有2009年、2015年、2020年。因此“千载难逢”的说法不对。经过建模学习的学生们还发现了更筒单的规律。之后的讨论被小光“顺理成章”了。半年后，小光成为班里数学建模的骨干，他的论文“澳门网球单打公开赛奖金分配的分析和揭秘”，在北京市获奖。我真为他高兴，重拾自信对于一个成长中的孩子多么重要！

去年假期，在学校值班。一位19年前毕业的学生专程来看我，进门后她就赠给我一本680页厚的心理学经典的中文译著，这是她完成的作品。这我不吃惊，因为她曾是我教过的班级英语课代表，后来她选择了文科，高考上了北京外国语大学。她和我谈了19年来的成长和变化，特别感谢我带她中学做的数学建模，使她在后来的英国华威大学做博士、德国马克斯·普朗克研究所以及美国哥伦比亚大学做博士后工作时，能够有勇气选择研究了有关心理测量和评估的数学模型，并取得了成就。这次回国创业，她成功地被清华大学聘为教授。我想，她的成就是她的努力和正确选择的结果，我们的作用非常有限，唯一欣慰的是，我的学生们走出我的课堂时知道了，数学可用、有用、能用，从而他们自己进一步完成了想用、会用、善用数学的旅程。

我并不期盼每个学生都成为数学家，但如果通过我的教学，能使学生有一种在生活和学习中应用数学的思维观念和习惯，使他们有追求卓越、不断探索的创新精神和追求真理、勤奋求实、一丝不苟的理性精神，他们自身和我们的国家都将受益无穷。