高中数学体验式概念教学探究

李燕祥

【摘 要】本文从创设情境、参与概念形成的逻辑思维过程、合作探索概念、从正反不同角度辨析概念等四个角度探究如何在高中数学教学中实施体验式概念教学。

【关键词】高中数学 概念教学 教学有效性

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）05B-0132-02

在高中数学的教学实际中，受考试压力等因素的影响，部分教师认为，数学概念在考试中考得不多，没有必要花太多的时间进行教学。因此对于概念的教学模式是：教师把概念直接给出，并对概念的结论做简单解析，反复强调概念关键词，然后让学生通过大量的强化练习来记住结论。在这个过程中，教师的教学重点是讲解例题。如此模式造成的后果是学生对概念的认识模糊不清，缺乏对概念的内涵、外延等数学本质的透彻理解。学生对概念记忆不牢，就不会运用概念解决数学问题，也不利于后续的知识学习。不少学生对概念学习的体验是消极的：数学概念枯燥、抽象难懂。这种模式下的概念教学弊端日益明显，必须引起一线数学教师的关注与思考。

怎样优化数学概念教学才能使学生对概念的数学本质有全面透彻的理解，并能熟练运用概念解决数学问题呢？笔者经过几年的探索，认为采用体验式教学能够使数学概念教学更优化。

一、创设生活情境，设计有针对性的问题

数学来源于生活。在概念教学中，笔者所创设的情境都是学生所熟知的生活情境，学生在熟知的生活情境中，更容易感知概念产生的原型、概念来源的背景，也更有利于学生从这些原型中抽象出准确的概念数学描述。

例如在教学高中数学必修 1“函数的概念”时，教材选取了三个实例作为概念引入，而笔者在创设情境时，遵循了教材的编写意图，保留了前两个引例，第三个引例则用学生熟悉的例子代替。

例 1.一枚炮彈发射后，炮弹距地面的高度 h 与飞行时间 t的变化规律 h=130t-5t2，0≤h≤845。这个例子笔者采用多媒体展示：炮弹飞行的抛物线动画，这激发了学生的兴趣，而且学生在初中阶段学过了二次函数的内容，对这个内容比较熟悉。

例 2.教材所里的配图用曲线显示南极上空臭氧层的空洞面积从 1979—2001 年的变化情况。

在引入函数的概念的教学中，以上这两个例子所创设的情境为学生所熟知，因此笔者保留了这两个引例。但是教材中的例 3 却是用一个表格表示“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数的变化情况。学生对这个例子所提到的“居民恩格尔系数”相对陌生，若用这个例子引入概念，学生会感到概念之中又有概念，增加了理解“函数”这一核心概念的理解难度，因此笔者采用另外一个学生较为熟悉的例子代替例 3：近年来我校每年获得贫困生资助的人数与时间（年）的关系：

时间（年） 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

资助人数 356 402 438 456 502 533 586

这个实例与学生实际生活息息相关，学生觉得熟悉，不会产生畏难情绪。

由于学生在初中已经学过函数概念，但是初中的函数概念是“变量说”，而高中数学的函数概念是“对应说”，而且高中所学的函数概念的描述是用学生不易理解的抽象符号、集合语言，学生难以理解。笔者突破这个教学难点的做法是：在学生已有的函数概念认知基础上，创设以上三个不同形式的生活情境，再设计五个问题，让学生在问题的引导下，从具体的例子中概括、讨论，从而得出函数的概念。

问题 1：这三个例子中自变量分别是什么？哪个量跟着自变量发生变化？

问题 2：例 2、例 3 能不能用解析式表示？它们是函数吗？为什么？

针对问题 2，学生有不同意见：有的认为是，有的认为不是，这个问题引发了学生的认知冲突。这时笔者提出：“要判断它是不是函数，需要具备哪几个要素？”学生七嘴八舌，有的学生终于点到点子上：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。看到学生对函数的概念有了初步的认识，笔者马上指出判断一个解析式是不是函数的要素是“x 的任意性”“y 的唯一性”“对应性”。

问题 3：两个变量的对应关系一定要用函数解析式表示吗？

学生讨论后的答案是不一定，对每一个自变量，有唯一的数与它对应就可以了。学生经讨论思考后，能往函数的本质特征去思考判断，逐步认识概念的本质内涵。

问题 4：这三个例子所描述的数量对应关系有什么共同的特征？我们能不能用集合的语言及对应的语言来描述？怎样描述？

问题 5：如何用集合语言、从对应的角度给函数下准确的数学定义？

通过创设生活情境，设计有针对性的问题，让学生从熟悉的例子中观察、思考、比较，逐步总结出函数的概念，实现了从具体到抽象的过程体验，尤其当函数以图象和表格的形式出现时，强化了“单值对应”的认识。而图象和表格又是帮助理解函数概念的重要载体，它能使学生直观地感知函数的定义域、值域、单调性等性质。学生透过图象和表格，能多角度深刻领悟体验“对应关系”的本质内涵。同时，通过问题情境的创设，引发学生对函数概念理解的认知冲突，让学生提出质疑，进而引发激烈的讨论，学生在辩驳中深化了函数概念的认识。

二、让学生亲身参与概念的探索与思考

在概念教学中，笔者并不会直接给出概念，让学生被动接受，而是让学生亲自参与概念的推导演变过程。学生因为经历了概念形成的逻辑思维过程，印象深刻，记忆牢固，理解透彻，为后续学习与概念有关的性质及应用打下良好基础。

例如在教学高中数学必修 4“平面向量共线的坐标表示”内容时，备课组有些教师认为，这个知识不必让学生去推导，直接要求学生记住结论即可。按照这种教学模式教学，等到学完“两个向量垂直的坐标表示”后，很多学生对公式的坐标表示出现了混乱：有的把向量共线的坐标表示 x1y2-x2y1=0，写成了向量垂直的坐标表示 x1x2+y1y2=0，或把两个公式坐标彼此张冠李戴。产生以上错误的根源是教师没有让学生参与公式的推导，造成了学生对公式印象模糊，由于学生只是对公式进行机械式记忆，因此容易遗忘、混淆公式。

笔者用所教的同一水平的两个班做了对比实验：13 班的教学方式是直接给学生向量平行、垂直的坐标公式，要求他们机械记忆。14 班的教学方式则是让学生和教师一起推导出向量平行、垂直这两个公式，如向量共线，有 ，容易得出 ，消去后，变成了，学生再把它变成等积式时，x1 是与 y2 相乘，而不会与 x2 相乘的，学生就不会出现“向量共线时 x1x2+y1y2=0”这样的错误。13 班和 14 班两个班的教学效果对比在钦州市 2016 年秋季学期教学质量监测高一数学（A卷）18 题（2）的正确率中已见分晓。这道题是这样的：已知向量，若与 共线，求 k 的值。这是一道已知向量共线求参数 k 的题目，难度较小，关键是记住公式。从考试结果看，这道题13 班得分率为 52%，14 班得分率为 78%，可见 14 班对公式的记忆与运用都优于 13 班。

由此可见，让学生自己参与到概念、公式的推导演变过程，不用刻意去记忆，学生自然而然就能记住公式，并正确运用公式。学生由此获得了逻辑思维过程的体验，记忆更牢、更准，理解更透彻，教学效果更显著。

三、在合作中体验数学概念的形成

合作学习是新课程改革所倡导的一种学习方式，学生的合作交流意識可以在合作学习中得到培养。在数学教学中，有些数学概念的形成过程必须要学生共同合作才能完成。

例如笔者在教学高中数学选修 1“椭圆及标准方程”这一内容时，组织学生合作体验椭圆的形成过程：学生两人为一组，台上固定 2 个钉子，取一条大于钉子间距的绳子，绳子两端分别固定在钉子上，中间套上铅笔，一人固定绳子，一人拉紧中间套紧绳子的铅笔，在台面的白纸移动，同时引导学生观察和思考：

1.画出的图形轨迹像什么？

2.怎样用自己的语言描述动点满足的条件？

学生动手实践后共同归纳：平面内到两定点 F1，F2（两钉子）的距离之和始终等于常数 2a（绳子）的点的轨迹叫椭圆。学生通过亲身参与合作体验椭圆的形成过程，就很容易理解椭圆概念的核心实质为；并且，由绳子的长大于两钉子的距离，学生也较易体验到 2a>2c，明白了椭圆中为什么 a>c。

紧接着，笔者指导学生经过 4 个步骤得出椭圆的标准方程：1 建系，设动点 M（x，y），定点 F1（c1，0），F2（c2，0），2 列式，3 代入转化代数式，4 化简。

这样，椭圆的概念和方程成为一个有机的整体，概念不再是抽象、难懂的，而是具体可看、可摸、可操作、可体验的。学生在合作的过程中体验了椭圆这一概念的形成过程，顺理成章也理解了与椭圆有关的其他一系列概念：焦点、焦距、长轴、短轴。圆锥曲线的双曲线也可以用类似的合作体验方法进行教学，从而优化了圆锥曲线这一板块的教学。

四、从不同角度辨析概念

学生对概念的认识是一个循序渐进的过程，不仅要从正面去体验概念的本质内涵，还要从反面等角度去认识概念。通过正反不同的角度对概念进行辨析，可以让学生对概念的认识由模糊变得清晰，由片面认识变成全面认识，让概念变得更立体。

例如笔者在教学高中数学必修 4“正弦、余弦函数的周期性”这一概念时，教材中周期函数的概念是这样的：对于函数 f（x），如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。笔者在学生学完正弦、余弦函数的周期性这一概念以后，立刻让学生进行了概念的辨析。于是设计了下面这些题目——

判断下面的命题是否正确：

（1）因为 f（x+0）=f（x），所以 f（x）为周期函数。

（2）因为 f（x+3x）=f（x），所以 f（x）为周期函数，周期为 3x。

（3）因为成立，则函数 f（x）=sinx 的周期是。

（4）已知函数 f（x）的周期为 1.5，且 f（1）=20，则 f（10）的值是 20。

如果学生对函数的周期性概念的认识是模糊的，上面的几道题好像都符合函数的概念，这几道题好像都对，但是通过让学生对这几道题进行辨析，教师讲解其中的区别后，学生能够很快解出正确答案：只有第（4）题是正确的。同时笔者还让学生指出（1）（2）（3）这三道题错误的原因：（1）周期不能为 0，（2）周期必须是常数，（3）只对 成立而已，换成其他的值就不成立了。通过对概念展开辨析，学生获得了周期函数函数的全面、清晰、立体的概念体验。

高中数学的概念教学是一个非常重要的课题，也是数学教学中的基础，只有重视概念教学，才能为学生的数学大厦打好基石。体验式的概念教学能够让学生不再惧怕数学概念，在体验概念形成的过程中，逐渐对数学产生兴趣，最终爱上数学。

（责编 韦 力）