高考导数知识点的命题情况分析与复习建议
2017-07-15卢伟坤
卢伟坤
【摘 要】本文分析高考试题中有关导数的命题问题，提出突出基础知识点复习，注重学好综合知识应用等复习策略，为高考复习提供参考。
【关键词】导数 试题分析 高考复习
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）05B-0147-04
导数是高中数学中的重要内容，从 2006 年到 2016 年大部分省、区、市的高考试题中可以看出，导数成为每年高考的必考内容之一。导数已经由原来的基础知识点简单层面上的考查上升为知识网络交汇处的深层次考查。导数知识点在每年高考中占有较大的分值比重。由于导数本身具有强大的工具作用，以导数为载体的综合题已经成为高考命题的风向标。运用导数的有关知识，研究函数的单调性、极值和最值是高考的热点问题。导数在高考中考查形式多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考查导数的基本概念、运算及應用，也经常以解答题形式与其他数学知识交汇起来，综合命题。本文主要综合分析研究导数在近几年高考题知识点的情况变化，为今后备战高考把握方向。
一、导数的重要基础知识点的介绍
（一）导数的概念
如果函数 y=f（x）在 x0 处的增量 ?y 与自变量的增量 ?x 的比值，当 ?x→0时极限 存在，则称 f（x）在 x0 处可导，并称此极限值为函数 y=f（x）在点 x0 处的导数，记为 或 。
（二）导函数
函数 y=f（x）在区间（a，b）内每一点的导数都存在，就说 f（x）在区间（a，b）内可导，其导数也是（a，b）内的函数，又叫做 f（x）的导函数，记作 或 ，函数 f（x）的导函数在 x=x0 时的函数值 就是在 x0 处的导数。
（三）导数的几何意义
1.设函数 y=f（x）在点 x0 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 M（x0，y0）处的切线斜率。
2.设 s=s（t）是位移函数，则 表示物体在 t=t0 时刻的瞬时速度。
3.设 v=v（t）是速度函数，则 表示物体在 t 时刻的加速度。
（四）函数的单调性
一般地，函数 y=f（x）在某个区间内可导，如果，则 f（x）为增函数；如果，则 f（x）为减函数。
如果在某个区间内恒有，则 f（x）为常函数。
（五）可导函数的极值
设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对附近所有的点都有 f（x）
（六）函数的最大值最小值
最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间（或定义域）内所有函数值中最大值与最小值。
二、题型结构层次举例分析
（一）导数的运算、导数的几何意义
这类题目体现的主要知识点是导数几何意义，次要的知识点是导数的运算，但是主次知识点同等重要。主次知识点结合在一起考体现在题型的结构上。
例 1（2008 年江苏卷文，8）设直线 是曲线 的一条切线，则实数 b 的值为
【命题的动向】本题考查了利用导数的几何意义、切线的求法来求解。
例 2（2010年辽宁卷文，12）已知点 P 在曲线 上， 为曲线在点 P 处的倾斜角，则 的取值范围是（选项略）
【命题的动向】本题考查了函数的导数求解、导数的几何意义、基本不等式、直线倾斜角与斜率的关系以及三角函数值等问题。
（二）函数的单调性
例 1（2010 年北京卷理，18）已知函数。
（I）当 k=2 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）求 f（x）的单调区间。
例 2（2010 年卷天津文，20 ）已知函数，其中 a>0。
（I）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）若在区间上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范围。
【命题的动向】本题考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等，考查运算能力及分类的思想方法。
例 3（2010 年山东卷文，21）已知函数。
（I）当 a=-1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当时，讨论 f（x）的单调性。
【命题的动向】本题考查了导数的运算、导数的几何意义、直线方程的求解以及利用导数讨论函数的单调性，考查了学生利用导数知识解决函数问题的能力以及分类讨论能力。
（三）极值问题
例 1（2007 年山东卷文，21）设函数，其中 。
证明：当 ab>0 时，函数 f（x）没有极值点；当 ab<0时，函数 f（x）有且只有一个极限点，并求出极值。
例 2（2010 年重庆卷理，18）已知函数，其中实数 。
（I）若 a=2 ，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）若 f（x）在 x=1 处取得极值，试讨论 f（x）的单调性。
【命题的动向】本题考查了单调区间性质和求解切线方程的方法。
（四）最大值与最小值问题
例 1（2010 年江苏卷文，14）将边长为 1 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则 S 的最小值是
【命题的动向】本题考查了用导数研究函数的最值问题，函数的实际应用能力。
例 2（2010 年陕西卷文，21）已知函数
（I）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的取值及切线的方程；
（II）设函数 h（x）=f（x）-g（x），当 h（x）存在最小值时，求其最小值 的解析式。
（III）对（II）中的，证明：当时，。
【命题的动向】本题考查了切线的求法、单调区间的判断及最值等求解，考查考生综合运用所学知识解决问题的能力。
例 3（2010 年江西卷理，19）设函数 。
（I）当 a=1 时，求 f（x）的单调区间；
（II）若 f（x）在（0，1]上的最大值为，求 a 的值。
（五）函数的单调性与不等式问题
1.直接证明不等式
例 1（2010 年辽宁卷文，21）已知函数。
（I）讨论函数 f（x）的单调性；
（II）设函数 ，证明：对于任意。
【命题的动向】本题考查了导数及其应用，判断函數的单调性以及利用函数的导数性质证明相应的不等式等。
例 2（2010 年全国卷文，21）设函数。
（I）若求 f（x）的单调区间；
（II）若当 时，求 a 的取值范围。
【命题的动向】本题考查利用导数求解函数的单调性、不等式等。
2.求参数的取值范围
例 1（2011 年北京卷文，18）设函数，且方程的两个根分别为 1，4。
（I）当 a=3 且曲线 y=f（x）过原点时，求 f（x）的解析式；
（II）若 f（x）在内无极点值，求 a 的取值范围。
【命题的动向】本题考查了导数及其应用，利用导数解决函数的图象、函数的极值等相关问题，考查逻辑推理能力、运算能力等。
（六）利用导数解应用题
例 1（2013 年江苏卷文，17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知AB=20 km，CB=10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界），且与 A、B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO、BO、OP，设排污管道的总长为 y km。
（1）按下列要求写出函数关系式：
设 ∠BAO=θ（rad），将 y 表示成 θ 的函数关系式；
设 OP=x（km），将 y 表示成 x 的函数关系式。
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
【命题的动向】本题考查了函数最值求法及导数在函数求解中的应用以及运用数学知识解决实际问题的能力。解题关键是建立好目标函数，并且要注意所得结果符合问题的实际意义。
例 2（2013 年山东卷文，21）两县城 A 和 B 相距 20 km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y，统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k，当垃圾处理厂建在弧 AB 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065。
（1）将 y 表示成 x 的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由。
【命题的动向】本题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题。
（七）导数的综合应用
例 1（2013年广东卷文，21）已知曲线 Cn：y=nx2，Pn（xn，yn）（xn>0，yn>0）是曲线 Cn 上的点。
（1） 试写出曲线 Cn 在 Pn 处的切线 ln 的方程并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标；
（2）若原点 O（0，0）到 ln 的距离 PnQn 线段的长度之比取得最大值，试求点 Pn 的坐标（xn，yn）。
【命题的动向】本题是在函数与不等式的交汇处命题，考查利用导数求曲线的切线方程、求点的坐标等问题，考查了同学们利用所学知识综合解决问题的能力。
例 2（2013 年浙江卷文，21）已知函数 f（x）=（x-a）2（x-b）（a，b∈R，a （I）当 a=1，b=2 时，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （II）设 x1，x2 是 f（x）的两个极值点，x3 是 f（x）的一个零点，且 x3≠x1，x3≠x2。证明：存在实数 x4，使得 x1，x2，x3，x4 按某种顺序排列后构成等差数列，并求 x4。 【命题的动向】本题考查了函数的极值概念、导数的四则运算法则、切线方程的求解，导数的应用及等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理分析能力和创新能力。 三、考情深入分析与复习建议 （一）考情深入分析 结合近年各省市高考对导数知识点的考查及题型结构，可以看出对导数基础知识点的考查，一般是显性出现在题目中的，而且这些提示的关键词比较固定，让我们一看就知道用导数的知识来解决，比如切线、单调区间、极值等。对于带有以上关键词的题目，一般都是对导数基础知识的考查，这就要求我们对导数四则运算、函数的求导要熟练和对相关的概念要理解好，才能做好解题的第一步。而对导数的应用的考查题型也比较稳定，一般命题的出发点是以函数为载体，用导数来研究函数的变化率。函数的变化率实际上体现的是函数的性质，而函数的性质必须通过导函数来探讨。因此，熟练求出导函数是解决问题的前提。但是考查深度不止停留在函数性质概念层面上，还会继续对函数性质应用的考查。函数性质的运用又可以同其他知识点来考查。这就使不同知识点的联系更紧密。比如，从题型来看，导数知识点的综合题目主要是围绕函数的单调性这一性质来考查。通过函数的单调性可以探求极值点、最值、零点和解不等式等，而最值可以以实际问题优化来命题，零点可以同方程的根来考查。这些都体现导数知识点的交汇的隐性考查，从而使一些题型难度增大。从题型数量难度和分值比重来看，导数知识点的难度题一般是在解答题的第二小问，分值比重在 6 分左右；而对导数基础知识的考查一般在选择题、填空题和其所在解答题的第一小问出现现占的分值比重较大。
（二）复习建议
从以上的分析可以看出，万变不离其宗，对导数基础知识的考查始终是命题的重点，而对函数的性质的掌握也十分重要。对此笔者提出以下两方面的复习建议：
1.突出基础知识点的复习。基于小题对导数的几何意义、切线、单调区间等基础知识点考查的频率较高，复习一定要注重基础知识的落实，如导函数的求法，导数的运算。
2.注重导数综合知识的应用。导数综合知识的应用主要是在解答题中出现。从考题知，考查的主干知识点集中于函数单调性的应用。因此复习时注意基本题型的掌握，如运用函数单调性求单调区间、极值点、最值、证明不等式、求参数的取值范围、判断方程根的个数等。对此类题型的复习，要在基础知识掌握上，增加联系与综合，特别是对知识点交汇处要重点把握，提高综合运用知识解决问题的能力。同时，加强数学思想方法的提炼和运用，如函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想等。
本文主要从导数在高考题中的知识点视角出发，借助收集掌握的文献资料，其中通过收集 2006 年至 2016 年全国部分省市的高考试题，归类并综合深入分析导数知识点的考点分布。结合具体例子来分析知识点结构难度 ，最后对考情深入分析，即抓住了导数知识点考查的本质，为高考复习化繁为简，把握重点，指明方向。本文优点在于论据充分，真实可靠，有一定说服力；确定的研究指标合理正确，能服务总目标；研究方法选择恰当。本文不足之处有：研究视角有待进一步增加；研究指标分析上需进一步加深；研究手段有待进一步完善。拟采用增加的研究指标：基于为教师提供更清晰的教学思路，增加导数在高考数学考纲这一论据。由于导数在不同省市高考考纲可能有所不同，因此拟采用的方法为统计方法。选择这一方法的目的是为了找出导数在考纲的要求的相同点，明确（下转第157页）（上接第149页）导数在考纲的重难點，为教师制订更具有针对性的教学计划提供依据。
【参考文献】
[1]张圣官.导数——高中数学的一个交汇点[J].数学教学通讯，2005（4）
[2]王宝祥.浅谈导数与不等式证明的知识整合[J].中学数学研究，2005（4）
[3]刘 淼.新课程高考中函数题的几个新趋势[J].数学教学研究，2005（4）
[4]刘 艳.高考导数应用问题归类解析[J].数学教学研究，2006（2）
[5]李昭平.高考导数问题透视[J].中学数学，2006（4）
[6]虞金龙.简议导数在高考中的综合应用[J].中学教研（数学），2011（2）
[7]廖月友.高中数学课堂导学与针对训练（1版）[M].北京：中国言实出版社，2007
[8]高考命题研究组.最新5年高考真题汇编详解（2版）[M].海南：南方出版社，2010
[9]蔡紫燕.高考中的导数考点解析[J].考试周刊，2009（48）
[10]满秀懿.与导数交汇的知识点[J].高中数学导学，2010（3）
（责编 卢建龙）
