如何使用导数研究函数的性质

李翔云

吉林省长春市农安实验中学

如何使用导数研究函数的性质

李翔云

吉林省长春市农安实验中学

函数作为当今数学高考的热点，也是高中生数学学习的难点之一，在新课程学习和高三数学复习中都备受关注。而如何开展变式教学，则是函数性质研究中的重点所在。教学过程主要是通过数学问题来创设问题情境，从根本上激发学生进行学习、探讨，感受不同背景下函数问题的本质，利用对函数零点典型问题加以求解，从而让学生形成相应的数学技能，实施变式教学。本文就如何通过导数来研究函数性质展开论述。

导数；函数性质

随着新课程标准的提出和推广，高中数学教学方法也开始实现不断创新和改进。“变式教学”作为当前运用较为普遍的一种方法，之前人们都将变式教学划分成过程性和概念性两种，但是，随着教学思想的不断改进，如今的变式教学开始分为原理和概念、数学技能、数学方法等几种[1]。对于高中生来说，变式教学比较注重让教师有意识、有目的地引导学生从“变化”现象探究到“不变”的本质，协助学生对所学的知识进行融会贯通，让学生在变化的知识点钟领略到教学的魅力所在，体会到高中数学知识点的魅力所在。从最近几年高考数学例题中不难发现，通过导数求解函数属于热点。本文将问题作为导引，在求解函数零点探究中开展变式教学，让学生能够更加适时地总结、归纳规律，感受到数学知识的认知结构。

一、通过问题导引来领会问题本质

数学问题求解作为数学学习的主要活动之一，也是学生对定理、概念继续学习的过程，而问题解决过程其实在一定程度上就是知识点之间的联系和生成，知识结构之间的生成，要想成功的解决各种数学问题，就要能够利用充分的数学知识和知识体系。教师在教学期间要能够善于创设各种情境，解释数学知识点之间的内在逻辑关系、本质特征，协助学生在探究问题过程中依托自己的思维来深刻理解各种知识点，体会到问题的本质[2]。

例如2012年天津文科高考题：

函数f（x）=（1/3）x3+1-（a/2）x2-ax-a（a＞0,x∈R）

函数f（x）在区间（-2,0）内有两个零点，求a的取值范围。

设函数f（x）=x3-（9/2）x2+6x-a，若f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围。

已知函数y=x3-3x+c的图像和x轴有两个公共点，则c为多少。

上面三个问题都是将三次函数作为背景，从方程实根、函数零点、图像交点等知识点入手来求得相应的取值，从表层来分析，似乎是三个不同的题目，为了能够对问题的背景加以分析，新课程中学教材对函数零点给予全新的定义，例如函数y=f（x）（x∈D），使f（x）=0的实数x就是函数y=f（x）（x∈D）零点。

从定义中不难得到函数y=f（x）的零点所对应的就是方程f（x）=0实数根，即函数y=f（x）的图像与x轴相交的横坐标。通过进一步研究不难发现函数y=f（x）有零点，方程f（x）=0。从上述解析中不难发现三个问题能够互相等价转化，也就是说三个问题的实质一样。将函数作为背景来考察方程实根分布、零点、图像交点等问题，这也是教学过程中价值较高的问题，只有综合对解题规律进行探讨，并将其作为突破，才能够获得更大的进展。

二、探讨典型，形成技巧

函数零点作为新课程标准新增加的内容，在对简单函数零点进行求解时，可以通过二分法、定义来实现，也可以通过零点存在、函数图象等定理来判断相关状况[3]。针对三次多项式函数、含有超越函数式的零点求解问题而言，其相对复杂，通过一般方法难以解决，要能够综合利用多种方式才能够得以解决。

例如求方程x3-6x2+9x-10=0的实跟个数过程中，若直接对方程进行求解存在较大的难度，可以在同一坐标中画出y=x3和y= 6x2-9x+10，并观察交点情况，判断原方程的实根个数，通过导数来进行研究，在推广价值更加明显。

设y=x3-6x2=9x-10，求导数，得到y’=3x2-12x，令y’=0，从而得到x1=1，x2=3。

解答该题的主要启示为通过求解函数导数，来对其极值、单调性展开研究，利用等价转化、数形结合等方式来确定函数图象和x轴的交点情况，明确原方程根情况，从而为同类问题解决提供指导和依据。

三、主要考点归纳总结

函数作为高中数学主干知识，其衍生概念和相关概念较多，函数思想在高中数学不同板块知识中的应用也相对广泛。所以，高考理科函数考点相对较多，考查的形式也较为多样化。2015年高考借助不同的题型来考查函数性质、概念、图像、初等函数等，函数模型和应用等。

首先是对函数的概念、性质进行考察，函数概念和性质作为历年来高考的重点考查对象，包括函数定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也需要结合其他知识来考查函数性质。

其次，考查基本初等函数，初等函数的基础为对数函数，也是函数研究过程中典型的对象。高考理科数学则是通过对基本初等函数的性质和应用加以考察，分析学生应用知识解决相关问题的能力。

最后考查的是函数和方程。函数和方程思想作为当前高中生需要掌握的主要函数思想，高考中奖函数作为零点、方程根存在的问题为主要的考查点，重点考察函数和方程之间的关系，利用相对应的函数性质和图像来解决问题，也是高考的重点考察。

结语

总而言之，高三学生的经验积累和知识结构相对完善，其思维水平也逐渐综合化，能够从不同侧面、不同角度来思考问题[4]。在备考期间，教师可以将适当问题作为研究背景，激发学生从多方位、多角度来探究问题，加强对问题的理解程度，并且在解题过程中善于将完成的题目进行反思，理清问题的解决方法，对解题思路进行优化，提升学生的综合解题素质，培养其创新能力和应变能力，让他们在高考数学中取得优异的成绩。

[1]刘君,陈庆文.“利用导数求函数单调性”的教学设计[J].才智, 2014,13:169.

[2]贝淑坤,朱路进,刘春平.利用导数求反三角函数的解析式[J].教育教学论坛,2014,28:94-95.

[3]林顺来,杨朝熙.初等函数值域（最值）的导数求法[J].福建教育学院学报,2015,02:55-58.

[4]罗宝华,顾艳红.一类形如f（x）|g（x）|函数的导数求法[J].科教文汇（下旬刊）,2012,10:85.