《九章算术》应用于小学数学教学的内容选择

周淑芬

[摘 要] 《九章算术》是古中国甚至整个东方最早的、最全面的数学著作，《九章算术》的完成标志着具有中国特色的数学体系的建立，使古代东方数学达到了新的高度。在现行的小学数学教材中均有提及《九章算术》，因此，就其内容与小学数学教学内容的一致性出发，论述《九章算术》适用于小学数学教学的相关内容选择。

[关 键 词] 《九章算术》；小学数学；教学内容

[中图分类号] G623 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）32-0116-02

近年来，随着人们对数学学科中人文价值的关注，数学历史文化与数学教育的研究也越来越受重视。自数学史与数学教学关系国际研究小组（即HPM）成立以来，如何在课堂中融入一定量的数学史内容逐渐成为热点课题。将数学史内容融入课堂教学符合新课程理念要求，在《义务教育课程标准（2011）》实行建议中提出，作为义务教育教材的一部分，数学文化的教育应在整套教材中有效渗透。为了实现此目标，在教学过程中，为了使学生能够更加了解数学在社会发展中的重要地位，进而激发学生学习数学的激情，应当对相关背景、实际应用方式、数学文化发展史予以介绍。本文主要探讨《九章算术》适用于小学数学教学的内容。

一、《九章算术》内容编排

若把“原本”比“算术”，其中最重要的是《九章》。在世界范围内，数学可以被分解成为两大类：第一类是欧几里得在《几何原本》所提出的逻辑演绎类，第二类是《九章算术》中所提出的机械算法体系。《九章算术》被认为是当时最具有代表性的应用数学，具有至高无上的社会地位，在唐朝被列为数学教科书，并尊为古代数学群经之首，由此其历史地位可见一斑。因此，本文认为将《九章算术》融于小学数学教学在培养学生民族自豪感、激发学生对数学的兴趣和热爱方面极具必要性。

第一章是方田，38题，阐述了平面图形面积的计算方式，包括矩形、三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环等八种图形面积的计算方法，如求长方形面积时，“术曰：广从相乘得积步”。“广”即宽，“从”即长，“积步”即边长以步为单位的面积的平方数；求三角形面积时，“半广以乘正从”，“广”即三角形底边长，“正从”指的是三角形的高。此外，还系统阐述了如何对分数进行四则运算、如何求取分数最大公约数的计算方法。当分数分子、分母同为偶数时，可以先分子、分母同时除以2，或者把分子与分母分开，用较小的数减去较大的数后，辗转做减法，求取最大公约数，再用求得的最大公约数与分子、分母做约分计算。

第二章是栗米，46题，主要讲述了各种谷物的比率以及比例算法。现今所讲的四项比例算法在古代称为“今有术”，其运算法则“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”，用公式表达为：所求数=所有数×所求率÷所有率。

第三章是衰分，20题，主要讲述以分配问题为中心的配分比例问题，提出比例分配法则，称“衰分术”，“曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之”，将所分配的比率按次序排列出来，另取众比率之和作为除数，以所分的总数乘以各自分配比率，最后各自做被除数。以除数去除被除数，除之不尽，则得分数。

第四章是少广，24题，主要讲述了包括已知正方形在内矩形的面积，求一边之长等问题，或者已知立方体的表面积求其边长的开方法则。

第五章是商功，28题，讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式，包括正四棱柱、圆柱、圆台、正圆锥等十种形体的体积计算公式。例如“城、垣、堤、沟、堑、渠（皆为等腰梯形的直棱柱），皆同术。术日：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”即梯形面积=（上广+下广）÷2×高，而等腰梯形的直棱柱的体积=梯形面积×袤（即纵长）。

第六章是均输，28题，主要讲合理摊派赋税和合理分配赋役的计算，其中今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论，另外还提出了有关等差数列的问题。

第七章是盈亏问题，21题，讲的是盈亏问题中所对应的三类不同的盈亏，此外，还讲述了任何盈亏问题均可以进行两次假设，假设后均可以转化为盈不足这一类进行解决。

第八章是方程，18题，主要阐述的是矩阵问题。这章所利用的线性方程组的解法是世界上最早的解决线性方程组的解法，类似于现阶段的对矩阵进行初等变换，并提出了正负数的加减法则。

第九章是勾股问题，25题，勾股定理与测绘有密不可分的關联，勾股定理可以解决现实生活中的诸多问题，勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边平方的和等于第三边长度的平方，利用此定理能够解决很多实际问题。

二、《九章算术》于小学数学教学内容的适用性

小学数学课堂可以对《九章算术》中的内容进行选择性教学。以人教版小学数学教材为例，教材中引用《九章算术》的内容如表1所示：

本文主要选取平面图形面积、方程和负数三方面内容进行分析。

（一）平面图形面积

在五年级上册《三角形的面积》中，以“你知道吗？”的卡片形式介绍了《九章算术》的相关内容：

《九章》中“今有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。方田术曰：广从相乘得积步”，说的就是长方形的面积等于长与宽的乘积。“又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二。问为田几何？答曰：二十三步六分步之五。术曰：半广以乘正从”。此题将三角形面积求解与分数的运算相结合。在现行教材中，分数的乘法将在六年级上册进行教学。因此，在教授长方形面积时，可引入对《九章》的介绍并选取1～2题的原题进行教学与讲解，而三角形与梯形等其他图形的面积教学则由于分数的四则运算还未进行教学而不适宜被选取。

（二）方程

以《九章算术》卷八方程章第一题为例，阐述其方程解法。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”求解此题，《九章》中未设未知数，而以“遍乘直除法”解决。“直除”即连续相减，“直除法”即“加减消元法”，是我国解方程组最早的方法。“置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方”（见表2）。

“以右行上禾遍乘中行，而以直除”，以右行上方的3遍乘中行各项，有中行所得新数减去右行各对应项的若干倍数，直到中行头位数为0。再利用相同的方式乘以左边一列所有数，去掉左边一行的第一位数，再用中间一行乘以左边一行而以直除，消除左行中位，以求下禾之实。现今我们求解此题，常以设x、y、z列举三元一次方程组：

3x+2y+z=39

2x+3y+z=34

x+2y+3z=26

小学主要是学习简易方程，即一元一次方程，且是以利用等式的性质来求解方程。如在解“x+3=9”时，解法为“x+3-3=9-3”，继而解得“x=6”。显然，《九章》的方程解法并不适用于中小学教学。

（三）负数

在第八章讲述方程的过程中，对负数的概念是：减法，遇到符号相同的数字那么就与其数值做减法，遇到符号不同的数字那么就做加法，与正数的差是负数，与负数的差是正数。“正无入负之”的意思是，零与一个正数的差是这个正数的相反数，“负无入正之”的意思是零与一个负数的差是这个负数的绝对值，“正无入正之”的意思是零与一个正数的和是这个正数本身，“负无入负之”的意思是零与一个负数的和是这个负数本身。由此可以看出，《九章算术》一书中不仅对负数这个概念进行了详细的描述，同时也对负数的运算法则加以描述。针对小学生数学教育，《义务教育数学课程标准（2011版）》的实施建议中指出，在教学过程中，应当把抽象概念具体化、情景化，并能够认识上万的数字；应使学生理解什么是分数、什么是小数、什么是百分数、什么是负数，并在此基础上引导学生理解各个概念的意义，培养学生日常生活中利用这些概念解决问题的能力。由此可以看出，如何对负数进行加减运算，课标并未作出具体要求。《九章算术》能够较早认识负数，并对其做了详细解释，而婆罗摩笈多直到7世纪才对负数有了一定的理解，由此可以看出，《九章算术》确实是一项具有历史性意义的伟大著作。虽然课标没有要求学生对负数进行四则运算，但是在教学过程中，仍然可以通过《九章》使学生更加深刻地了解负数、理解负数、掌握负数。

参考文献：

[1]江献.小学数学教材中的《九章算术》[J].现代教育科学，2013（8）：146-147.

[2]曾賽阳，谢妤芳.浅淡《九章算术》应用于小学数学的思考[J].学园，2015（25）：79-82.

[3]张仓.九章算术[M].江苏人民出版社，2011.