高中生“数学化”能力的内涵与培养建议

【摘 要】高中生“数学化”能力是指高中学段的学生能够运用已经掌握的数学思想、方法和知识去解决生活中碰到的较简单的实际问题和逻辑地建构自己的知识结构的能力。具体地，可划分为横向数学化、纵向数学化能力两个层次。主要培养建议有：创设恰当的问题情境，激发学生横向数学化的热情；注重数学阅读能力培养，夯实学生横向数学化的基础；加强数学抽象思维的训练，突破学生横向数学化的难点；完善学生的CPFS结构，实现知识点的纵向数学化；引领学生绘制知识树，实现章节知识体系的纵向数学化；倡导数学互动与交流，提升学生纵向数学化层次。

【关键词】数学化能力；横向数学化；纵向数学化

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）43-0024-04

【作者简介】卓斌，江苏省宿迁市中小学教学研究室（江苏宿迁，223800）教研员，正高级教师，江苏省特级教师。

《普通高中数学课程标准（实验）》把“发展学生的数学应用意识”作为其基本理念之一，并指出：“开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野”，因此“应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”[1]。无论是发展学生的“数学应用”意识，还是提升学生的“数学建模”素养，其本质都是培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，即培养高中生的“数学化”能力。那么，高中生的“数学化”能力的内涵有哪些？又该怎样培养高中生的“数学化”能力呢？本文对这两个问题进行初步探讨，期待得到大家的批评指正。

一、对“数学化”能力的理解

1.“数学化”的思想溯源。

“数学化”思想是荷兰数学教育家汉斯·弗赖登塔尔在他的巨著《作为教育任务的数学》一书中首次提出的。什么是“数学化”呢？弗赖登塔尔认为，人们在观察，认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫作数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。他指出：“毫无疑问，学生应当学习数学化；自然先在最低层次，对非数学事物进行数学化以保证数学的应用，接着还应进到下一层次，至少能对数学事物进行局部组织。”[2]按照弗赖登塔尔教授的观点，“数学化”应该包含两个层次：（1）对非数学内容进行数学化，以保证数学的应用性；（2）对数学内容进行局部的组织。

特莱弗斯和哥弗里等人经过进一步研究认为，可在“数学化”过程中区分出水平和垂直两种成分。其中水平成分是将问题运用数学的方式来陈述，即由现实问题到数学问题的转化，是把情景问题表述为数学问题的过程。垂直的数学化是运用数学工具着手处理，即在数学范畴内对已经符号化的问题作进一步抽象化处理。这是对弗赖登塔尔的数学化两个层次学说的新发展。

斯托利亚尔提出数学教学活动三阶段模式[3]：（1）“经验材料的数学组织化”，即借助于观察、试验、归纳、类比、概括积累事实材料；（2）“数学材料的逻辑组织化”，由积累的材料中抽象出原始概念和公理体系，并在这些概念和体系的基础上演绎出理论；（3）“数学理论的应用”即应用理论。其中数学活动的第一和第三两个阶段的重要性并不低于第二阶段。这与弗赖登塔尔的“数学化”思想不谋而合，有异曲同工之妙。

2.“数学化”的概念界定。

基于上述研究成果，我们认为高中生的“数学化”能力是指高中学段的学生能够运用已经掌握的数学思想、方法和知识去解决生活中碰到的较简单的实际问题和逻辑地建构自己的知识结构的能力。高中生“数学化”能力包括两个方面，一方面指横向数学化能力，即高中学生具有数学地解决生活中碰到的较简单的实际问题的能力；另一方面指纵向数学化能力，即能够逻辑地组织所学习的数学知识，使之结构化、自动化，逐步完善具有较强迁移力的数学知识结构的能力。一般地，高中生的数学化能力可用下面框图表示：

二、高中生“数学化”能力的培养建议

1.创设恰当的问题情境，激发学生横向数学化的热情。

心理学研究表明：“思维来自于疑问，意向产生于恰当的问题情境”。教师通过精心设计恰当的问题背景，充分利用学生已有的生活经验，唤醒学生强烈的问题意识，从而使其发现问题、提出问题并积极地解决问题。

【案例1】参观画展时，为了保护壁画，通常要在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃墙与观众隔开，应该站在何处欣赏壁画效果最好呢？与参观者的身高有关吗？

如果以觀察壁画的高度为自变量，以人的身高为参数，并赋予具体数据，可以提出如下数学问题：图2是小明观看壁画的纵截面示意图，已知壁画高度AB是2m，壁画底端与地面的距离BO是1m，玻璃墙与壁画之间的距离OC是1m.若小明身高为am（0

在教学实践中，我们主要通过生活问题、相关学科问题以及课题学习等途径创设问题情境，让学生体验运用所学的数学知识解决身边生活问题的乐趣，感受数学在解决实际问题中的魅力，从而产生“数学有用，数学能用”的数学应用意识，激发横向数学化的持续热情。

2.注重数学阅读能力培养，夯实学生横向数学化的基础。

斯托利亚尔认为：“数学教学也就是数学语言的教学。”在高考中，数学应用题得分率不理想的一个重要原因就是题目的文字表述偏长，而学生的数学阅读理解能力较差，不能准确地、完整地弄清题意，不能灵活地实现数学文字语言、符号语言、图表语言之间的转换，难以把实际问题转化为数学问题，这种现象说明培养数学阅读能力是提高学生横向数学化能力的重要基础。

为此，我们可以采用以下措施来培养学生的数学阅读能力。

（1）培养学生数学阅读的良好习惯。首先，教师让学生明白数学阅读的重要性，让学生感到通过阅读能成功地学会一些东西，以此提高学生数学阅读的自觉性。譬如，高中新教材中增加了很多阅读材料，教师应合理有效地利用，既可以拓展学生的知识面，又能够渗透数学文化。其次，指导学生在数学阅读时，尝试去欣赏和感受数学语言中蕴涵的简单美、对称美、和谐美，或者发现并提出自己的问题，或者尝试解决所给出的问题，获得一种阅读成功的愉悦感。

（2）注重数学教科书的阅读。数学教科书是数学教材编写专家在充分考虑学生生理心理特征、教育教学原理、数学学科特点等诸多因素的基础上精心编写而成，具有极高的阅读价值。但是，在数学教学中普遍存在忽视教科书的现象，教师往往在讲授内容之后才让学生翻开课本，做练习，布置课后作业，仅把教科书当成习题集。其实，数学教学大纲中明确地提出，教师必须“指导学生认真阅读课文”，这是培养学生数学语言表达能力的最重要抓手。

（3）注重多种数学语言互译的训练。数学语言包括文字语言、符号语言和图表语言三种形式，灵活地实现三者之间的转换，是数学阅读有别于其他阅读的最显著特征。高中新教材尤其注重这三种数学语言之间的切换，例如立体几何中的每一个公理、定理和性质几乎均以三种语言的形式出现。此外，还要重视培养学生“说题”的习惯。所谓“说题”，就是让学生通过阅读问题所呈现的数学材料，然后分别说出问题的已知条件有哪些？所求的结论是什么？涉及哪些数学知识？拟采用的数学方法和解题思路是什么？说题过程是学生统揽全题，找准问题的要素，剖析关键的词句，探索解题思路，预测解题步骤的过程。同时，也是学生在阅读的基础上，形成个人见解的思维过程。我们的教学实践表明，训练学生说题，是一条培养学生数学语言转译能力的有效途径。

3.加强数学抽象思维的训练，突破学生横向数学化的难点。

数学抽象是指从研究对象中找出事物的数量关系或空间形式而舍弃事物的其他属性的过程。数学概念大都是一系列实际问题的数学抽象物，数学原理也都是一系列实际结论抽象概括的结果。在教学过程中，我们应该尝试挖掘蕴涵于数学材料中的抽象过程，增加学生数学抽象的实际体验，帮助学生突破横向数学化的难点。

【案例2】“哥尼斯堡七桥问题”。哥尼斯堡城位于普雷格尔河的两岸，河中有两个小岛，共有七座桥连接小岛和两岸（如图3），城中居民每到闲暇的日子就喜欢漫游全城，于是有人为了旅游节省时间，就提出如下方案：能否设计一条环游路线方案，从某地出发经过每座桥一次且只经过一次再返回到原地的路线？

著名的数学家欧拉用四个点表示河岸和小岛，用七条线段表示七座桥，将其连接（如图4），把问题的本质表述为：是否存在从某点出发经过每条线段一次且只经过一次又回到原点的回路？

加强高中生抽象思维的培养，一是利用多种情境，充分展示数学抽象概括的思维过程；二是利用题组教学和变式教学，对学生进行数学抽象概括能力的强化训练。

4.完善学生的CPFS结构，实现知识点的纵向数学化。

南京师范大学的喻平教授把由概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构，称之为“CPFS”结构，并指出：学生的CPFS结构存在个别差异，优良的CPFS结构是完善的认知结构的必要条件，能促進问题的成功解决。[4]我们认为，完善学生的CPFS结构，是培养其局部数学知识纵向数学化能力的一条重要途径。

【案例3】学完“等差数列”以后，我们提出问题：写出一个数列{an}是等差数列的充要条件。

通过思考这一个开放性问题，得出以下结论：（1）an+1-an=d（d为常数）；（2）2an+1=an+an+2；（3）an=an+b（a，b为常数）；（4）Sn=an2+bn（a，b为常数）。从而促使等差数列概念的网络结构在学生头脑中储存下来，形成丰满的概念域和命题域。

【案例4】学完“空间直线和平面”这一单元后，学生普遍感到其中的公理、定理、性质特别多，很琐碎，易混淆。于是，我们就引导学生对这一单元知识体系进行纵向数学化，通过绘制如图5所示的结构图建构线线、线面和面面之间转化关系，促使学生形成认知结构。

实践表明，学优生和学困生在数学知识的表征上具有很明显的差异。学优生头脑中的知识是按层次排列的，有很清晰的条理性和逻辑性；学困生的则是水平方式排列的，知识显得比较零散和孤立。因此，教师应帮助学生对所学知识进行纵向数学化，形成一个有层次、有条理的认知结构。

5.引领学生绘制知识树，实现章节知识体系的纵向数学化。

波利亚认为：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。”在章节复习时，我们通过引导学生绘制“知识树”，培养其纵向数学化的能力。所谓“数学知识树”是借用树的主干、支干，叶子和果实等形象地表示章节知识结构在学生大脑中生成的图式。绘制数学知识树的目的就是引导学生重新阅读数学教材，重温做过的数学例习题，能够把书由厚读到薄，帮助学生构建完整的、有序的、容易被激活的数学认知结构。

【案例5】以“数列”一章为例。本章知识树大致有四个层次的知识序列：第一个层次是该章的三个知识主干，即一般数列，等差数列和等比数列；以等差数列这一主干（第二个层次）为例，又包含三个支干，即定义、通项公式和前项和公式；以等差数列前项和公式这一支干（第三个层次）为例，又包含三个公式，即Sn=■，Sn=na1+■d，Sn=an2+bn；第四个层次是指策略性知识，即第三个层次中渗透的数学思想方法，如倒序相加法，方程思想和函数思想。这样，一棵枝繁叶茂的数列知识树就牢牢地扎根于学生的脑海中。

6.倡导数学互动与交流，提升学生纵向数学化层次。

在课堂教学和课外辅导中，经常遇到这样的情形：学生对自己所掌握的数学知识不能准确地表达出来，对自己不懂的地方也提不出明确的问题。我们认为这种现象表明学生不习惯进行数学交流，也不善于数学交流，不能够逻辑地组织所学习的数学知识，使之结构化、序列化。

我们认为，提升学生纵向数学化层次就是要培养学生的数学交流能力，主要有以下一些具体做法。

（1）恰当地组织课堂讨论。课堂讨论中，一般由教师给出一个中心议题或实际问题，学生在各自独立思考的基础上，以学习小组形式围绕问题各抒己见、相互交流。实践表明，课堂讨论为师生之间、生生之间的多向交流创设了良好的氛围，可以极大地激发每个学生的创造性和主动性，常常会收到课前意想不到的教学效果，是各种创新性解法和奇思妙想产生的沃土。我们曾对“点到直线距离公式”的推导开展课堂讨论，师生集思广益，共给出了八种不同的解法，极大地拓展了纵向数学化的层次。

（2）创造“写数学”的机会。为了促进数学交流，我们创造了很多机会让学生“写数学”，即让学生把他们学习数学的心得体会、反思要点或研究成果通过文字形式表达出来。譬如每一章节内容学习完之后，要求学生列出本章的知识结构网络，对所学习的数学知识进行纵向数学化；每一次数学作业或数学测验中的典型的错题，在讲评之后，要求学生订正整理到“错题本”上，并反思、剖析出错原因等。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2012.

[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1999.

[3]A.A.斯托利亚尔.数学教育学[M].丁尔陞，等，译.北京：人民教育出版社，1985.

[4]喻平，单墫.数学学习心理的CPFS结构理论[J].数学教育学报，2003（02）.