均匀外磁场中的超导椭球

赵 强

(西安交通大学理学院，陕西 西安 710049)

均匀外磁场中的超导椭球

赵 强

(西安交通大学理学院，陕西 西安 710049)

本文利用“等效的磁荷观点”简捷地求出了均匀外磁场中超导椭球的面电流密度，体现了电场与磁场之间的对称之美。

超导椭球； 均匀磁场； 面电流密度； 磁荷观点； 对称性

超导体具有完全抗磁性[1]，因此，若将任意形状的超导体放到任意的外磁场中(小于临界磁场)，则超导体内的磁感应强度保持为零.现假设一种比较简单的情况:将一椭球形超导体放进均匀的外磁场B0中，此超导椭球的表面将会感应出怎样的超导面电流?

若用毕奥-萨伐尔定律解决上述问题，且不说计算过程复杂与否，首先让人感到棘手的问题是不知如何下手。但若是采用等效的磁荷观点来解决上述问题[2,3]，则不仅求解过程十分简洁，而且物理图像特别清晰。下面就用磁荷观点讨论上述问题。

如图1所示，超导椭球面的直角坐标方程为

图1 均匀外磁场中的超导椭球

(1)

假设均匀外磁场B0方向正好沿z轴的正方向，这时B0可表示为下式

B0=B0k

(2)

根据超导体的完全抗磁性，当超导椭球如图1所示放进均匀外磁场B0中后，超导椭球表面的感应电流必然会在超导椭球内产生一个与B0相反的附加场B′将B0抵消掉。考虑到式(2)，B′在直角坐标系中的表达式应为

B′=-B0k

(3)

根据文献[5]，一个沿z轴的负方向均匀极化的电介质椭球，其极化强度P与其表面的极化电荷在椭球内产生的退极化场E′之间的关系为

(4)

式(4)中的Nz是由椭球的几何形状所决定的一个无量纲常数，称为电介质椭球的z主轴的退极化因子。在椭球坐标

(5)

下，其具体表达式为

(6)

在磁荷观点下，根据磁荷与电荷之间的对称性，“等效永磁椭球”的磁极化强度J与其表面的磁荷产生的退磁化场H′之间的关系应同式(4)一样，即

(7)

根据等效的磁荷观点，对于“等效永磁椭球”有如下两式

将式(7)～式(9)联合起来考虑，有

(10)

将式(3)代入式(10)，有

(11)

式(11)为“等效永磁椭球”的磁化强度的具体表达式。

图1中“等效永磁椭球”的单位法向矢量n的具体表达式为[5]

(12)

利用式(11)和式(12)两式，可以得到“等效永磁椭球”表面的磁化电流密度为

(13)

式(13)是图1中超导椭球的面电流密度。

根据对称性，可以得到外磁场B0分别沿超导椭球的x主轴及y主轴的正方向时超导椭球的面电流密度分别为

其中Nx，Ny是文献[5]中电介质椭球x主轴及y主轴的退极化因子(在本文中的磁荷观点下，也可将其称为退磁化因子)，在椭球坐标下，其具体表达式为

(18)

超导圆球面电流密度的大小为

(19)

式(19)的形式十分简洁优美，并且对应着独特的电磁现象。这让北大教授钟锡华先生大为赞赏，并且还为此公式取了一个漂亮的名字：正弦型球面电流[2]。在笔者看来，式(13)～(15)虽然形式上比式(19)复杂些，但其耀眼的对称性就足以让人一见钟情。

若将超导椭球以任意姿势放进均匀外磁场B0中，假设B0与超导椭球的3个主轴的夹角分别为α、β、γ，这时可以将B0沿个主轴进行分解。最后根据电流密度的矢量特性，得到超导椭球表面的电流密度为

(20)

从表面上看，“均匀外电场中的导体椭球”和“均匀外磁场中的超导椭球”是两个毫不相关的电磁现象，然而，磁荷观点却通过J=μ0M这样一个简单的公式，将二者有机地统一起来了，多么美妙的磁荷观点啊！

[1] 张三慧.大学物理学(第三册)·电磁学[M].北京:清华大学出版社，1991:316.

[2] 钟锡华.电磁学通论[M].北京:北京大学出版社，2014:282，3.

[3] 赵强.应用磁荷观点一例[J].物理与工程，2016，26(3):46-47. Zhao Qiang. An application case of the view of magnetic charge[J]. Physics and Engineering, 2016, 26(3): 46-47. (in Chinese)

[4] 赵凯华，陈熙谋.新概念物理教程·电磁学[M].北京:高等教育出版社，2003:229.

[5] 赵强，籍万新.均匀外电场中的一般椭球形导体[J].物理与工程，2016，26(5):65-67. Zhao Qiang, Ji Wanxin. Ellipsoidal conductor in uniform electric field[J]. Physics and Engineering. 2016, 26(5): 65-67. (in Chinese)

SUPERCONDUCTING ELLIPSOID IN THE UNIFORM EXTERNAL MAGNETIC FIELD

Zhao Qiang

(College of Science, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Shaanxi 710049)

In this paper, by using the view of equivalent magnetic charge, we briefly find out the surface current density of superconducting ellipsoid in an uniform external magnetic field, which shows the beauty of symmetry between the electric and magnetic fields.

superconducting ellipsoid; uniform magnetic field; surface current density; the view of magnetic charge; symmetry

2016-07-13

赵强. 均匀外磁场中的超导椭球[J]. 物理与工程，2017，27(2)：23-25.