麦克斯韦方程组超定问题的解释

刘长礼

(北京应用物理与计算数学研究所，北京 100094)



麦克斯韦方程组超定问题的解释

刘长礼

(北京应用物理与计算数学研究所，北京 100094)

麦克斯韦方程组有6个未知量，8个方程，是超定方程组.对于超定问题一般这样解释：认为两个散度方程是不独立的，只需初始时刻满足即可，之后自动满足。所以计算电磁学中只求解旋度方程，而不求解散度方程。文中指出这种解释有一个循环逻辑缺陷，从而导致此种解释不正确；在计算电磁学中两个散度方程必须求解。推广的线性相关概念用以解释偏微分方程超定问题。在这个推广的线性相关定义下，原来众多“表面”超定方程都变成了适定方程，避免了一些歧义。

麦克斯韦方程组；超定；散度

真空中麦克斯韦方程组[1]如下式：

其中，B是磁感应强度；E是电场强度，这两个量是未知量；J是电流强度密度，ρ是电荷密度，这两个量是已知量；μ0,ε0是电磁系数；引入常数λ是为了下面讨论使用，同时平衡等号两边量纲。本文中如无特别声明λ≡0。很显然这个方程组有6个未知量，8个方程，方程超定。

(2)

貌似有如下结论：如果某初始时刻t0，方程(1c),(1d)成立；那由式(2)可知在此后任意时刻t>t0，方程(1c),(1d)都成立。也就是可以把式(1c),(1d)看成式(1a),(1b)的初始条件[1]，从而两个散度方程是不独立的。在这种解释中把式(2)看成是旋度方程的推论。众多文献[1]中都有这个解释，笔者能查到最早的文献就是Stratton于1941年著Electromagnetic Theory，所以称之为Stratton解释。但这个解释内部逻辑关系有些缺陷，如下文所指。

1 循环逻辑缺陷

麦克斯韦方程组是双旋度散度体系。先讨论单旋度散度体系，然后可以很自然地推广到麦氏方程组。

(3)

其中，u是未知量；ρ,S是已知源函数；要求divS=0，这是相容性条件。需要注意：divS=0不是式(3b)的推论，是需要额外满足的条件；divS=0中的等号不是自动成立的，比如取S=αr(非零常数α是为了平衡等号两边量纲而引入)，则divS=αdivr=3α≠0；只不过此时式(3)无解罢了。如果认为相容性条件(divS=0)是旋度方程(3b)的推论且自动成立，则其中必有循环逻辑；就是旋度方程(3b)解存在性要求相容性条件(divS=0)事先成立，如果再由式(3b)推导出0≡div(curlu)=divS⟹divS=0，自然是循环逻辑。所以相容性条件(divS=0)不是式(3b)的推论，是需要额外满足的条件。下面将用到这个结论。

现在看Stratton解释的内在循环逻辑缺陷。需要注意到麦氏方程解存在的条件之一是要求相容性条件(2)中的等号“=”成立。Stratton假设麦氏旋度方程解存在(即已假设相容性条件(2)成立)，然后他又由两个旋度方程推导出相容性条件(2)；也就是说Stratton事先用了与相容性条件(2)等价的假设，然后再次推导出相容性条件(2)，并且认为相容性条件(2)是旋度方程的推论。这样的循环逻辑显然是错误的。与单旋度散度体系类似，相容性条件(2)不是自动成立的。然而Stratton忽略了旋度方程解存在性条件，并认为相容性条件(2)是旋度方程(1a),(1b)的推论而自动成立，这是循环逻辑错误。正确的逻辑是：两个散度方程(1c),(1d)在任意t≥t0时刻(不能只是初始时刻t0)成立和电荷连续性方程成立是确保相容性条件(2)成立的条件，进而确保了两个旋度方程(1a),(1b)解的存在性。既然麦氏方程组解存在性要求两散度方程全时域(t≥t0)成立，那么Stratton解释的结论(只要两散度方程初始时刻t0成立，则以后任意时刻t>t0都成立)就不对了。因此计算电磁学中不求解两个散度方程的做法是没有理论基础的，两个散度方程不能省略不解。

2 超定问题解释

然而麦氏方程组是超定的，这也是一个事实。如何解释这种超定性是一个需要考虑的问题。Jiang[2]在他的文章中引入哑元来说明麦氏方程组是适定的，而非超定。在Jiang[2]的文章中，他引入一个哑元ϑ来说明式(3)是适定的(在这里只是简略叙述他的论证，详细过程请参考他的论文)。

(4)

方程组(4)中已引入哑元，很容易得到这个哑元的控制方程是2ϑ=0，在零值边条件下，这个方程只有零解，从而引入哑元ϑ对方程(3)未做任何改变。然而方程组(4)有4个未知量，4个方程是适定的。由于方程组(3)和(4)是等价的，所以Jiang认为方程组(3)是适定的。

他认为方程组(3)和(4)是等价的，进而认为可以式(4)的“适定”性质传递到式(3)，从而认为方程组(3)也是“适定”的。然而这有一个缺陷：我也可以认为这个等价性将式(3)的“超定”性质传递给式(4)，从而认为式(4)是超定的。这显然是个悖论。

由于存在缺陷，虽然Jiang的结论是对的，但解释不可靠。可以用下面的办法来解释之。

现有一阶线性偏微分方程组

(5)

3 计算电磁学讨论

计算电磁学中有些格式，比如时域有限差分(FDTD)，只求解两个旋度方程，而不求解散度方程。根据上面的讨论，这种做法是没有任何理论根据的。所以麦氏方程组的4个方程都应该求解(或者等价求解：是指不依靠Stratton解释，而依靠计算方法的特别设计使散度方程自动满足)。下面根据这个原则做些原则性讨论。

1) 不能够自动满足divB=0, divD=0并且只求解旋度方程的格式。应弃用。

2) 能够自动满足divB=0, divD=0并且只求解旋度方程的格式。这类格式只适用于没有电荷源的电磁波传播，且须在均匀各向同性介质中。通过电磁场纵、横分解可以适用于非零电荷密度情形。

3) 求解全部麦氏方程组的格式，比如Jiang的格式[2]。适用于各种情形。

4) 还有一类方法就是将麦氏方程组升级到二阶，比如文献[3]，这类方法也不解两个散度方程；这也是不对的，证明过程存在与上面类似的逻辑缺陷。在文献[3]中，将式(Ricci-18)代入(Ricci-8)而得到(Ricci-19)，作者忽略了在这一步他已经使用了divD=ρ对全时空都成立这一条件；最后还说(Ricci-25)中只需要高斯定律初始时刻满足即可。既然证明过程中用了divD=ρ对全时空都成立，那么就不可能得到高斯定律只需要初始时刻满足即可之类的结论。

4 结论与讨论

本文首先指出了Stratton解释存在循环逻辑错误：他事先假设相容性条件(2)成立(麦氏方程组解存在要求，其实两个散度方程(1c),(1d)在任意时刻成立和电荷连续性方程成立是确保麦氏旋度方程解存在的条件)；然后他又推导出相容性条件(2)，并把它当成旋度方程的推论；这是循环逻辑错误。因此计算电磁学中忽略两个散度方程的做法就失去了理论基础。两散度方程应该算是基本方程，需要求解。那种认为电荷连续性方程可以由麦氏方程组导出的看法很显然也是错的。

推广的线性相关定义Ⅱ用来解释超定问题。解存在且唯一的、定义Ⅰ下超定方程组(比如单旋度散度方程，麦克斯韦方程，应力应变形式弹性力学平衡方程，带坐标条件的爱因斯坦引力场方程，带规范条件的Yang-Mills方程)，在定义Ⅱ下均成为适定的。

下面3个待证命题表面上显然正确，但证明却十分麻烦。如果它们是正确的，那在偏微分方程领域，定义Ⅱ比定义Ⅰ更合适。

①假设线性偏微分方程组(5)的解存在、唯一，且在定义Ⅰ意义下超定；那么方程组(5)必在定义Ⅱ意义下适定。

②假设线性偏微分方程组(5)的解存在，且在定义Ⅱ意义下欠定，在定义Ⅰ下适定；那么方程组(5)的解必定不唯一。

③假设线性偏微分方程组(5)在定义Ⅱ意义下超定，则其无解。

[1] Stratton J A. Electromagnetic Theory[M]. New York: McGraw-Hill Book Company, 1941:1-6. 除了上述最原始的文献外，还有很多文献提及了Stratton解释，比如：Taflove A, Umashankar K. Review of FDTD numerical modeling of electromagnetic wave scattering and radar cross-section[J]. Proc. IEEE, 1989, 77: 682-699. Chew W. Waves and fields in inhomogeneous media[M]. New York: Van Nostrand-Reinhold, 1990: 4-6.

[2] Jiang B N, Wu J, Povinelli L A. The origin of spurious solutions in computational electromagnetics[J]. Journal of Computational Physics, 1996, 125: 104-123.

[3] Ricci P, Lapenta G, Brackbill J U. A simplified implicit Maxwell Solver[J]. Journal of Computational Physics, 2002, 183: 117-141.

■

COMMENTS ON OVER-DETERMINATION OF MAXWELL’S EQUATIONS

Liu Changli

(Institute of Applied Physics and Computational Mathematics, Beijing 100094)

Maxwell’s equations seem over determined, which have six unknowns and eight equations. It is generally believed that Maxwell’s divergence equations are redundant, and both equations are thought as initial conditions of curl ones. Because of this explanation, two divergence equations usually are not solved in computational electromagnetics. A circular logical fallacy of this explanation is found, and two divergence equations cannot be ignored in computational electromagnetics, which are not redundant, but fundamental. The definition of differential linear dependence is employed to explain over-determination of Maxwell’s equations. In the generalized definition, several overdetermined equations become well-determined ones, which avoid some ambiguity. This paper in English can be referred to arXiv: 1002.0892.

Maxwell’s equations; over-determination; divergence

2016-03-23

刘长礼，男，助理研究员，从事物理研究工作，研究方向为等离子体物理，LIUCL78@pku.org.cn。

刘长礼. 麦克斯韦方程组超定问题的解释[J]. 物理与工程，2017，27(3)：7-9,21.