文章千古事,得失寸心知——一道选考模拟题的变式及拓展

■河南省南阳市第一高级中学高二(22)班 张孜昂

文章千古事,得失寸心知
——一道选考模拟题的变式及拓展

■河南省南阳市第一高级中学高二(22)班 张孜昂

(1)写出曲线C的参数方程和直线l的直角坐标方程;

(2)设点A(1,0),若曲线C上的点P满足到点A的距离与点P到直线l的距离相等,求点P的坐标。

反思：在处理①式时,最先想到了将式子两边平方,但是①式右边有三项,平方结果展开有6项,根本就无法合并,往下处理陷入了僵局,差点就此放弃。解决问题的关键在于根式下的(2cosθ-1)2+(3sinθ)2是一个完全平方结构,根式可以开出结果;与此同时,绝对值里边的2cosθ-3sinθ+9的符号永远为正,无需讨论,绝对值符号可以去掉,从而解决难点。

新问题产生了,根式下的(2cosθ-1)2+ (3sinθ)2=(cosθ-2)2是一个完全平方结构,根式可以开出结果,这种情形是纯属偶然还是实属必然?能否推广到一般情形?点到直线的距离公式中绝对值符号里边的代数式的符号是否永远为正?

拓展问题1：焦半径|PF2|公式中的根号是否永远可以开出结果?

解析：设椭圆上的动点P(acosθ, bsinθ),右焦点为F2(c,0),则焦半径为:

拓展问题2：当直线和椭圆相离时,椭圆上的点到直线的距离公式中的绝对值符号如何处理?

因为A2a2+B2b2-C2〈0,所以当C〉0时,(Aacosθ+Bbsinθ+C)min〉0,此时距离当C〈0时, (Aacosθ+Bbsinθ+C)max〈0,此时距离d=

可以看出,公式中的绝对值符号确实可以去掉,具体情形由直线方程Ax+By+ C=0中C的正负决定。由此,从一个特殊的例题出发,把问题推广到了一般情形,经过推导得到了两个一般情形下的类似公式的结论,收获颇丰。

拓展问题3：改变条件,将椭圆上的动点P改成圆上的动点P(rcosθ,rsinθ)并求点P到平面内任意一个定点D(x0,y0)的距离的最值。这一问题我们可以转化为定点D到圆心之间的距离再加上或减去半径求得距离的最大值或最小值,问题圆满解决。

拓展问题4：求任意圆上一动点P(a+ rcosθ,b+rsinθ)到平面内任意两个定点E(x1,y1),F(x2,y2)的距离的平方和即2的最值。

我们知道求椭圆上的动点到平面内一个定点的距离的最值问题没有较好的方法,那么椭圆上的动点到平面内两个定点的距离之和就更不好求,所以我们将问题4中圆上的动点改变为椭圆上的动点,求两个距离的平方和从而得到下面问题。

拓展问题5：求椭圆上一动点P(acosθ,bsinθ)到平面内两个关于原点对称的定点E(x1,y1),F(-x1,-y1)的距离的平方和,即的最值。(特别说明,当两个定点不关于原点对称时,问题无法求解)

解析：|PE|2+|PF|2=(acosθ-x1)2+ (bsinθ-y1)2+(acosθ+x1)2+(bsinθ+ y1)2=2(a2cos2θ+b2sin2θ+x21+y21)= 2(c2cos2θ+c2+x21+y21)。问题得到解决。

(责任编辑 王福华)