基于全张量磁场梯度的磁偶极子定位及误差分析

张 宁，王三胜,3，易 忠，李 华，孟立飞

（1. 北京航空航天大学 物理科学与核能工程学院，北京 100191；2. 北京卫星环境工程研究所，北京 100094；3. 北京航空航天大学 微纳测控与低维物理教育部重点实验室，北京 100191）

基于全张量磁场梯度的磁偶极子定位及误差分析

张 宁1，王三胜1,3，易 忠2，李 华1，孟立飞2

（1. 北京航空航天大学 物理科学与核能工程学院，北京 100191；2. 北京卫星环境工程研究所，北京 100094；3. 北京航空航天大学 微纳测控与低维物理教育部重点实验室，北京 100191）

为了对磁偶极子进行高精度的磁性定位，文章从磁偶极子模型出发，推导出磁偶极子的空间坐标与其产生的磁场及磁场梯度之间的关系式；针对模型及关系式，设计了一种全张量磁场梯度传感器，能够一次测量出精确定位所需的9个磁场梯度值和3个磁场强度值；对比仿真结果和实验结果，发现二者具有较好的一致性，证明了该理论模型的有效性。对于磁偶极子，用半径为0.05 m的梯度传感器对磁矩为2 A⋅m2的磁偶极子进行定位测量，在0.5～1 m距离内定位误差不大于10%。文章还对定位测量误差的原因进行了分析，包括梯度测量基线距离及传感器半径对定位误差的影响。

磁场梯度；磁偶极子；定位；梯度张量；误差分析

0 引言

为了分析研究磁性目标的空间位置和姿态等参数，通常将其等效成由环形电流产生磁场的磁偶极子模型[1-2]。将磁性目标等效成磁偶极子模型，在定位分析中有着广泛的应用，例如地下未爆炸物的深度探测[3]、材料的裂缝形状检测[4]、水下物体的跟踪和导航[5-6]、飞行设备的定位[7-9]、地球物理场测量[10-11]以及磁性目标定位[12]等。国内对基于全张量磁场梯度的探测定位的研究大多还处于仿真分析阶段，缺乏有效的实验数据，同时定位的精度比较低。

对磁偶极子定位的仿真方法目前主要有非线性最小二乘法和五点法，其中非线性最小二乘法对网格化磁场的拟合效率较低[13]；五点法对目标位置进行反演时，主要通过求解多元非线性方程获得，有可能存在无解的情况[14]。为了对磁偶极子定位进行实验验证分析，实验中需要用磁传感器进行磁场和磁场梯度测量，目前应用较为普遍的主要有单轴梯度计[12]和平面梯度计[13]，所使用的磁传感器包括磁通门传感器、光泵磁传感器以及精度更高的超导量子干涉仪[14]等。但是由于这些磁传感器体积较大，造价较高，要求低温环境等，在实际应用中仍有许多技术问题。

为测量磁场全张量参数，本文专门设计了一种基于线圈的三轴正交等距磁传感器。通过理论推导，可以得到磁性目标的空间位置与磁场值、磁场梯度值之间的关系，即通过磁场值和磁场梯度值可计算出磁性目标位置的空间坐标值。

1 基本原理

所谓磁偶极子模型是将产生磁场的物体等效成一个载流线圈，根据毕奥-萨伐尔定律，可以求出该模型在三维空间任意一点产生的磁场大小和方向。

磁偶极子在空间任意点（即P点）产生的磁场如图1所示。其中磁偶极子的中心为坐标原点，其半径为R；P点至原点的距离为r，且r与z轴夹角为φ，r在Oxy平面内投影与x轴夹角为ψ。磁偶极子的磁矩为m。

当磁偶极子的半径很小且可以忽略的境况下，产生的磁场B为：

若将式(1)写成矢量形式，则有

式中n表示沿r方向的单位矢量。当P点沿着r方向增加dr到M点时，磁场强度可以表示为

则由位移dr引起的磁场变化为

当磁性目标的尺寸与定位距离相比可以忽略的时候，对于磁性目标固有的磁矩 m和位置方位r，磁场变化 dB只与距离 r有关。因此，对式(4)求导则有

式中i、j、k分别为沿x、y、z方向的单位矢量。式(5)还可以写成梯度张量的矩阵形式，即：

式(6)为磁场梯度张量、磁场和目标位置的矩阵表达式，其左侧分别为磁场梯度的9个分量和磁偶极子在空间中的位置，右侧为磁场的3个分量，则通过磁场梯度的9个分量和磁场的3个分量可以确定磁偶极子的空间位置。

2 磁场梯度测量原理

2.1 目标-观测双坐标系的建立

为了便于研究磁偶极子相对于全张量磁场梯度测量磁传感器的空间位置，本文建立了目标-观测双坐标系以进行磁偶极子位置判定、磁矩方向的分析和姿态识别，如图2所示。

图2中，磁场梯度测量传感器放置在观测坐标系的原点 O处，磁偶极子中心位于观测坐标系中的任意一点 Ot（即为目标坐标系的原点），Ot相对于O的位置矢量为R。在此坐标的基础上再建立磁偶极子坐标系，即以Ot为原点，沿着R方向为zt轴；在R与Oz组成的面内，并与Otzt垂直的为yt轴，这样就建立了磁偶极子坐标系（Otxtytzt）。当磁偶极子的姿态发生变化时，磁矩 m在磁偶极子坐标系中的坐标会发生变化，为了分析磁偶极子的空间方向，设定磁矩m与Otzt夹角为θ；m在xtOtyt平面内的投影与xtOt的夹角为φ，即可用φ和θ表征磁偶极子的姿态。在分析过程中，利用 φ和 θ可以将磁矩m在磁偶极子坐标系中沿着3个轴进行分解，利用欧拉轴角转换的方法对磁偶极子坐标进行2次转动，可以转换到观测坐标系中。

具体而言，根据欧拉坐标转换规则，复合坐标系的转换分为两步进行：

1）将目标坐标系以xt轴为转轴，逆时针方向旋转θx角，以使目标坐标系的zt轴与观测坐标系的z轴平行，其中有

2）以第 1）步所得到的新坐标系 zt轴为转轴逆时针旋转θz度，以使目标坐标系与观测坐标系的各个坐标轴相互平行，其中有

根据欧拉坐标转换公式，任意在观测坐标系中所表述的矢量V在目标坐标系下的表达形式Vt转换为

通过目标-观测双坐标系，建立了磁传感器与磁偶极子之间的转换关系，这有利于进行理论仿真分析。

2.2 磁场梯度测量原理及磁场梯度传感器设计

磁场梯度是磁场矢量的某个分量沿着空间某个基底方向的磁场变化率。利用磁场梯度信息分析磁场变化的方法已被广泛采用，例如用高温超导量子干涉仪搭建平面梯度计[14-15]。磁场梯度张量表示磁场矢量3个分量的空间变化率，能够很好地用于偶极子场源的定位跟踪。要测量磁场梯度，就要分别测量磁场中2点的磁场值，即2个传感器中心位置处磁场梯度可以表示为

从式(10)可以看出，磁场梯度的测量过程中，需要首先将两处磁场测量值进行差分，然后除以二者间距 d即可得到磁场的梯度。根据式(6)，为了获得磁偶极子空间位置，需要测量全张量磁场梯度矩阵G，即

要测量矩阵 G中的所有元素，则需要将相互垂直的x、y、z三个轴上分别对3个方向的磁场进行梯度测量。由于磁场属于无源场，可利用全张量矩阵具有的对称性和无源性，仅需测量全张量矩阵中的5个元素。日本Nara等人设计出5个独立分量的磁梯度计，可一次性测量矩阵G中的5个元素，但它忽略了环境噪声等干扰因素，这可能会造成磁场梯度信息的缺失，使得定位误差比较大[16-18]。针对5个元素测量所存在的不足，本文设计了全张量磁场梯度测量传感器（如图3所示），可一次性测量出矩阵G中的9个元素。

基于图3的设计，研制了传感器原理样机，如图4所示，具有如下特征：

1）三轴正交，旨在保证各轴之间相互没有耦合，即测量出的磁场没有重叠；

2）每个传感器的半径及线圈匝数相同，以保证所产生的感应电流相同；

3）梯度传感器在三个轴上对称布置，以保证能够测量到9个张量值；

4）梯度传感器采用串联反接的方法，并直接输出差分后的磁场值，以减小磁场梯度的输出误差。

对于磁偶极子的定位及磁矩反演问题，若仅测量磁场梯度张量矩阵的5个相对独立分量，则称之为半张量磁场梯度测量；测量9个相对独立分量，则称之为全张量磁场梯度测量[19-20]。在实际测量中，采用全张量磁场梯度计测量的优势在于，利用磁场梯度张量的对称性做数据平均，可以在一定程度上降低测量误差。其参数设定为：磁偶极子位置坐标为x=100、y=0、z=0，位置矢量与磁矩的夹角分别取60°、75°、120°。3种测量方法的结果如表1所示，其中半张量法测得的定位误差在 2.5%～4.1%左右，全张量法为3.29%，取平均后为0.38%～1.12%。由此可见，该数据平均法可以大幅地减小定位的相对误差。

表1 三种方法测量结果的对比Table1 Comparison of the results of three measurement methods

3 仿真及实验验证的定位结果

3.1 磁偶极子姿态不变而位置变化时的结果

磁偶极子的定位误差为

式中：r为磁偶极子与梯度传感器的实际距离；R1为基于定位原理测出的两者距离。

利用上述推导的公式进行仿真定位，在忽略环境磁场和地磁场的情况下，假设磁偶极子的磁矩为2 A⋅m2，梯度测量传感器的半径为5 cm，磁偶极子至梯度测量传感器中心的距离为30～105 cm，即在梯度测量传感器的坐标系中，磁偶极子的坐标变化从(30, 0, 0)到(105, 0, 0)，且磁矩方向和梯度测量传感器的x轴重合（即θ=0）时，计算定位误差。仿真结果如图5中红线所示，横坐标为磁偶极子和梯度传感器距离，纵坐标为定位误差。

由图5中的红色线可见，随着磁偶极子和梯度测量传感器距离的增加，定位误差呈现先逐渐减小后又不断增大的态势。若距离较小时，则梯度测量传感器的半径对定位影响较大。当距离增大时，梯度测量传感器的半径对定位影响逐渐减小。当距离超过90 cm时，由梯度测量传感器的精度和分辨率所引起的测量误差逐渐增加，最后导致定位误差增加。

为了验证仿真结果的正确性，用铜导线制作了一个线圈式的磁偶极子样机（如图 6所示），共320匝，线圈面积0.034 m2，通电电流200 mA。

图 7是磁偶极子的磁矩随施加电流频率变化的关系，实验中选择电流频率为1000 Hz，磁矩为2 A⋅m2。

磁偶极子的坐标变化与仿真的一样，即从(30,0, 0)到(105, 0, 0)。实验验证的定位误差如图5中的黑线所示，与仿真结果有着相同的变化趋势，但由于实验过程中存在地磁场等磁噪声的影响，以及导线对电流的损耗，使得磁偶极子产生的磁场衰减较快。在近距离时，实验验证的定位误差小于仿真的，而在远距离时却大于仿真的。从图5可见，当磁偶极子放置在5倍至7.5倍基线距离的位置时，定位误差最小；距离太近时磁场过强，按照这样的条件等效的磁偶极子不是理想的模型；距离太远时磁场太弱，又会使传感器无法探测到磁场。鉴于此，我们可以通过增大磁矩和传感器探测能力的方法来降低定位误差。

3.2 磁偶极子姿态变化而位置不变时的结果

针对汽车、潜艇等磁性目标，由于它们的航行方向是未知的，意味着磁偶极子的方向未知，还需要在三维空间以及360°的范围内确定方向。为了研究磁偶极子的方位对定位的影响，本文也进行了仿真和实验验证。令磁偶极子的位置保持不变，即处于观测坐标系中的坐标为(65, 0, 0)，且φ=0°保持不变，而令θ从0°变化到90°（即其姿态变化）。仿真和实验验证的定位误差如图8所示。

由图8可以看出，当磁偶极子姿态变化时，造成的定位误差也是不同的：当 θ=0°时，磁矩与传感器的x轴重合，此时的定位误差最小；θ逐渐增大时，磁矩不再和x轴重合，而是沿着x轴和y轴都有分量；当θ增加到90°时，磁矩逐渐与x轴垂直且和y轴平行，则定位误差很大。由此可知，磁矩在3个轴上的分量大小直接影响了定位误差。

仿真和实验验证的结果均呈现相同的变化趋势。当θ较小时，仿真的定位误差较小，这是因为在实际测量中存在环境磁噪声等；θ接近 90°时，实验验证的定位误差小于仿真的，这是因为磁偶极子的半径较大，除了在磁偶极子中心轴线上，其周围空间也存在着较大的磁场。

3.3 定位误差的分析

定位误差主要包括两种：由梯度测量传感器的基线距离带来的系统误差和由传感器本身带来的测量误差。

由于磁场梯度信号无法直接测量，为了获得磁场梯度，只好采用差分的方式代替微分。我们知道差分代替微分的前提条件是 2个传感器之间的基线距离无限趋近于0。但是实验验证中，基线距离无法无限趋近于0，因此基线距离带来的系统误差无法完全消除。另外，传感器线圈结构以及测量精度等都会对磁场梯度的测量带来误差。两种误差的存在，导致定位的结果和磁偶极子的实际位置不能完全一致。

本文采用仿真的方式计算了梯度测量传感器半径对定位的影响，结果如图 9所示。针对磁矩为2 A⋅m2的磁偶极子目标，将其放置在距离梯度测量传感器60 cm处，当传感器的半径从5 cm增加到16 cm时，定位的系统误差从4%增加到23%，而测量误差却从2%缓慢减小。可见当磁偶极子目标相对于传感器所在的位置不变时，随着传感器半径的增大，系统误差呈快速增加而测量误差呈缓慢变小的趋势。

4 结束语

文章根据毕奥-萨伐尔定律推导出了磁偶极子的定位公式。基于磁偶极子的定位公式，开展了全张量磁场梯度测量的仿真研究，即通过一次性测量定位所需的9个磁场梯度参数和3个磁场参数以获得磁偶极子的空间位置。为了验证仿真方法的有效性，还开展了实验验证的对比研究，包括定位误差来源的分析。在对比研究中，磁偶极子至磁场梯度测量传感器之间的距离、磁偶极子的姿态（θ）以及磁场梯度测量传感器的半径皆对磁偶极子的定位带来一定的影响。影响磁偶极子定位误差的因素包括由梯度测量传感器的基线距离带来的系统误差和由传感器本身带来的测量误差。实验验证证明，在定位距离为传感器半径的 5～7.5倍范围之内，定位误差最小；对于磁矩为 2 A⋅m2的磁偶极子，采用半径为0.05 m的梯度测量传感器在0.5～1 m距离内，其最大定位误差不超过10%。

当磁矩沿着3个坐标轴都没有分量时，传感器无法感应到磁偶极子的磁场，就定位而言，此时认为磁偶极子姿态进入了定位盲区。因此，在后期的工作中，应重点针对如何消除定位盲区以及利用迭代校正以消除传感器基线造成的系统误差进行深入分析研究。

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（编辑：肖福根）

The location of magnetic dipole based on full tensor gradient and error analysis

ZHANG Ning1, WANG Sansheng1,3, YI Zhong2, LI Hua1, MENG Lifei2
(1. School of Physics and Nuclear Energy Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;2. Beijing Institute of Spacecraft Environment Engineering, Beijing 100094, China;3. Micro-nano Measurement & Low Dimensional Physics Key Laboratory, Beihang University, Beijing 100191, China)

In order to locate the magnetic object with a high accuracy for magnetic dipoles, this paper proposes a formula for the space coordinates of the magnetic dipole and the magnetic field gradient based on an equivalent model, and an integrally full gradient tensor magnetic field sensor is designed. Nine magnetic field gradient values and three magnetic fields can be measured at one time. The results of simulation are verified by experiments with good agreement, and the validity of the method is shown when the intensity of the magnetic moment is 2 A⋅m2, the location error is not more than 10% within 0.5 m to 1 m when the radius of the sensor is 0.05 m. The causes of the location error is analyzed, including the distance between two sensors(i.e. the baseline distance) and their radius on the location of the magnetic field gradient.

magnetic field gradient; magnetic dipole; localization; gradient tensor; error analysis

TP273

：A

：1673-1379(2017)03-0317-07

10.3969/j.issn.1673-1379.2017.03.016

张 宁（1992—），女，硕士研究生，研究方向为磁性目标探测与定位；E-mail: zhangnbuaa@163.com。通信作者：王三胜（1973—），男，博士学位，副教授，主要从事高温超导材料和弱磁测量研究；E-mail: wangssh@buaa.edu.cn。

2016-12-22；

2017-05-14

国家自然科学基金资助课题（编号：61473023）；国家国防科工局资助项目（编号：JSJC2013601 ****）

张宁, 王三胜, 易忠, 等. 基于全张量磁场梯度的磁偶极子定位及误差分析[J]. 航天器环境工程, 2017, 34(3)：317-323

ZHANG N, WANG S S, YI Z, et al. The location of magnetic dipole based on full tensor gradient and error analysis[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2017, 34(3)： 317-323