十字形磁梯度张量结构在多磁偶极子测量中的误差与修正方法

徐超群，易 忠，刘超波，王 斌

（1. 北京卫星环境工程研究所 可靠性与环境工程技术重点实验室；2. 北京卫星环境工程研究所：北京 100094）

十字形磁梯度张量结构在多磁偶极子测量中的误差与修正方法

徐超群1,2，易 忠1,2，刘超波2，王 斌2

（1. 北京卫星环境工程研究所 可靠性与环境工程技术重点实验室；2. 北京卫星环境工程研究所：北京 100094）

磁场全张量探测技术在多磁源反演中有着重要意义。十字形磁梯度张量结构因其计算简单、精度高等特点被广泛采用，但其在多磁源反演中的全方位误差分析和修正方法有待完善。文章研究多磁偶极子分辨的问题，分析十字形计算结构和误差来源；结果表明磁力仪的精度、整体结构、背景环境和基线选取都会造成误差，甚至导致错误；最后给出修正方法和建议，同时提出可行的扫描方法。

多磁偶极子；十字形结构；误差；修正方法

0 引言

目前国内外在单个磁源的磁矩反演及磁偶极子定位方面的理论和应用[1-2]已经比较成熟，但是对多磁源反演的研究非常少，这是因为多磁源测量数据比较困难，受背景磁场影响大，邻近磁源之间存在干扰，深层偶极子不易分辨等。与传统的磁场测量方法相比，磁梯度张量测量方法具有很多明显的优势，如对磁异常的分辨率高[3]，受环境磁场的影响小，能够反映场源的更多特点和细节，因而在多磁源反演中受到高度重视。

在实际的磁梯度全张量计算中，考虑到测量和数值计算的方便，常常利用磁场全张量的5个特殊元素简化计算结构。这种结构已经演化成多种构型，如十字形结构、直角三角结构、正四面体结构、五棱台结构、正六面体结构等。相比较而言，十字形结构效果最优[4]，操作简单，具有代表性。但是在研究多磁偶极子时，十字形结构容易引起误差，甚至在某些情况下会导致错误。

本文以典型的十字形磁梯度张量测量结构（简称：十字形结构）为研究对象，分析该结构的计算方法，研究其误差来源并给出修正建议；还针对其使用错误的工况，提出有效的扫描方法。

1 多磁偶极子分辨问题

在实际工况中，对于离开磁源2.5倍或以上其自身尺寸距离时，磁源分析可采用“磁偶极近似法”[1]来处理。

对于单个磁偶极子，其磁场表达式为

式中：M为磁矩；r 为由磁偶极子到测点的位移矢量；r0为沿位移方向的单位矢量；µ0=4π×10-7H/m，为真空磁导率。

对于多个磁偶极子，其磁场在同矢量方向表示为

式中Bi为一个磁偶极子的磁场矢量。

2个磁偶极子的磁场简单模型为

如果2个磁偶极子距离很近，则取极限值r1=r2= r，这时有

如果2个磁偶极子在相同位置时，可视为一个磁偶极子。这种现象为多磁偶极子分辨带来正反两方面的影响。正面说明磁矩和位移矢量是相对独立的，方便了变量分离；反面则是磁偶极子在距离较近时，分辨力变弱。同时，由于磁偶极子磁场随距离三次方衰减，使得深部磁源分辨困难。磁梯度张量测量方法正好可以用于多磁偶极子分辨问题的处理[5]。

2 十字形磁场全张量结构分析

对磁场矢量B(Bx, By, Bz)三分量求散度，则可得到磁场的梯度张量：

由电磁场麦克斯韦方程可得：

磁场全张量G的9个元素中只有5个是相互独立的[6]，各元素可用差分计算获得[7]，用十字形结构可以快速地近似计算磁场全张量的9个元素。自制构型如图1所示。

十字形结构的计算采用了差分近似，而不是真正意义上的微分计算，这样必然会带来误差。

3 误差分析

3.1 传感器精度影响

十字形结构是由5个磁传感器组成，每个传感器的精度都会对整体结构产生影响。对于单个磁偶极子，当传感器测量相对误差增大时，定位误差区域也会随之扩大，而定位误差包括系统误差和随机误差[8]。本文分别用精度为0.01 nT、1 nT磁强计组成的2组十字形结构对4个预设的磁源进行测量，用欧拉方法[5]进行计算，结果如图2所示。

图2中红点代表预设磁偶极子位置，箭头表示磁矩矢量，蓝色表示反演结果。可见定位误差随传感器精度减小而增大，而精度为1 nT的磁强计探测结果出现漏解。因此建议选型时，尽量选择精度高的传感器搭建十字形结构，同时还要注意保持每种结构的5个传感器型号相同，以提高测量精度。

3.2 整体结构影响

十字形整体结构影响主要有两个方面。

一方面，传感器在加工和安装时，不能保证5个传感器的3个坐标轴和实际的坐标轴平行，这种非平行度会导致传感器测量偏差，从而引起磁梯度张量的测量误差，如图3所示。此时需要用相位差法[9]或者姿态法[10]来校准。

另一方面，5个传感器不一定完全在一个平面内，而是出现凸出或凹进的现象，导致计算的某个磁张量元素偏大或者偏小。这时需要对1个已知磁源进行定点、等距测量和对比，如果1个或2个传感器测量值和其他几个不同，可对这1个或2个传感器进行调整。如图 4所示，传感器 1、2、4、5的定点等距测量值是一致的，而传感器3的测量值偏大，需要调整。

3.3 基线距离影响

基线距离的选取对磁场梯度张量的计算有很大影响，计算误差随基线距离增加而增大[6]。特别指出的是，在应用十字形结构对多磁偶极子进行测量时，很可能出现错误，因为当传感器的型号定下来以后，十字形结构的基线最小距离就会被定下来。假设有2个磁源，它们的磁感应强度如图5所示，用十字形结构进行测量时，如果最小基线为d，按近似计算Bxx，则有

若差分结果为0，并且将2个偶极子测量成1个，此时就出现了错误。由此可见，十字形结构适用于测量大尺度多磁偶极子区域或者磁偶极子有一定距离的工况，而在小尺度多磁偶极子区域，计算结果很可能会出现错误。

3.4 环境影响

除了上述影响外，十字形结构还受到如背景噪声、温度等环境的影响。十字形结构测量系统利用了差分近似，能很好地过滤背景噪声；针对高精度测量，还可以在磁场屏蔽室里进行。温度按传感器要求选取即可，文中不做说明。

4 多磁偶极子磁场测量方法

在多磁偶极子磁场测量和计算时，可灵活利用十字形结构磁场全张量近似计算方法，但不能机械地用十字形结构进行测量，应视情况而定，可选取不同的间隔（基线距离）进行采点测量。为了有效测量数据，可利用传感器阵列测量，如图6(a)所示，图中每个蓝色方框内均可放置传感器。

首先将测量平面分为 m×n个网格，每个网格点为一个测量点，每个网格的边长为测量基线，设置传感器阵列。然后用该传感器阵列进行测量，为保持阵列的完好，只有通过移动被测物体进行数据采集。由于传感器型号定型后，传感器阵列的最小间隔就被确定，所以为获得更小的基线距离，可采用“拉锯式”补偿扫描测量法。

如图6(b)所示，本文利用4×4的传感器阵列对测量平面扫描，传感器最小基线距离为网格边长的3倍。蓝点为初始测量位置，记录数据后，横向移动一个网格边长距离，测量红点位置磁场数据；继续横向移动一个网格边长距离，测量黄点位置磁场数据；之后把被测物体向上移动一个网格边长距离，反向横向测量，以“拉锯”的方式测量整个网格点的数据。然后利用十字形结构的近似计算方法，获得磁梯度全张量信息。也可用类似的纵向测量方法。该方法即可控制传感器运行个数，又可并行测量，同时能获得任意基线距离。

5 结束语

本文针对多磁偶极子分辨的问题，分析了十字形磁梯度张量测量结构。使用该结构探测多磁偶极子时，探测精度会受传感器精度影响，且不同型号传感器的混用可导致更大的误差，整体结构的非平行度和非平面度、基线距离以及背景噪声的增大都会引起误差变大，特别在小区域内的多磁偶极子或磁偶极子相距很近时，机械地应用十字形结构会导致错误。最后文章给出“拉锯”式的测量方法。本文研究可对多磁偶极子的探测起到重要的作用。

（References）

[1] 尹刚, 张英堂, 李志宁, 等. 磁偶极子梯度张量的几何不变量及其应用[J]. 地球物理学报, 2016, 59(2):749-756 YIN G, ZHANG Y T, LI Z N, et al. Research on geometric invariant of magnetic gradient tensors for a magnetic dipole source and its application[J]. Chinese J Geophys, 2016, 59(2): 749-756

[2] TAKAAKI N, SATOSHI S, SHIGERU A. A closed-form formula for magnetic dipole localization by measurement of its magnetic field and spatial gradients[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2006, 42(10): 3291-3293

[3] PEDERSEN L B, RASMUSSEN T M. The gradient tensor of potential field anornalies: some implications on data collection and data processing of maps[J].Geophysics, 1990, 55(12): 1558-1566

[4] 谢启源. 弱磁物体矢量探测系统研究[D]. 南京: 南京航空航天大学, 2012: 22-30

[5] 陈俊杰, 易忠, 孟立飞, 等. 基于欧拉方法的多磁偶极子分辨技术[J]. 航天器环境工程, 2013, 30(4): 401-406 CHEN J J, YI Z, MENG L F, et al. Multi-dipole discrimination technology based on Euler inverse method[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2013,30(4): 401-406

[6] 张朝阳, 肖昌汉, 阎辉. 磁性目标的单点磁梯度张量定位方法[J]. 探测与控制学报, 2009, 31(4): 44-48 ZHANG C Y, XIAO C H, YAN H. Localization of a magnetic object based on magnetic gradient tensor at a single point[J]. Journal of Detection & Control, 2009,31(4): 44-48

[7] 刘超波, 王斌, 陈金刚, 等. 磁场全张量测量计算方法与误差分析[J]. 航天器环境工程, 2015, 32(1): 63-66 LIU C B, WANG B, CHEN J G, et al. Measurement method and error analysis of magnetic field full tensor[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2015,32(1): 63-66

[8] 张明吉, 王三胜. 基于SQUID梯度计的单磁源定位及磁矩反演误差分析[J]. 低温与超导, 2013, 41(3): 25-29 ZHANG M J, WANG S S. Error analysis for a SQUID-based magnetic gradiometer magnetic source localization and magnetic moment calculation[J].Cryogenics and Superconductivity, 2013, 41(3): 25-29

[9] 董昊, 周昌剑. 相位差法测量磁传感器阵列的非平行度[J]. 宇航计测技术, 2014, 34(5): 27-29 DONG H, ZHOU C J. Phase-difference algorithm for non-parallelism measurement of magnetic sensor array[J].Journal of Astronautic Metrology and Measurement,2014, 34(5): 27-29

[10] 陈谨飞. 基于梯度张量的磁异常目标定位方法研究[D].长沙: 国防科学技术大学, 2012

（编辑：肖福根）

The error and correction of cross-shaped magnetic gradient tensor in multi-magnetic dipole measurement

XU Chaoqun1,2, YI Zhong1,2, LIU Chaobo2, WANG Bin2
(1. Science and Technology on Reliability and Environmental Engineering Laboratory, Beijing Institute of Spacecraft Environment Engineering; 2. Beijing Institute of Spacecraft Environment Engineering: Beijing 100094, China)

The magnetic field full tensor detection is a promising technique for the multi-magnetic source inversion. The cross-shaped magnetic gradient tensor structure is widely used for its simple calculation, high precision and other desirable characteristics. But the systematic error analysis and the correction methods in the multi-magnetic source inversion field remain to be improved. This paper studies the multi-dipole discrimination,analyses the calculation structure and the error sources of cross shape. It is shown that the magnetometer precision, the overall structure, the background environment and the baseline selection will all cause errors, and even lead to mistakes. The correction methods and suggestions are then proposed, as well as a feasible scanning method.

multi-magnetic dipole; cross-shaped structure; error; correction methods

TM937

：A

：1673-1379(2017)03-0312-05

10.3969/j.issn.1673-1379.2017.03.015

徐超群（1985—），男，博士研究生，研究方向为航天器磁环境工程；E-mail: xucq111@163.com。指导教师：易 忠（1968—），男，研究员，博士生导师，主要从事航天器磁环境效应与测试技术研究。

2017-02-27；

2017-05-15

国家自然科学基金青年科学基金项目“基于磁场梯度张量的多磁源目标反演方法研究”（编号：51207011）

徐超群，易忠，刘超波，等. 十字形磁梯度张量结构在多磁偶极子测量中的误差与修正方法[J]. 航天器环境工程, 2017, 34(3)： 312-316

XU C Q, YI Z, LIU C B, et al. The error and correction of cross-shaped magnetic gradient tensor in multi-magnetic dipole measurement[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2017, 34(3)： 312-316