四元数张量方程A*NX=B 超对称极小范数最小二乘解2

蒋 华，袁仕芳

（五邑大学数学与计算科学学院，广东，江门 529020）

0 引言

本文记RI1×···IN×J1×···×JN为I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM实张量集合，CI1×···IN×J1×···×JN为I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM复张量集合，QI1×···IN×J1×···×JN为I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM四元数张量集合，SSRI1×…×IN为I1×… ×IN实超对称张量集合，SSQI1×…×IN为I1×… ×IN四元数超对称张量集合；对于A∈CI1×…×IN×J1×…×JN，Re(A) ，Im(A) 和A+分别表示张量A的实部、虚部和广义逆。

四元数是William Rowan Hamilton于1843年首次提出的。任意四元数q可以用实数q0,q1,q2,q3唯一表示为

张量A和B的Einstein 积*N定义为

1 几个引理和定义

A和B的行块张量定义为

2 Hilbert 内积空间中的一类线性最小二乘问题

定理2 如果问题II 中的张量方程(15)是不相容的，则问题III 的解集与方程(16)的解集相同。

3 一种张量与向量乘积

4A *N X = B 在 X∈SS下的结构

所以

5 问题I 的解

现在求解问题I。利用定理3，可以将四元数张量方程A*NX=B的最小二乘问题转化为实张量方程的最小二乘问题，并用Moore-Penrose广义逆求解。

对于四元数张量

证明 根据定理2 和定理3，问题I 等价于下面相容的矩阵方程

6 数值算法和数值例子

本节利用MATLAB 软件给出求解问题I 的数值算法和数值例子。

算法 1

其中

其中