短纤维增强三元乙丙橡胶横观各向同性黏--超弹性本构模型1)

谈炳东 许进升,2) 孙朝翔 贾云飞 范兴贵

∗(南京理工大学机械工程学院，南京210094)†(北京航天长征飞行器研究所，北京100076)

短纤维增强三元乙丙橡胶横观各向同性
黏--超弹性本构模型1)

谈炳东∗许进升∗,2)孙朝翔†贾云飞∗范兴贵∗

∗(南京理工大学机械工程学院，南京210094)†(北京航天长征飞行器研究所，北京100076)

短纤维增强三元乙丙橡胶包覆薄膜，是一种应用于固体火箭发动机缠绕包覆装药的新型复合材料.为了描述其在工作过程中受振动、冲击等载荷作用时的力学行为，基于黏弹性理论和纤维增强连续介质力学理论，提出了一种考虑应变率强化效应的横观各向同性黏--超弹本构模型.模型中应变能函数被分解为超弹性应变能和黏性应变能，其中超弹性应变能包括表征各向同性的橡胶基体应变能和表征各向异性的纤维拉伸应变能，黏性应变能采用表征橡胶和纤维黏性响应的宏观唯象模型.选取表征各应变能的函数形式，经过数学变换、替代、叠加，求解确定最终的应力应变形式，明确模型参数获取的具体步骤，将预测结果与实验结果对比分析，准确性较高.研究表明：该模型能有效预测材料在低应变率下纤维方向为0◦～45◦的非线性率相关力学特性；模型形式易于实现有限元开发，对固体火箭发动机装药结构完整性分析具有参考价值.

三元乙丙橡胶，横观各向同性，黏--超弹性，本构模型

引言

三元乙丙(EPDM)聚合物属于高分子橡胶弹性体，由于其具有密度小、绝热性能良好、耐老化等诸多优点，被广泛应用于固体火箭发动机绝热包覆层中[1].但是随着固体火箭发动机技术的不断发展，必须在传统的EPDM包覆层中添加补强剂、有机和无机功能填料以改善其性能，以便更好地适应发动机复杂的工作环境.目前国内外对于EPDM的研究大多是关于填料或者配比的改变对其耐烧蚀性和拉伸强度等性能参数的影响[25]，但对其承受不同载荷(温度、振动、冲击等)时表现的力学特征的研究较少，因此建立其本构模型就显得十分必要，能够为固体火箭发动机装药结构完整性分析提供理论依据.

EPDM纯橡胶在受力作用下，既表现出典型的超弹特性，又具有明显的应变率强化效应，综合表现出黏--超弹力学特性.经典的橡胶超弹模型主要基于统计热力学法和连续介质力学法[6]，其中应用较多的模型包括Arrdua-Boyce模型[7]、Mooney-Rivlin模型[8]、Yeoh模型[9]等.对于橡胶的动态黏弹特性，Christensen[10]应用橡胶弹性动力学理论得到非线性黏弹性本构模型；Yang等[11]、Bergstr¨om等[12]、Song等[13]等在超弹模型的基础上，考虑率相关性，建立不同形式的黏--超弹本构模型；Jiang等[14]对ZWT非线性黏--超弹本构模型改进，预测EPDM在准静态和动态冲击载荷下的力学行为.而本文研究的新型EPDM绝热包覆材料,由于添加短纤维，其力学特性呈现出各向异性，具体表现为沿纤维方向的力学性能与其他方向的具有明显差异，可以简化成横观各向同性[15].Pierce等[16]在各向同性的基础上，将模型发展到横观各向同性的条件下，进而去研究人体软骨胶原纤维在有限变形条件下的力学性能.Balnazi等[17]在自由能函数中加入横观各向同性项,从而推导出黏--超弹本构模型，能较好地表征动脉壁胶原软组织的应力回复特性.Jiang等[18]将表征软组织的弹性能量和黏性耗散结合构建出短纤维增强黏--超弹本构模型，以描述人类脊柱韧带的非线性、应变率相关力学行为.在各向同性的假设下，对于传统的黏--超弹本构模型的研究成果较多[1921]，但是基于横观各向同性的黏--超弹本构模型的研究却有限[2224]，主要原因是考虑到纤维方向性和黏性系数的不确定性，导致本构模型形式繁琐，参数测定方法复杂，其普适性大幅降低.

笔者结合黏弹性理论和纤维增强连续介质力学理论，将Helmholtz自由能函数分解为超弹性应变能和黏性应变能，其中超弹性应变能包括基体橡胶应变能和纤维拉伸应变能，选取表征各应变能的函数形式，通过变换、替代和叠加，求解应力--应变关系，从而建立一种能描述短纤维增强EPDM包覆薄膜的非线性、各向异性、应变率强化力学特性的黏--超弹本构模型.

1 材料和方法

1.1 实验材料

EPDM薄膜包覆材料是将芳纶短纤维作为增强体添加到各向同性的橡胶基体中，短纤维长度约为5mm，长径比约为200，其在基体橡胶中分散良好并呈单向分布，假设短纤维与基体橡胶完全粘合(不存在裂纹和滑移现象)，但橡胶和短纤维的性能迥异，所以EPDM薄膜包覆层具有各向异性和率相关的力学特性：当拉伸载荷沿纤维方向作用时，纤维能有效增加材料的抗拉强度；当卸载后，基体橡胶有助于材料恢复到初始状态.

定义平行于纤维方向为0◦，垂直于纤维方向为90◦，并且在 0◦～90◦之间每隔 15◦切取条形试件，图 1是其微观结构示意图.此种新型 EPDM薄膜包覆层的厚度约为0.5mm，切取带状试件，尺寸为80mm×10mm，标距为40mm.对EPDM薄膜包覆材料进行了单轴拉伸和偏轴拉伸实验，实验温度为291K，湿度为48%，实验所用的拉伸速率分别为5mm/min、20mm/min和100mm/min.

图1 EPDM薄膜包覆层示意图Fig.1 Diagram of EPDM inhibitor fil

1.2 本构方程

连续介质力学中，变形梯度张量 F=∂x/∂X，表示连续体的变形历史，其中 X和 x分别表示质点在初始构形和当前构形中的坐标.对右柯西--格林(Cauchy-Green)变形张量C=FTF求物质时间导数，得到变形率张量˙C

右柯西--格林应变张量不变量表示为

式中，I是二阶单位张量，结构张量A0=a0⊗a0，a0代表纤维方向，λF是纤维的伸长比.

右柯西--格林应变率张量不变量表示为

Helmholtz自由能函数W能够描述橡胶材料在大变形下的力学行为，考虑到EPDM包覆薄膜具有明显的率相关性，将应变能函数W分解为超弹性应变能We和黏性应变能ψv两部分[18,25-26]

超弹性应变能函数可以表示成与右柯西--格林应变张量C和纤维方向a0有关的应变张量不变量Ii的标量函数[27]

式中，超弹性应变能函数被分解为各向同性和各向异性两部分：I1,I2和I3表征橡胶基体的各向同性属性；I4和I5与纤维伸长率和伸长方向有关，用来表征各向异性.

黏性应变能具有率相关效应，表示为与右柯西-格林应变率张量˙C相关的应变率张量不变量Ji的标量函数[28]

由链导法则可得，应变能函数W对右柯西--格林应变张量C和应变率张量进行求导，得到第二皮奥拉--基尔霍夫(Piola-Kirchho ff)应力张量S

式中，∂Ii/∂C和∂Ji/∂是不变量的一阶导数

而表征真实应力的柯西(Cauchy)应力张量为

2 黏--超弹应变能的耦合

短纤维增强EPDM包覆薄膜在拉伸过程中具有非线性、各向异性、大变形的率相关力学特性，根据Spencer提出的纤维增强连续介质力学理论，通过解耦应变能函数，计算应力--应变关系，再进行叠加，是一种有效表征黏弹性材料力学行为的方法.

2.1 超弹应变能的解耦

用应变张量不变量 Ii表示的超弹性应变能函数，相比较I1，I2对于纤维增强橡胶的变形影响较小，可以被忽略[23,29]；基于不可压缩性假设，I3=J2=1；I4=，与纤维伸长率有关，不可被忽略；不考虑纤维和基体橡胶的相互作用，即忽略I5的影响[15,23,30].因此为便于获取参数，将超弹性应变能函数解耦为基体橡胶应变能和纤维伸长应变能，构造关于 I1和 I4的简单多项式应变能函数[15,18,30-31]

2.1.1 橡胶应变能

超弹性橡胶应变能函数的完全多项式形式可以表示为[32]

式中，Cij和Di为模型参数.在不可压假设下，选取N=2作为多项式的阶数，得到基体橡胶的超弹性应变能函数

式中，材料参数C10和C20的单位均为MPa.

2.1.2 纤维应变能

当纤维处于压缩状态时，其呈现弱阻力，所以假定纤维受拉伸载荷作用时，应变能与其拉伸长度有关，被定义为[33]

式中，材料参数C2和C3的单位均为MPa.

2.2 黏性应变能的推导

材料的黏度依赖于其微观结构和化学成分[34]，为简化材料的黏性表征方法，提出一种宏观的唯象模型来表征橡胶基体和短纤维的黏性响应，黏性应变能被定义为[18]

式中，黏性材料参数ηi单位均为MPa·min.

2.3 黏--超弹本构模型

超弹性应变能和黏性应变能的函数形式已经被定义，当I4≥1时，将式(13)～式(15)代入式(10)得简化后的黏--超弹本构模型应力张量

式中，B是左柯西--格林应变张量，a是纤维在当前构形中的方向向量，且B=F·FT，a=F·a0.

2.4 模型参数的确定方法

通过对黏--超弹应变能函数的分解耦合，采用7个材料参数利用最小二乘法拟合3种拉伸速率下的单轴拉伸和偏轴拉伸实验数据获得.材料参数由于纤维方向性而变得复杂，在相同变形的基础上，不同纤维方向会产生不同的力学响应，必须根据相应的实验数据进行分步拟合.

为简化参数获取，假定5mm/min拉伸速率的实验为准静态拉伸实验，即忽略基体材料和纤维的应变率效应，只表征超弹性力学响应；考虑到工程实用性，认为垂直于纤维方向的力学行为完全表征纯橡胶的静态力学属性；通过对I4取值分析和实验结果分析，当纤维方向大于45◦时，纤维增强作用明显被削弱，由此确定模型的适用范围为0◦～45◦.获取模型参数的具体步骤如下：

(1)拟合90◦纤维方向的5mm/min单轴拉伸实验数据，得到橡胶应变能的材料参数C10和C20；

(2)拟合0◦、15◦、30◦和45◦纤维方向的5mm/min偏轴拉伸实验数据，得到纤维拉伸应变能的材料参数C2和C3；

(3)拟合20mm/min拉伸实验数据，获取黏性应变能参数 η1,η2,η3和 η4；

(4)利用前面3步获取的材料参数对100mm/min拉伸实验数据进行验证，与不考虑黏性应变能的预测曲线进行对比.

3 模型参数确定及验证

3.1 本构模型一维形式

考虑到短纤维增强EPDM包覆薄膜的不可压和横观各向同性，假设变形前短纤维的单位方向向量为 a0=[cosα sinα 0]，单轴拉伸状态如图2所示.其变形梯度张量F、左柯西--格林应变张量B和应变率张量

其中，λi和分别表示第i个主方向的拉伸比和拉伸速率.

图2 短纤维增强EPDM单轴拉伸变形Fig.2 Uniaxial tensile deformation of short fibe reinforced EPDM

基于橡胶材料在有限拉伸变形下完全不可压和短纤维增强EPDM的横观各向同1性，假设主方向伸长比分别为λ1=λ，λ2=λ3=λ-2，计算可得

基于这种情况，对式(16)进行简化(忽略λ3方向上的应变率效应)，得到黏--超弹本构模型在单轴拉伸下的柯西应力

式中，σ=Pλ，P是工程应力.

3.2 参数拟合

3.2.1 超弹性材料参数

对于超弹性部分，没有必要考虑应变率效应的影响，通过拟合5mm/min速率下各个纤维方向的单轴和偏轴拉伸实验数据，即可获得表征超弹性应变能的材料参数，如图3所示.由此得到橡胶基体材料参数为

短纤维材料参数C2和C3如表1所示.

图3 超弹性参数拟合结果Fig.3 Fitting results of hyperelastic parameters

表1 短纤维材料参数C2和C3Table 1 Short fibe material parameter C2and C3

通过对短纤维材料参数C2和C3分析发现：参数C2和纤维方向α近似线性相关，利用线性回归分析得C2：y=-0.02189x+3.19074；参数C3与纤维方向无关，几乎保持恒定，约为-1.99738.

3.2.2 黏弹性材料参数

在超弹性材料参数确定的基础上，通过拟合20mm/min速率的应力--应变曲线获得黏弹性部分材料参数ηi，如图4所示.首先拟合20mm/min速率下90◦纤维方向的实验曲线，得到只与橡胶基体黏性响应有关的材料参数η1和η2；然后拟合其他纤维方向的实验曲线，获取表征纤维对橡胶作用产生的黏性响应的材料参数η3和η4，黏性材料参数见表2.

图4 黏弹性参数拟合结果Fig.4 Fitting results of viscoelastic parameters

表2 黏弹性材料参数ηiTable 2 Viscoelastic material parameters ηi____

3.3 模型验证

在获得所有材料参数的基础上，利用本文建立的各向异性黏--超弹性本构模型对100mm/min拉伸速率(应变率为2.5/min)的应力--应变曲线进行预测对比，同时给出了应变率为0.5/min和不考虑黏性的模型预测结果，如图5所示.

利用模型预测结果与应变率为2.5/min的实验数据吻合度较高，误差主要出现在拉伸的初始阶段，考虑拉伸实验数据受诸多因素影响，此误差在可接受范围内.与应变率为0.5/min和不考虑黏性的模型预测结果相比，相差较大，说明在相同拉伸条件下，材料表现出强烈的率相关效应，即应力随应变率的增加而增加.从而证明本文建立的各向异性黏--超弹性本构模型的有效性和准确性，能够表征0◦～45◦纤维方向和低应变率下短纤维增强材料的力学响应.

图5 不同应变率下的应力--应变曲线对比Fig.5 Comparison of stress-strain curve under di ff erent strain rates

4 结论

(1)基于纤维增强连续介质力学理论，提出了一种考虑应变率效应的横观各向同性黏--超弹性本构模型，能够描述短纤维增强EPDM绝热包覆材料在0◦～45◦纤维方向和低应变率下表现的大变形、非线性和各向异性的率相关力学特性.

(2)黏--超弹性应变能被解耦为超弹性应变能和黏性应变能，而超弹性应变能又被解耦为橡胶应变能和纤维拉伸应变能，其中纤维应变能材料参数C2和纤维方向α近似线性相关.

(3)所提出的各向异性黏--超弹性本构模型有效性好，获取材料参数的步骤明确，模型形式易于实现有限元开发，能为固体火箭发动机装药结构完整性数值分析提供参考依据.

(4)在拉伸初始阶段，模型预测结果与实验数据存在误差，可通过改进橡胶应变能函数形式提高模型的准确性.

1汪建丽，王红丽，熊治荣等.三元乙丙橡胶绝热层在固体火箭发动机中的应用.宇航材料工艺，2009，39(2)：12-14(Wang Jianli,Wang Hongli,Xiong Zhirong,et al.EPDM rubber insulation applied in solid rocket motor.Aerospace Materials and Technology,2009,39(2)：12-14(in Chinese))

2 Natali M,Rallini M,Kenny J,et al.E ff ect of Wollastonite on the ablation resistance of EPDM based elastomeric heat shielding materials for solid rocket motors.Polymer Degradation&Stability,2016,130：47-57

3 Singh S,Guchhait PK,Bandyopadhyay GG,et al.Development of polyimide–nanosilica fille EPDM based light rocket motor insulator compound：Influenc of polyimide–nanosilica loading on thermal,ablation,and mechanical properties.Composites Part A Applied Science&Manufacturing,2013,44(1)：8-15

4路向辉，杨士山，刘晨等.填料对三元乙丙橡胶包覆层性能影响研究.化工新型材料，2013，41(10)：131-132(Lu Xianghui,Yang Shishan,Liu Chen,et al.Study on the influenc of filler on the properties of EPDMrubber coating.NewChemical Materials,2013,41(10)：131-132(in Chinese))

5王纪霞，张志鹏，赵荣等.三元乙丙橡胶绝热层力学性能的改善.航天制造技术，2013(4)：41-44(Wang Jixia,Zhang Zhipeng,Zhao Rong,et al.Enhancement of mechanical performances of EPDM rubber insulation.Aerospace Manufacturing Technology,2013(4)：41-44(in Chinese))

6张少实.复合材料与黏弹性力学.第 2版.北京：机械工业出版社，2005(Zhang Shaoshi.Composite Materials and Viscoelastic Mechanics.Second edition.Beijing：China Machine Press,2005(in Chinese))

7 Arruda EM,Boyce MC.A three-dimensional constitutive model for the large stretch behavior of rubber elastic materials.Journal of the Mechanics&Physics of Solids,1993,41(2)：389-412

8 Mooney M.A theory of large elastic deformation.Journal of Applied Physics,1940,11(9)：582-592

9 Yeoh OH.Characterization of elastic properties of carbon-blackfille rubber vulcanizates.Rubber Chemistry&Technology,1990,63(5)：792-805

10 Christensen RM.A nonlinear theory of viscoelasticity for application to elastomers.Journal of Applied Mechanics,1980,47(4)：762-768

11 Yang LM,Shim VPW,Lim CT.A visco-hyperelastic approach to modelling the constitutive behaviour of rubber.International Journal of Impact Engineering,2000,24(6)：545-560

12 Bergstr¨om JS,Boyce MC.Large strain time-dependent behavior of fille elastomers.Mechanics of Materials,2000,32(11)：627-644

13 Song B,Chen W.Dynamic compressive behavior of EPDM rubber under nearly uniaxial strain conditions.Journal of Engineering Materials&Technology,2004,126(2)：213-217

14 Jiang J,Xu JS,Zhang ZS,et al.Rate-dependent compressive behavior of EPDM insulation：Experimental and constitutive analysis.Mechanics of Materials,2016,96：30-38

15董金平，张志强.基于横观各向同性超弹性理论的短纤维增强橡胶本构模型的建立与应用.计算力学学报，2016，33(2)：231-237(Dong Jinping,Zhang Zhiqiang.Establishment and application of short fibe reinforced rubber constitutive model based on transversely isotropic hyperelastic theory.Chinese Journal of Computational Mechanics,2016,33(2)：231-237(in Chinese))

16 PierceDM,TrobinW,RayaJG,etal.DT-MRIbasedcomputationof collagen fibe deformation in human articular cartilage：A feasibility study.Annals of Biomedical Engineering,2010,38(7)：2447-2463

17 Balzani D,Brinkhues S,Holzapfel GA.Constitutive framework for the modeling of damage in collagenous soft tissues with application to arterial walls.Computer Methods in Applied Mechanics&Engineering,2012,213-216(4)：139-151

18 Jiang Y,Wang Y,Peng X.A visco-hyperelastic constitutive model for human spine ligaments.Cell Biochemistryand Biophysics,2015,71(2)：1147-1156

19胡少青，鞠玉涛，常武军等.NEPE固体推进剂黏--超弹性本构模型研究.兵工学报，2013，34(2)：168-173(Hu Shaoqing,Ju Yutao,Chang Wujun,et al.A visco-hyperelastic constitutive behavior of NEPE propellant.Acta Armamentarii,2013,34(2)：168-173(in Chinese))

20胡小玲.炭黑填充橡胶黏超弹性力学行为的宏细观研究.[博士论文].湘潭：湘潭大学，2013(Hu Xiaoling.Micro and macro viscohyperelastic behavior of carbon black fille rubbers.[PhD Thesis].Xiangtan：Xiangtan University,2013(in Chinese))

21 Boccaccio A,Lamberti L,Papi M,et al.A hybrid characterization framework to determine the visco-hyperelastic properties of a porcine zona pellucida.Interface Focus A Theme Supplement of Journal of the Royal Society Interface,2014,4(2)：86-108

22黄小双，彭雄奇，张必超.帘线/橡胶复合材料各向异性黏--超弹性本构模型.力学学报，2016，48(1)：140-145(Huang Xiaoshuang,Peng Xiongqi,Zhang Bichao.An anisotropic visco-hyperelastic constitutive model for cord-rubber composites.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(1)：140-145(in Chinese))

23 Zhurov AI,Evans SL,Holt CA,et al.A nonlinear compressible transversely-isotropic viscohyperelastic constitutive model of the periodontal ligament//Proceedings of ASME,2008 International Mechanical Engineering Congress and Exposition,2008：707-719

24 Kulkarni SG,Gao XL,Horner SE,et al.A transversely isotropic visco-hyperelastic constitutive model for soft tissues.Mathematics&Mechanics of Solids,2014,21(6)：747-770

25 Spencer AJM.Continuum Theory of the Mechanics of Fiberreinforced Composites.New York：Springer,1984

26 Zhang F.Viscoelastic constitutive model of cord-rubber composite.Journal of Reinforced Plastics&Composites,2005,24(12)：1311-1320

27 Guo Z,Peng X,Moran B.Large deformation response of a hyperelastic fibr reinforced composite：Theoretical model and numerical validation.Composites Part A Applied Science&Manufacturing,2007,38(8)：1842-185

28 Limbert G,Middleton J.A transversely isotropic viscohyperelastic material：Application to the modeling of biological soft connective tissues.International Journal of Solids&Structures,2004,41(14)：4237-4260

29 Holzapfel GA.Nonlinear solid mechanics：A continuum approach for engineering science.Meccanica,2002,37(4)：489-490

30 Brown LW,Smith LM.A simple transversely isotropic hyperelastic constitutive model suitable for finit element analysis of fibe reinforced elastomers.Journal of Engineering Materials&Technology,2011,133(2)：307-314

31 Ishikawa S,Tokuda A,Kotera H.Numerical simulation for fibe reinforced rubber.Journal of Computational Science and Technology,2008,2(4)：587-596

32李晓芳，杨晓翔.橡胶材料的超弹性本构模型.弹性体，2005，15(1)：50-58(Li Xiaofang,Yang Xiaoxiang.A review of elastic constitutive model for rubber materials. China Elastomerics,2005,15(1)：50-58(in Chinese))

33 Peng XQ,Guo ZY,Du TL,et al.A simple anisotropic hyperelastic constitutive model for textile fabrics with application to forming simulation.Composites,2013,52(52)：275-281

34 Mattucci SF,Moulton JA,Chandrashekar N,et al.Strain rate dependent properties of younger human cervical spine ligaments.Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials,2012,10(10)：216-226

A TRANSVERSELY ISOTROPIC VISCO-HYPERELASTIC CONSTITUTIVE MODEL FOR SHORT FIBER REINFORCED EPDM1)

Tan Bingdong∗Xu Jinsheng∗,2)Sun Chaoxiang†Jia Yunfei∗Fan Xinggui∗∗(School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China)†(Beijing Institute of Space Long March Vehicle，Beijing 100076，China)

Short fibe reinforced EPDM inhibitor fil is a new type composite material,which has been applied in solid rocket motor winding and coating.Based on viscoelastic theory and fibe reinforced continuum mechanics theory,a transversely isotropic visco-hyperelastic constitutive model is proposed to describe strain rate dependent mechanical behaviors under vibration,impact and other loading conditions.The strain energy function is decomposed into hyperelastic strain energy and viscous strain energy,in which hyperelastic strain energy includes two parts：representing the strain energy from isotropic rubber matrix and anisotropic fibe tensile deformation.A macro-phenomenological model is proposed to characterizetheviscousresponsefromrubbermatrixandfibers Then,selectthefunctionformofeachstrainenergy.After a series of mathematical transformation,substitution and superposition,the fina form of stress and strain is determined.Moreover,the specifi steps to obtain model parameters are defined Finally,the predicted and experimental results are compared and analyzed,which indicates high accuracy of the proposed model.Studies show that it can e ff ectively predict their nonlinear and strain rate dependent mechanical behaviors in the fibe direction from 0◦to 45◦at low strain rate.It is concluded that the proposed model is easy to realize finit element development,which has reference value for the structural integrity analysis of solid rocket motor.

EPDM，transversely isotropic，visco-hyperelastic，constitutive model

O331，TB332，V435

：A

10.6052/0459-1879-16-380

2016–12–16 收稿，2017–03–23 录用,2017–03–23 网络版发表.

1)国家自然科学基金(51606098)和中央高校基本科研业务费专项资金(30915118805)资助项目.

2)许进升，副教授，主要研究方向：结构完整性分析.E-mail：xujinsheng@njust.edu.cn

谈炳东，许进升，孙朝翔，贾云飞,范兴贵.短纤维增强三元乙丙橡胶横观各向同性黏--超弹性本构模型.力学学报,2017,49(3)：677-684

Tan Bingdong,Xu Jinsheng,Sun Chaoxiang,Jia Yunfei,Fan Xinggui.A transversely isotropic visco-hyperelastic constitutive model for short fibe reinforced EPDM.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：677-684