Sylow-子群的自同构导子是小的有限群

卢家宽，孟 伟，王静静

(1.广西师范大学数学与统计学院，广西 桂林 541004；2.云南民族大学数学与计算机科学学院，云南 昆明 650031)

Sylow-子群的自同构导子是小的有限群

卢家宽1，孟 伟2，王静静1

(1.广西师范大学数学与统计学院，广西 桂林 541004；2.云南民族大学数学与计算机科学学院，云南 昆明 650031)

目的 研究自同构导子对有限群结构的影响。方法 使用单群分类定理及圈积等手段，分可解群、非可解群两种情况分别讨论。结果 证明了Sylow子群的自同构导子是小的有限群恰是幂零群。结论 某些特殊子群的自同构导子对有限群的结构具有很强的影响，对自同构导子附加合适条件后，可以得到有限群若干信息。

自同构导子；幂零群；可解群

0 引 言

在本文中，G表示有限群。设H≤G，由NG(H)中的元素诱导的H的自同构的全体，称为H在G中的自同构导子，记作AutG(H)。易见，AutG(H)=NG(H)/CG(H)，并且

Inn(H)≤AutG(H)≤Aut(H)

为了方便，称AutG(H)是小的，若Inn(H)=AutG(H)；称AutG(H)是大的，若AutG(H)=Aut(H)。容易验证，AutG(H)是小的当且仅当NG(H)=HCG(H)。

某些特殊子群的自同构导子对有限群的结构有很强的影响。例如，Zassenhaus[1]证明了如下经典结果：G是交换群当且仅当G的所有交换子群的自同构导子是小的。另一方面，Nomura[2]证明了：如果可解群G的所有交换子群的自同构导子是大的，则G同构于S1、S2、S3或Q8。Bechtell等[3]把Nomura的结果拓展到所有有限群。

在文献[4]中，Deaconescu和Walls提出了如下问题：

问题1.1 描述Sylow子群的自同构导子要么全是小的，要么全是大的有限群的结构。

在文献[2]中，Nomura证明了：如果G的Sylow子群的自同构导子是大的，那么G是亚循环群。于是，一个自然的问题是考虑Sylow子群的自同构导子是小的有限群的结构。在本文中，证明了这样的有限群恰是幂零群。

1 引 理

在这一节，证明列出自同构导子的一些基本性质，并列出几个有用的已知结果。

引理1.1 设G的Sylow子群的自同构导子在G中是小的。则

(1)如果N◁G，那么G/N的Sylow子群的自同构导子在G/N中也是小的。

(2)如果H是G的Hall子群，那么H的Sylow子群的自同构导子在H中也是小的。

证明 设H/N是G/N的Sylowp-子群，其中p∈π(G/N)。则存在G的Sylowp-子群P使得H/N=PN/N。于是

NG/N(H/N)=NG(P)N/N=PCG(P)N/N≤(H/N)CG/N(H/N)

另一方面，由于(H/N)CG/N(H/N)≤NG/N(H/N)，于是NG/N(H/N)=(H/N)CG/N(H/N)，即AutG/N(H/N)在G/N中是小的。

设P是H的Sylowp-子群，其中p∈π(H)。则P也是G的Sylowp-子群。由假设有NG(P)=PCG(P)，于是由模律得NH(P)=PCH(P)，即AutH(P)在H中是小的。证毕。

引理1.2[5]设E是非交换单群。则|E|的最大素因子不整除|Out(E)|。

在主要结果的证明中，使用到引理1.2；而引起1.2的原始证明使用到了单群分类定理。

引理1.3[6]设p≥5是素数，P是G的非平凡Sylowp-子群。如果NG(P)/CG(P)是p-群，那么Op(G)

2 结 果

定理2.1 设可解群G的Sylow子群的自同构导子是小的，则G是幂零群。

证明 设N是G的极小正规子群。由于G是可解群，故N是p-群，其中p是某个素数。由引理1.1(1)，定理假设对群G/N也成立。因此，对|G|用归纳，有G/N时幂零群。设P是G的Sylowp-子群。则N≤P，从而P/N是G/N的正规子群。这说明P也是G的正规子群。由假设知AutG(P)在G中是小的，即G=NG(P)是p-幂零群。令G=P×K，其中K是P在G中的正规p-补。再次用归纳，有K是幂零群。于是G是幂零群。证毕。

定理2.2 设G的Sylow子群的自同构导子是小的，则G是可解群。

证明 假设G非可解，并选择G是极小反例。设N是G的极小正规子群。由引理1.1(1)，定理假设对G/N成立。于是G/N是可解群。进一步，N是G的唯一极小正规子群。由于N非可解，故有N=K1×…×Kn，其中K1是非交换单群，对任意1≤i≤n，有Ki≅K1。由于CG(N)=1,把N与Inn(N)恒等，以及N≤G≤Aut(N)。

如果n=1,那么N=K1是非交换单群。由Burnside定理，存在素数p≥5使得p整除|N|。由引理1.2，知p⫮|Out(N)|,于是p⫮G/N|。这说明N包含G的某个Sylowp-子群，记为P。由假设AutG(P)在G中是小的，即NG(P)=PCG(P)。由于P≤N，由模律知NN(P)=PCN(P)。由引理1.3，Op(N)

下面证明：对任意p∈π(N)，有A*G∩Sn≅G/(G∩A*)是p-群。若不然，那么存在素数q≠p使得q||A*G∩Sn|。设P1是K1的Sylowp-子集，则P*=P1×…×P1是N的Sylowp-子群。再令P是G的Sylowp-子群，使得P∩N=P*。由于G/N可解，G/N的Sylow子群的自同构导子在G/N中是小的，故由定理2.1知G/N是幂零群。于是PN/N是G/N的正规子群，从而G=NG(P)N。选择q-元素x∈GG∩A*使得x∈NG(P)。则x∈NG(P*)。可以假设x=as,其中a∈A*,1≠s∈Sn。易见，s正规化P*，从而a正规化P*。于是a正规化P*的每个组成，而s非平凡置换P*的每个组成。因此，x不能中心化P*。这与NG(P)是p-幂零群矛盾。这说明A*G∩Sn是p-群。

由定理2.1和2.2可得下列推论：

推论2.1G是幂零群当且仅当G的sylow子群的自同构导子全是小的。

设P是G的Sylowp-子群，其中p∈π(G)。易见，AutG(P)在G是小的，等价于NG(P)=PCG(P)，等价于NG(P)是p-幂零的。因此由推论2.1可得如下推论：

推论2.2[5]G是幂零群当且仅当G的Sylow子群的正规化子是幂零群。

推论2.3[7]对任意素数p，如果G的任意Sylow子群的正规化子是p-幂零，则G幂零群。

[1]ZASSENHAUSH.AgrouptheoreticproofofatheoremofMacLagan-Wedderburn[J].ProcGlas-gowMathAssoc,1952(01):53-56.

[2]NOMURAK.Innersubgroupsoffinitegroups[J].KodaiMathJ,1978,1(03):354-361.

[3]BECHTELLH,DEACONESCUM,SILBERBERGGH.Finitegroupswithlargeautomizersfortheirabeliansubgroups[J].CanadMathBull,1997,43(03):266-270.

[4]DEACONESCUM,WALLSG.Automotives[M].London:CambridgeUniversityPress,2011:228-243.

[5]BIANCHIMG,MauriAGB,HAUCKP.OnfinitegroupswithnilpotentSylow-normalizers[J].ArchivderMath,1986,47(03):193-197.

[6]HUPPERB,BLACKBURNN.FinitegroupsIII[M].Heidelberg-New-York-Beilin:Springer,1982:12-74.

[7]BALLESTER-BOLINCHESA,SHEMETKOVLA.OnnormalizersofSylowsubgroupsinfinitegroups[J].SiberMathJ,1999,40(01):1-2.

[责任编辑：关金玉 英文编辑：刘彦哲]

Finite Groups with Small Automizers for Their Sylow Subgroups

LU Jia-kuan1,MENG Wei2,WANG Jing-jing1

(1.School of Mathematics and Statistics,Guangxi Normal University,Guilin,Guangxi 541004,China; 2.School of Mathematics and Computer Science,Yunnan Minzu University,Kunming,Yunnan 650031,China)

Objective To investigate the influence of Automizer on the structure of finite groups.Methods By the classification of finite simple groups and wreath product,the groups are divided into solvable and non-solvable groups.Results It proves that finite groups with small automizers for their Sylow subgroups are nilpotent groups.Conclusion The automizers of some subgroups have a strong influence on the structure of finite groups.Adding suitable conditions to automizers can lead to certain information of finite groups.

automizer;nilpotent group;solvable group

国家自然科学基金资助项目(11461007，11361075)；广西自然科学基金面上项目(2016GXNSFAA380156)；广西高校数学与统计模型重点实验室开放课题(2016GXKLMS002)。

卢家宽(1980-)，男，广西桂林人，广西师范大学副教授，博士。

O 152.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.05.005

来稿日期：2016-08-30