Eisenstein判别法的变换与推广

王子茹，梅 瑞，梁菊先

(河北北方学院理学院，河北 张家口 075000)

Eisenstein判别法的变换与推广

王子茹，梅 瑞，梁菊先

(河北北方学院理学院，河北 张家口 075000)

目的 Eisenstein判别法并不是对所有在有理数域上的不可约整系数多项式都适用，对其实行变化与推广，从而扩大Eisenstein判别法的适用范围。方法 对于整系数多项式，可以通过线性变换x=ay+b间接应用Eisenstein判别法的可能性，给出与Eisenstein判别法相对称的一种判别法。结果 论述Eisenstein判别法的若干具有实用价值的推广形式，并把Eisenstein判别法推广到整环上。结论 在整环上，可用Eisenstein判别法解决是否可约问题。

有理数域；不可约多项式；整环；商域；唯一分解环；素理想；本原多项式

有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题，可以归结为整系数多项式能否分解为2个次数较低的整系数多项式的乘积的问题。Kronecker曾给出一个通过有限次计算，实际判断任意一个整系数多项式能否分解为次数较低的整系数多项式的乘积的方法[1]。但该方法较为繁琐，实用价值不大。关于整系数多项式在有理数域上是否可约的问题，有一充分的判定条件，这就是著名的Eisenstein判别法[2]。

设

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

是1个整系数多项式。如果存在1个素数p，使得

(1)p⫮an

(2)p|ai，i=0,1,2,…,n-1

(3)p2⫮a0

那么f(x)在有理数域上不可约。

Eisenstein判别法并不是对所有的在有理数域上不可约的整系数多项式都适用，即只是整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件，而不是必要条件。为了扩大Eisenstein判别法的适用范围，可施行以下的变换与推广。

1 利用整系数多项式的线性变换x=ay+b

关于整系数多项式在有理数域上的可约性，显然有以下事实：

命题1 设f(x)是1个整系数多项式，b是1个整数。f(x)在有理数域上可约，当且仅当g(y)=f(y+b)在有理数域上可约。

这样，对于某些在有理数域上不可约、但不能直接用Eisenstein判别法的整系数多项式，通过选取适当的文字代换x=y+b(b∈Z)就可用Eisenstein判别法来判定。譬如分圆多项式f(x)=xp-1+xp-2+…+x+1(p是1个素数)在有理数域上不可约，这一事实不能直接、但可以间接应用Eisenstein判别法来判定，由命题1，令x=y+1即可[2]。

需要指出的是，并不是对于每个在有理数域上不可约的整系数多项式f(x)，都能找到1个整数b和1个素数p，使得g(y)=f(y+b)满足Eisenstein判别法的条件[3]。

进一步证明下面的命题。

命题2 设f(x)是1个整系数多项式，a和b都是整数。f(x)在有理数域上可约， 当且仅当g(y)=f(ay+b)在有理数域上可约。

显然，与命题1相比，命题2的适用范围更加广泛。例如对于多项式f(x)=x2+2x+5，不存在整数b和素数p，使得g(y)=f(y+b)满足Eisenstein判别法的条件[4]。但若令x=2y+1，则

3g(y)=f(2y+1)=4(y2+2y+2)

由Eisenstein判别法易见y2+2y+2在有理数域上不可约，从而f(x)亦然。

现在自然会提出这样的问题：如果1个整系数多项式f(x)在有理数域上不可约，并且不能直接应用Eisenstein判别法来判定，那么能否找到1对整数a和b以及1个素数p，使得g(y)=f(ax+b)满足Eisenstein判别法的条件？

对此有以下结论：

定理1 如果二次整系数多项式f(x)=a0+a1x+a2x2在有理数域上不可约，那么一定存在整数a和b以及素数p，使得g(y)=f(ay+b)满足Eisenstein判别法的条件[5]。

定理2 对任意正整数n(n≥3)， 存在n次整系数多项式f(x)， 使得f(x)在有理数域上不可约， 并且对任意整数a和b，g(y)=f(ay+b)不适用Eisenstein判别法[6]。

例如,多项式f(x)=x3+12x+4在有理数域上不可约，并且不存在整数a、b以及素数p，使得g(y)=f(ay+b)满足Eisenstein判别法的条件。

出于进一步讨论的需要，再明确比命题2更一般的事实：

命题3 设f(x)是1个整系数多项式。令

x=h(y)=b0+b1y+b2y2+…+bmym，

其中bi为整数(i=0,1,2,…,m),bm≠0,m≥2。如果g(y)=f(h(y))在有理数域上不可约，那么f(x)在有理数域上也不可约[5]。

再来考虑下面的问题：设整系数多项式f(x)在有理数域上不可约，并且不能直接应用Eisenstein判别法来判定，也不存在整系数多项式的线性变换x=ay+b，使变换后的整系数多项式g(y)=f(ay+b)满足Eisenstein判别法的条件，那么f(x)能否经过某个m(m≥2)次整系数多项式变换x=h(y)，使得变换后的多项式g(y)=f(h(y))满足Eisenstein判别法的条件？答案是否定的，即有下面的结论。

定理3 设整系数多项式f(y)在有理数域上不可约，并且不能直接用Eisenstein判别法来判定。如果f(x)能够通过2次或2次以上的整系数多项式变换x=h(y)， 使变换后的多项式g(y)=f(h(y))满足Eisenstein判别法的条件，那么f(x)一定可以通过整系数多项式的线性变换x=ay+b， 使得f(ay+b)也满足Eisenstein判别法的条件[7]。

定理3表明，对于不能直接应用Eisenstein判别法的在有理数域上不可约的整系数多项式f(x)，如果不存在整系数多项式的线性变换x=ay+b，使变换后的多项式g(y)=f(ay+b)满足Eisenstein判别法的条件，那么不必再考虑2次或2次以上的整系数多项式变换x=h(y)。

2 与Eisenstein判别法相对称的一种判别法

借助下面的命题可以得到与Eisenstein判别法相对称的一种判别法，它能判定用Eisenstein判别法所不能判定的一些在有理数域上不可约的整系数多项式[3]。

命题4 数域F上的n次多项式

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

与

在F上同时可约或不可约。

由命题4和Eisenstein判别法即可得到以下结果：

定理4(与Eisenstein判别法相对称的判别法)设

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

是1个整系数多项式。如果存在1个素数p，使得

(1)p⫮a0

(2)p|ai,i=1,2,…,n

(3)p2⫮an

那么f(x)在有理数域上不可约。

定理4与Eisenstein判别法在形式上关于多项式f(x)的常数项和最高次项系数是对称的。但二者是不能相互代替的。

例如对于多项式f(x)=2x2+2x+5， 取p=2， 由定理4知f(x)在有理数域上不可约；但f(x)不能用Eisenstein判别法来判定，甚至不存在整数a、b，使得g(y)=f(ay+b)适用Eisenstein判别法。

由于定理4与Eisenstein判别法具有“对称性”，所以该方法对于判断1个整系数多项式在有理数域上不可约也只是一个充分条件而不是必要条件。同样也存在这样的整系数多项式f(x)，它的确在有理数域上不可约，但不存在整数a、b和素数p，使得经过文字的整系数线性变换x=ay+b后得到的多项式g(y)=f(ay+b)适用定理4。

3 Eisenstein判别法的若干推广形式

下面是Eisenstein判别法的几种推广。尽管这些新判别法可以用来判定更多的整系数多项式在有理数域上不可约，它们仍是整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件而不是必要条件。

定理5 设

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

是1个整系数多项式。如果f(x)没有有理根，并且存在1个素数p，使得

(1)p至少不能整除an和an-1中的1个

(2)p|ai,i=0,1,2,…,n-2

(3)p2⫮a0

那么f(x)在有理数域上不可约[8]。

利用命题4和定理5，又可得到

定理6 设

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

是1个整系数多项式。如果f(x)没有有理根，并且存在1个素数p，使得

(1)p至少不能整除a0、a1中的一个

(2)p|ai,i=2,3,…,n

(3)p2⫮an

那么f(x)在有理数域上不可约。

定理5的适用范围显然比Eisenstein判别法要广泛。例如对于多项式f(x)=3x5+7x4+3x2+3x+3，容易验证它没有有理根；再取p=3，则由定理5可知f(x)在有理数域上不可约。但f(x)不能直接用Eisenstein判别法判定。

定理5可进一步推广为如下定理：

定理7 设f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6)是一个整系数多项式。如果f(x)没有有理根，也没有整系数二次因式，并且存在1个素数p，使得

(1)p至少不能整除an,an-1,an-2中的1个

(2)p|ai,i=0,1,2,…,n-3

(3)p2⫮a0

那么f(x)在有理数域上不可约[9]。

由命题4和定理7，又有

定理8 设

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6)

是1个整系数多项式。如果f(x)没有有理根，也没有整系数二次因式，并且存在1个素数p，使得

(1)p至少不能整除a0、a1、a2中的1个

(2)p|ai,i=3,4,…,n

(3)p2⫮an

那么f(x)在有理数域上不可约。

下面的定理是比定理7更一般的结果。

定理9 设

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

(1)p至少不能整除an,an-1,…,an-k中的1个

(2)p|ai,i=0,1,2,…,n-(k+1)

(3)p2⫮a0

那么f(x)在有理数域上不可约。

再由命题4，仿上可给出与定理9相“对称”的判别法。

下面的方法是根据一个整系数多项式的部分系数，采取类似于Eisenstein判别法的方式判断其在有理数域上因式分解的可能性，这在一定程度上也是Eisenstein判别法的推广。

定理10 设

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

是1个整系数多项式，其中a0an≠0,n≥2。如果存在1个素数p，使得

(1)p|ai,i=0,1,2,…,k(k≤n-1,2k≥n)

(2)p⫮ak+1

(3)p2⫮a0

那么f(x)在有理数域上不能分解为2个次数都小于k+1的多项式的乘积[10]。

在定理10中取k=n-1，得到Eisenstein判别法，即Eisenstein判别法可视为定理10的一个特殊情形。

利用命题4和定理10，便可得到与定理10相对称的判别法。这可叙述为下面的定理。

定理11 设

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

是1个整系数多项式，其中a0an≠0，n≥2。如果存在1个素数p，使得

(1)p|ai,i=0,1,2,…,k(k≤n-1,2k≥n)

(2)p⫮ak+1

(3)p2⫮a0

那么f(x)在有理数域上不能分解为2个次数都小于k+1的多项式的乘积。

4 在整环上的表达

Eisenstein判别法可以很自然地推广到一般的整环上。

定理12 设R是一个整环[11]，F是R的商域，R[x]是R上未定元x的多项式环，f(x)∈R[x]，并且

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

如果存在R的一个素理想[12]P，使得

(1)an∉P

(2)ai∈P,i=0,1,2,…,n-1

(3)a0∉P2

那么f(x)不能分解为R[x]中两个次数都小于n的多项式的乘积；换而言之，f(x)在F(x)中不可约。

证明 用反证法。假设在R[x]中，有

f(x)=g(x)h(x)

g(x)=b0+b1x+b2x2+…+brxr

h(x)=c0+c1x+c2x2+…+csxs

其中bi，cj∈R(i=0,1,2,…,r;j=0,1,2,…,s),br≠0≠cs,r

a0=b0c0，an=brcs。

因为a0=b0c0∈P，P为R的素理想，所以b0∈P或c0∈P。但由于a0∉P2，所以不能有b0∈P，且c0∈P。不妨设b0∈P而c0∉P。

可以断言不能有bi∈P,i=0,1,2,…,r。若不然，br∈P可推出an∈P，这与(1)矛盾。假定b0,b1,b2,…,br中第一个不属于P的元素为bk(0

b0,b1,…,bk-1∈P而bk∉P

考察f(x)的系数

ak=bkc0+bk-1c1+…+b1ck-1+b0ck

因为k≤r

注记：定理12在唯一分解环R上当然也成立。但此时不能把定理12的结论改为f(x)在R[x]中不可约(不可分解)，虽然R[x]也是唯一分解环，因为f(x)的诸系数的公因子在R(⊂R[x])中也许能够分解为若干素元的乘积。如果把定理12的条件加强为f(x)是一个本原多项式，则其结论可表述为f(x)在R[x]中不可约。

[1]范德瓦尔登BL.代数学(I)[M].丁石孙，曾肯成，郝鈵新，译.北京：科学出版社，1978：110-111.

[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].4版.北京：高等教育出版社，1999：74.

[3]寇福来.关于艾森斯坦因判别法的间接应用[J].数学的实践与认识，2006，36(04)：266-270.

[4]张群.关于Eisenstein判别法的一点注记[J].数学通报，1984(10)：23.

[5]郑格于.Eisenstein判别法的应用(1)[J].数学通报，1988(02)：37-41.

[6]张鸿图.Eisenstein判别法的应用(2)[J].聊城师院学报(自然科学版)，1991(03)：27-29.

[7]金国祥.对“Eisenstein判别法的应用(2)”一文中所承认的一个结论的商榷[J].数学通报，1993(04)：44-47.

[8]马跃超.整系数不可约多项式的两个判别法[J].数学通报，1988(06)：20-21.

[9]王青宁.整系数多项式不可约判别法[J].青海师专学报，2005(06)：26-27.

[10]彭明海.关于多项式因式分解的两个定理[J].数学通报，1994(05)：35-36.

[11]张禾瑞.近世代数基础[M].修订本.北京：人民教育出版社，1978：89.

[12]丘维声.抽象代数基础[M].北京：高等教育出版社，2003：135.

[责任编辑：关金玉 英文编辑：刘彦哲]

Transform and Extension of Eisenstein Discriminant Method

WANG Zi-ru,MEI Rui,LIANG Ju-xian

(School of Sciences,Hebei North University,Zhangjiakou,Hebei 075000,China)

Objective Eisenstein discriminant method does not apply to all the irreducible integral coefficient polynomials in rational number field.To expand the scope of the Eisenstein discriminant method,it is necessary to implement its changes and promotions.Methods For the integral coefficients polynomial,a discriminant method symmetric with the Eisenstein discriminant method is given within the bounds of possibility of applying integral coefficient polynomial by linear transformingx=ay+bindirectly.Results The practical extensive forms of Eisenstein discriminant method are discussed and extended to integral domain.Conclusion In integral domain,reducible problem can be solved by Eisenstein discriminant method.

rational number field;irreducible polynomial;integral domain;quotient field;unique factorization domain;prime ideal;primitive polynomial

张家口市科学技术研究与发展计划项目(13110039I-4)；河北北方学院教育教学改革项目(JG201545)；河北北方学院自然科学研究计划项目(Q2013002)

王子茹(1997-)，女，河北石家庄人，河北北方学院理学院在读学生。

梅瑞(1982-)，女，河南孟津人，河北北方学院理学院讲师，硕士，研究方向：应用数学。

O

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.05.003

来稿日期：2016-12-30