初中数学因式分解规律化教学探讨

陈飞龙

【摘要】 本文在初中数学因式分解疑难点透析基础上，紧扣因式分解方法，对因式分解规律化教学进行探讨，总结出一套行之有效的方法，提高课堂教学效果。

【关键词】 因式分解 规律化教学 提公因式法 公式法 综合化

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）06-133-010

因式分解有什么意义呢？为什么要进行因式分解呢？因式分解其实是整式乘法的逆运算，是分式约分、化简的基础，是一些日常简便运算的一种重要思路……既然因式分解这么重要，我们在教学过程中就不能掉以轻心，必须认真对待。

一、提公因式法分解因式

什么是公因式？我们通常把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。在因式分解的过程中如何找准、找全公因式？找到之后又如何去分解因式？

勿庸置疑，若一个多项式中各项系数为1或-1的，找起来是很容易的。如ab+bc的公因式是b；x3y-x2y的公因式是x2.若多项式中各项系数并不是1或-1的，那还要找各项数字因数的最大公约数来充当公因式的一部分因数。如：24a2b+36ab2c的公因式是6ab，這是因为24与36的最大公约数是6；24a2b与36ab2c这两项中，以a为相同底数的幂的最低次数是1，以b为相同底数的幂的最低次数是1。因此，它们的公因式就是6ab.这样我们就知道公因式是怎么回事了，它就是各项数字因数的最大公约数与各项同底数幂的最低指数幂的组合因式。它是由数字因数与最低指数幂两部分组合而成。

弄清这一点后，提公因式时就要注意了。先找数字因数部分的公因式，再找相同底数幂的公因式，组合写在一起，就是这个多项式的公因式。如：8a2b2-12ab2c+4ab，8，12，4这几个数字的公因式是4；a2b2，ab2c，ab这几个字母部分的公因式是ab，因此整个式子的公因式是4ab.另外，还有一些多项式中又含有多项式的式子，如a（x-3）+2b（x-3），它的公因式是（x-3）.这个与上面所述的方法大同小异，在此就不作赘述。如果把学到这一点就已理解了公因式的真谛，那就错了。还有一种情况，如多项式-24x3+12x2-28x，按照上面的理解，该多项式的公因式就是4x，但按照北师大版2016版的教科书的理解及一些资料如南方出版社的《学考精练》的理解，该多项式的公因式是-4x。

只找准了公因式，还未学会如何去分解，当然是不够的。如何去分解呢？我们还是先从简单的入手。如上面提到的式子分解如下：

8a2b2-12ab2c+4ab=4ab（2ab-3bc+1）.

首先把公因式写在前面，紧接着加一个括号，里面就收拾原式中除去公因式后剩余的部份就行了，原先的符号不变。如：8a2b2中的8除去了数字因数4，还剩一个因数2. a2b2除去了因式ab，还剩下因式ab，因此该项就剩下2ab，其它项类同。值得一提的是：当多项式中有与公因式相同的项时，要用1去代替而不能认为它什么都没有了。收拾残留时，符号是不变的。如上面式子中的4ab，已全部提出去了，所以用1代替，有不少同学就错误地分解如下：8a2b2-12ab2c+4ab=4ab（2ab-3bc）.但若遇到前面提到过的-24x3+12x2-28x，这个多项式第一项为负的时，又该如何去进行分解呢？若一步到位地将公因式-4x提出来，那么每项的残留都会涉及到符号问题，非常的不方便。这时我们可把负号先提出，各项变号后，就不需要再在提公因式时考虑负号了。因此该式可以这样分解：

-24x3+12x2-28x=-（24x3-12x2+28x）

=-4x（6x2-3x+7）。

还有一种变式的公因式，可能会有一些同学所识别不出来。那就是互为相反数的式子可以形变成公因式。例如将下列各式因式分解：

（1）a（x-y）+b（y-x）； （2）6（m-n）2-12（n-m）3。

我们可以不难发现（x-y）与（y-x）不是公因式，但他们互为相反数。同理（m-n）与（n-m）也是互为相反数。教学时，我们不妨先举个简单显浅的相反数形变来讲解一下其中的奥妙之处。如：1的相反数是-1，1是不等于-1的。但我们再次找-1的相反数，把它写成-（-1）；那么1=-（-1）；这就告诉我们，我们可以通过偶数次变换相反数来获得与原数等值的形变。因而上面两道式子可以分解如下：

（1）a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）

=（a-b）（x-y）；

（2）6（m-n）2-12（n-m）3=6（n-m）2-12（n-m）3

=6（n-m）2[1-2（n-m）]

=6（n-m）2（1-2n+2m）。

从上面两式的分解来看，我们不难想象：如果是幂的底数互为相反数，那么选择指数为偶数的幂来进行形变比较方便。

二、公式法分解因式

1.平方差公式。（a+b）（a-b）=a2-b2，这是整式乘法的特例公式。逆过来运算才是分解因式：a2-b2=（a+b）（a-b）。我们不难发现，要运用这道公式分解因式，前提条件是：

a.这个多项式是由两大项组成；

b.这两大项必须是平方项或可以改写成平方项。不能是部分平方而是整大项的平方；

c.这两个平方项必须是异号的（因为异号才可以写成差的形式）。

分解方法：用这两大项的底数进行相加、相减然后再把结果相乘。在教学过程中，我们应该告诫学生切勿操之过急，胡乱套用公式。如：

25-16x2=52-（4x）2

=（5+4x）（5-4x）。

错例分析：

（1）m2-9n2=（m+9n）（m-9n），这是错误的。

正确的答案是m2-9n2=（m+3n）（m-3n）。因为9n2这一项只有n在平方，而9并未加入到平方的行列。应先将9n2变成（3n）2，这样才符合是整项的平方。

（2）-x2-y2=-（x+y）（x-y），这是也错误的。

在教学过程中，要提点学生不要以为有个-号就是差。真正的差的概念是两项异号。

2.完全平方公式。（a±b）2=a2±2ab+b2，这也是整式乘法的特例公式。逆过来运算才是分解因式：a2±2ab+b2=（a±b）2；经观察找规律后，我们不难发现，要运用这道公式分解因式，前提条件是：

a.这个多项式由三大项组成；

b.其中有两大项是平方项且是同号的；

c.这两大项底数乘积的2倍（不限正负）要出现。

分解方法：两底数相加或相减（原式中2倍底数积项是正的就相加，是负的就相减）后再平方，这种分解最后的形式一般都是括号括住后再平方的。

三、综合化分解因式

因式分解是多变的，灵活的，有时还会是综合的。如：x4-x2；这道式子综合了提公因式法分解因式与运用平方差公式法分解因式，分解如下：

x4-x2=x2（x2-1）

=x2（x+1）（x-1）

因此，我们在分解时，应当遵守以下原则：（1）对于第一项为负的多项式，优先考虑将负号提出（尤其是三项以上的）；（2）能够用提公因式法分解的，先用提公因式法分解；（3）分解之后能够化简的要化到最简，分解之后还可以再进一步分解的还要继续分解。

综上所述，在教学因式分解时，我们就应当不断地引导学生挖掘分解因式中所蕴含的规律，让学生对规律变化进行由浅入深、循序渐进地探讨，总结出一套行之有效的方法，提高课堂教学效果。