多波束数字测深地图正态插值重建

于家成　徐学强

【摘 要】提出了利用正态分布进行多波束系统水深地图重建的方法，首先根据二维正态分布对距离反比权重插值算法进行改进，形成正态插值算法，用该算法对原始水深数据进行插值以模拟实际地形；继而根据多波束系统测深原理对模拟地形进行航向东偏北45°角的水深测量，通过5个校正因子对实时测量数据进行校正；最后使用正态插值算法对改正后的测量数据重新插值，完成实时测量地图的重建。使用某海域真实水深数据进行仿真，结果表明，校正后的实时地图相对直接测量误差减小了3.3米，建图精度获得了明显提高。

【关键词】多波束数字测深；正态插值算法；地图重建

Normal Interpolation Reconstruction of Multibeam Digital Bathymetry Map

YU Jia-cheng1 XU Xue-qiang2

（1. Department of Electronics and Information Engineering， North China Institute of Science and Technology ， Hebei Langfang， 065201， China；2. China South Industries Research Academy， Beijing，100089， China）

【Abstract】The method that realtime multibeam digital bathymetry map is reconstructed according to the law that seabed elevation follows normal distribution is proposed. At first， inverse distance weighted（IDW） is transformed to normal distribution weighted（NDW）， then the raw depth data is interpolated using NDW to imitate actual terrain. Secondly， the imitated terrain is measured along 45 degrees north east direction and realtime data are corrected by five factors； Thirdly， the corrected data are interpolated by NDW to construct realtime terrain map. The construction process is verified by using practical water depth data of certain seafloor. Simulation results show that the reconstructed map error is decreased by 3.3m relative to previous， thus the map reconstruction precision is improved obviously.

【Key words】Multibeam digital bathymetry；Normal distribution weighted（NDW）；Map reconstruction

多波束水深测量的关键在于建立高分辨率的海底数字地形模型（digital terrain model DTM）[1]， 这是目前多波束数据处理研究中的一个重点。为实现大数据量离散深度数据的快速海底数字地形建模和可视化，国内外研究人员通常采用对离散深度数据进行格网化处理[2]，其实质是对深度数据进行内插，使离散分布的数据点变为规则栅格分布。根据数据量的大小，一般分为中小规模数据的插值和大规模数据的插值大类[3]。本文以单平面换能器多波束系统为例建立仿真模型，对波束的立体宽度，从横纵两个方向对水深测量的影响进行改正，以提高水深测量精度，在此基础上，采用以二维正态分布构建权重的算法来构建规则格网（GRID）的DTM。

1 距离反比权重法的改进

1.1 算法原理

距离反比权重法（inverse distance weighted，IDW）基于如下的假定： 相互之间距离较近的对象相对于距离较远的对象之间有更强的相似性。在连续的自然地形表面上所采集的离散点高程属性符合这种假定。IDW采用周边已经测定的采样点（已知点）来确定未知点的数值， 距离该点位近的已知点对其数值的影响大于距离较远的点。因此，IDW假定数据集中的每一个已知点都对该未知点存在局部的影响力，这种影响力的大小随着距离的增大而逐渐消失。IDW给距离较近的点分配一个比较大的权值，而给较远的点分配一个较小的权值以体现这种影响力[1]。即[4]

设空间待插点为点P（xP，yP，zP），P点邻域内有已知离散点Qi（xi，yi，zi），i=1，2，…，n，利用距离反比权重法对P点的属性值z进行插值。待插点的属性值f（x，y）是待插点邻域内已知离散点属性值的加权平均，

zp= w（d ）z / w（d ）（1）

式中，w（di）是权函数， 其值与待插点与邻域内离散点之间的距离有关， 是距离的k次方的倒数，w（di）=1/d2i。k值越低，插值结果越平滑，k值越高，插值结果细节越详细，通常取为2。zi是第i个离散点的数值，di是该点到网格点之间的距离[5]。

1.2 算法改進

大量研究表明：自然地形的起伏满足随机分布规律，而DEM是表示地面高程空间分布的数字地面模型， 反映自然地形的起伏变化，确实服从一定的统计分布规律，一般可以用正态分布代替[6]，即以未知点为中心，未知点与周围点之间随位置的远近呈现出一种正态分布的关系。未知点对自身的影响最大，具有最大的权值，周围点随着距离的增大权值逐渐减小，符合正态分布。对海底地形而言，点相对未知点所具有的权重为

w（d）=f（x，y）= exp = exp （2）

由于距离越远， 影响力越小。随着距离的增大，己知点对于未知点的影响实际上已经可以忽略不计， 为了加快运算速度， 设定这些点的权重为0。因此， 需要指定一个未知点的搜索邻域， 只考虑位于该邻域内的已知点对未知点所造成的影响。邻域的形状与数据集的特性有关： 如果权值确定不需要考虑方向性的影响， 则邻域的形状可以是一个圆形[6]

1.3 搜索半径的确定

在文献[7]中，使用一矩形作为搜索区域，对落在矩形窗内的有效数据，都进行插值。为了防止失真，设立有效数据个数门限，当矩形窗内的有效数据个数小于此下限值，则此网格节点为无效值。这个门限缺省值为1，即只有矩形窗内存在数据，该网格节点即为有效点，但是为了确保插值的准确性，推荐值为3。在本文中，为了符合正态权重公式w（d）= exp ，采用一圆形区域，如果所用网格为不完全规则的矩形网格，为了兼顾运算速度和确保插值的准确，把半径取为最大网格的对角线长度，与文献[1]不同的是，网格点为已知数据点，格内的任一点为待插点，这样任意待插点都至少有4个已知点为其插值作出贡献，也为网格大小不一时保留一定的余度，以防在待插点周围搜索不到已知点，如图1所示，|AB|=max（经度网格间距），|AC|=max（纬度网格间距），取搜索半径R=|AD|。如果最大经度网格间距与最大纬度网格间距不从属同一个网格，仍然这样取搜索半径。

2 多波束系统水深扫描

2.1 多波束数字测深模型

如图2所示，设沿船体横向（垂直龙骨方向）第i个波束投射到海底到换能器所处方向的横向倾角为β，沿船体运动方向（平行龙骨方向）的纵向倾角为，换能器所在位置P。设船体从原点开始沿方向 航行，航速V，采样时间T，由于存在横纵两个方向的波束宽度，第i个波束照射的海底离散点形成一个矩形点集Vi。

2.2 测深搜索算法设计

设船体沿以角度东偏北45°，船速6m/s，匀速直线航行50s，采样时间1s。在进行地图扫描时，首先把换能器中心归结到最近网格点，以该点为中心，以2max|z|·tg（iθ）为边长建立正方形作为搜索区域，搜索点数为int +1，（grid为网格间距）；得到ri（xn，ym），从而得到Zi、Li，脚印位置（xi，yi），按照 方向，以足够大矩形区域进行搜索，中间波束脚印位置进行最近网格点归结后作为向外边缘的下一个波束的搜索区域的起点。搜索完成后产生的16×51水深数据地图如图3所示，由该图可以发现，测船扫描过一段左低右高的慢坡曲面。水深在-980米～-1060米之间。

3 水深测量校正

多波束系统的测深换能器发射的声波具有一个立体波束角，声波到达海底或碰到不同的介质界面时返射，再被换能器接收，接收换能器收到的信号可能是在这个波束角所覆盖的任何水深。正确深度应该是波束角所覆盖区域的中心点水深值，显然，它不同于声波覆盖区域的边缘点水深值，因此产生水深测量误差。此项误差在海底水深变化较大的地方尤为明显[4]，尤其在实测水深较深或海底坡度较大的地形时，由于存在波束宽度，往往产生地形图等深线向断面方向前后凸凹、弯曲的情形[8]，形成虚假地形，从而使绘制的海底地图与实际地形存在差异。在水深测量中，是以最短距离作为记录长度，由于存在波束宽度及地形的起伏，并且随着波束投射角的增大，测量的误差越来越大，尤其边缘波束更趋明显。在以往的实际工作中，一般认为约占10%的外侧波束（左右各占5%）定义为边缘波束，为了保证数据的精度满足要求，常常强制性地将这些波束舍弃[9]。为了减小测量误差，需要对测得的数据进行地形补偿。

在多波束水深测量中，由于存在横向波束宽度，随着如图2所示中α，β的影响。为了减小测量误差，需要对测得的数据进行地形补偿。以因子A1=cos（（i-1）θ-α）·sec（（i- ）θ-α），A2=cos（α-iθ）·sec（α-（i- ）θ），A3=sec（|（i- ）θ-α|）来校正沿船体横向（垂直龙骨）的倾斜角；以B1= ，B2= 来校正沿船体纵向（平行龙骨）的倾斜角。校正前后的水深误差如图4（a）（b）所示，比较发现，校正后的水深误差极大减小，精度提高4倍左右。

4 实时图重建

4.1 實时图重插值

对经过校正后的水深值，按照校正后的水深进行插值，确定插值区域的原则是，插值区域为实时扫描图的中间矩形区域，并且最大程度的覆盖扫描区。在扫描过程中，相邻波束脚印之间的距离往往较大，并且随着水深变化、地形起伏也不断变化，在建立实时扫描地图时需要在中间进行插值填补以连接起来，沿航行方向及其垂直方向建立规则格网，如图5中所示矩形区域，从换能器所在航线的中点开始，向左右、上下蔓延，为保持一致，每次蔓延的网格间距与初始插值时相同（实际插值时没此限制，可以根据需要设置）。使用ceil取整，以使得待插点都是整数个网格间距，同时又在插值区域内，其中，“×”为已知脚印点，格网的交叉点为待插值点。

使用本文1中的方法计算校正后水深的平均值和标准差，进行正态插值，建立新的水深实时测量图如图6（a）所示，相应的建图误差如图6（b）所示。

4.2 重建误差分析

将地图重建后的水深值、水深测量值、测量校正值，分别与同位置原始水深进行比较，同位置原始水深值通过对初始10×10格网进行正态插值获得，它们之间的误差如表1所示，由表1发现，改正后的平均误差与最大误差都显著减小，地图重建后的平均误差及最大误差相比测量改正后的误差进一步减小，这主要是因为在选取插值区域时选择了扫描地区的中间矩形区域，边缘波束被舍掉，而边缘波束测量及改正后的误差都在整个扫描图中最大所致。

5 结论

本文通过正态权重的距离反比权重插值算法，对某海域的已有实际水深数据进行插值，继而使用多波束进行扫描、校正，完成实时地图的重建。海底地形变化多样，细节复杂，使用5个因子的校正是近似的。同时，为了航行安全起见，可以保留适度的浅误差，但如果取得的实时图是为了匹配，则要提高精度，要根据实际情况，二者兼顾。

【参考文献】

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[4]李章林，张夏林.距离平方反比法矿产资源储量计算模块设计与实现[J].地质与勘探，2007，43（6）：92-97.

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[8]褚宏宪，周小明，史慧杰，冯京.水深测量误差分析与改正[J].物探与化探，2011，35（3）：358-362.

[9]关永贤，刘胜旋，刘方兰.多波束测深系统边缘波束的处理技术研究[J].中国人口·资源与环境，2003，13（68）：6-7.

[责任编辑：朱丽娜]