你对微积分知道多少

第一次听说这本书是在我高一刚入学，一个叫“大手牵小手”的活动上。上一届的学姐给我们推荐了这本书。

翻开这本书，从目录就可以发现一种鲜明的逻辑性——从最简单的数字，到数字之间的关系；接着走入几何，到了形状；再深一步便是数形结合，谈论变化、数据；最后谈及前沿。并且每一个部分都由浅及深，读者会先带着不同的眼光复习小学乃至幼儿园的知识，得到一些新的体会，然后慢慢被引入更深的、未知的领域，并且完全不需要接受任何晦涩的知识。在阅读过程中，作者的博学也令我惊叹。不妨引用图书简介中的一句话——“沿途中你会看到数学如何与文学、哲学、法律、医学、艺术、商业彼此交融，甚至流行文化也能以我们意想不到的方式和数学共舞。”下面就让我引用几个书中的片段来说明吧。

（第1部分第4章 交换律）为什么我们会有意无意地忽视或抵制乘法交换律呢？也许是因为在我们的日常生活中，做事的顺序往往比较重要，先做还是后做的结果往往不同。你不能先吃蛋糕然后再去买蛋糕；你也不可能先脱袜子，然后再脱鞋子。

著名的物理学家穆雷·盖尔曼对交换律有着十分“独特”的认识。这位十分成功的科学家在年轻时也曾为自己的未来担忧。当时，盖尔曼即将从耶鲁大学毕业，准备进入研究生院深造。盖尔曼对学校的品牌十分在意，他认为自己必须在常春藤盟校继续攻读博士学位。遗憾的是，普林斯顿大学的研究生院没有录取盖尔曼，虽然哈佛大学录取了他，却迟迟不肯给他发奖学金或助学金。当时，盖尔曼最好的选择就是去麻省理工学院攻读博士学位，他为此感到极度沮丧，因为在盖尔曼的心目中，麻省理工学院只不过是一所脏兮兮的技术类学院，根本不符合他高贵的品位。最后，盖尔曼还是接受了麻省理工学院的录取通知，去那里继续完成学业。多年以后，当谈起自己当年的选择，盖尔曼声称，当时自己甚至考虑过自杀。他表示，之所以放弃了自杀的念头，是因为他意识到去麻省理工学院读书和自杀两件事是不服从交换律的：去麻省理工学院读书并不妨碍他日后自杀，但如果自杀了就不能再去麻省理工学院读书了。既然日后如有需要时仍可以選择自杀，不妨先去麻省理工学院读书。

穆雷·盖尔曼

对于不可交换律的重要性，盖尔曼是十分敏感的。我相信，作为一名量子物理学家，盖尔曼在日后的学习和工作中一定对不可交换律有着更为深刻的理解：很多时候，自然界就是不服从交换律的。而且，这绝对是一件好事。正是因为有了不可交换律，世界才能是我们今天看到的样子。如果任何事物都服从交换律，物质就不可能是固态的，原子也会自动毁灭。

在量子力学发展的初期阶段，维尔纳·海森堡和保罗·狄拉克发现了一条和我们平常的直觉认识极不相符的重要定律。如果我们用p表示一个粒子的动量，用q表示这个粒子的位置，那么，出乎人类意料的是，在自然界中，p×q≠q×p。这条定律就是著名的海森堡测不准原理。如果自然界没有这种奇妙的不可交换律，原子就会毁灭，万事万物，包括我们人类也都不可能存在。

对于我们再熟悉不过的乘法交换律，这位博学的大数学家给出了非常独特的角度供我们思考。

但是对于一些并不是每个人都非常熟悉的知识，作者的解释也是非常通俗易懂且有趣的，下面引用一段关于微积分的文字。（这里先假设阅读这篇文章的你是一名普通的没有学过微积分的中学生吧。）

（第4部分第18章 积分谱成的优雅数学变奏曲）在数学的历史上，积分最早产生于几何学领域，发明积分是为了计算曲线围成的面积。在第16章中我们提到过，圆可以像比萨一样被切成很多小块。在极限的情况下，一个圆可以被等分成无限多个小块，每一块的面积无限小。这些小块可以被巧妙地拼成一个长方形，而且长方形的面积非常容易计算。通过这样的方法，我们求出了圆的面积。这是积分的一种典型的用法：把一个复杂的东西进行无数次分割，最终使其容易加总。

除了这种二维的切割法，阿基米德还使用过这种方法的三维升级版，他以此来计算各种实心几何体的体积（在阿基米德之前，另一位希腊数学家欧克多索在公元前400年左右就做过类似的事情了）。阿基米德的方法是这样的：把实心几何体想象成是一堆盘子、一摞华夫饼，或者是一根切成很多薄片的香肠。因为几何体是不规则的，每一片香肠的大小不尽相同，通过计算这些大小不一的薄片的体积，再把它们巧妙地加总起来，不规则几何体的体积就计算出来了。

……

在微积分和微积分基本定理问世之前，人们只能分析和处理最简单的变化问题。当一个物体发生稳定的变化，也就是变化速率为常数时，代数就能很好地解决问题。“距离等于速度乘以时间”，就是变化速率为常数的例子。比如说，一辆车以每小时60英里的速度匀速行驶，那么显然这辆车1小时的时间能行驶60英里，2个小时的时间能行驶120英里，以此类推。

……

从这个角度来说，微积分是在用一种多功能切菜机般的态度来看待我们的宇宙。牛顿以及后来的数学家们发现，自然的本质就是，万物都是一小块一小块拼凑出来的。过去300年来发现的所有物理定律几乎都符合这个性质：不管是粒子的运动、热和电的传导，还是空气或水的流动，都可以看作一小块一小块的。每一小块时间或空间里的情况除了受到整体的控制之外，还受到相邻小块情况的影响。

现在的你也许并不需要知道微积分中的种种运算法则，但是你想必也在某些特定的时候有过这样的苦恼：你的高中物理老师在讲课的途中突然插入一句“这个问题的具体证明要用到微积分，以后再说吧”“这道题下面的步骤用积分方便多了，会的同学可以研究一下”，然后对微积分一无所知的你就会一头雾水，不知所措。但那仅仅是在阅读这本书之前的你的苦恼，阅读之后，你对微积分会有大概的形象上的认知，虽然不知道具体操作步骤，但也算是知道具体的方向了。（要知道，高中物理用得上微积分的地方可不少。）对于学过微积分的同学来说，读这本书“变化”这一部分也是非常有意义的，可以令你免于局限在种种运算法则之中，好好体会微积分的美吧。