经历概念生长促进思维发展

施永法

【摘 要】 如何有效开展概念教学是一个值得研究的课题。概念建构过程中，让学生亲历概念发生发展的过程，充分挖掘概念本质，充分挖掘概念形成过程中蕴含的思想方法，有利于促进学生思维与能力发展。三角函数周期学习蕴含数形结合思想、特殊到一般思想、转化与化归思想等，渗透了类比与归纳的方法等，值得我们研究。

【关键词】 周期；概念教学；发生发展；思想方法

【中图分类号】 G63.23 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2017）13-0-02

1.教材背景分析

1.1教材的地位和作用

三角函数周期性的地位与作用：（1）利用周期知识，可以研究函数在一个周期上的性质了解在其它周期上的性质，用“有限”的眼光思考“无限”的内容；（2）通过三角函数周期的学习，体会函数性质的描述、刻画与研究过程，同时体会三角函数是刻画和描述周期变化的重要模型；（3）学习三角函数周期性也是对高中数学1（必修）中从定义域、值域、奇偶性和单调性等四个方面研究函数性质的补充。

1.2学情分析

学生具有周期现象的生活经验；初步掌握了函数概念与单调性、奇偶性等性质；理解了诱导公式，如sin（2kπ+α）=sinα，k∈Z；会用三角函数线表示正弦、余弦和正切；已学习正弦函数、余弦函数图象。

1.3教学重点与难点

重点：理解周期函数概念；

难点：正确归纳周期函数定义，会求周期函数的周期。

2.教学目标

理解周期函数的概念，会求正弦函数、余弦函数和函数（其中，，为常数，且，）的周期。此外，在总结概括周期函数概念的过程中，既感受合作和交流带来的乐趣，又逐步提升观察、归纳和表达能力；在求函数（其中，，为常数，且，）周期的过程中领悟化归思想。通过周期学习，体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想。

3.设计思路

周期函数的定义是教学中的一个难点，教学中可以从“周而复始”的现象出发，通过实际模型，结合正弦曲线与几何画板动态演示，一步步将图像性质转化为函数性质，使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”、“函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义。教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期及周期函数，要突出“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题。

4.教学程序

本节课的教学重点是理解周期函数概念，并能运用周期函数概念求三角函数的周期，属于概念教学。同时，周期函数概念学生是第一次接触到，是研究函数基础性质的重要知识，故采用“问题—探究—概括—应用”的教学模式，按照下列程序进行教学：

5.教学过程

5.1创设情景，寻找共性

问题1.世界万物总在不断变化中，变化过程中人类总在探索一些不变规律，以此更好认识自然、探索自然。请同学们观察以下三幅图，说说这三个运动包含怎样共同的性质？

【设计意图】创设情景、引发学生思考。通过观察生活中、自然界中常见运动，思考三者共同属性。引出“周而复始”现象。

问题2.同学们还能说出哪些周而复始的现象？数学中有没有这样的现象？

【设计意图】利用生活中周期现象，让学生观察、感知“周而复始”，并将话题引申到课题的学习上来，为数学地定义与刻画周期性做好铺垫，同时激发学生学习兴趣。

5.2几何直观，探求本质

问题1.正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，反映在函数性质上又是如何刻画与描述？

【师生活动】教师启发诱导，学生思考探究，厘清研究思路。通过师生探讨、几何画板展示，经历函数性质探究过程：任取一点A，存在对应点B（间隔2π）仍然在图像上。结合几何画板演示，发现并归纳出A点与B点关系：横坐标相差2π，纵坐标相等，即，。

【设计意图】由图象性质探索函数性质，启发学生思维，把握函数性质研究思路：“图像点（x，y）函数”。运用形的视角（单位圆）和数的视角（诱导公式）阐释周而复始的原因。

问题2.何以正弦曲线每相隔2π个单位重复出现？

【师生活动】动态演示单位圆正弦线作正弦曲线过程，引导学生发现角度增加2π，正弦值相等。

【设计意图】引导学生由表及里、由感性到理性、由直观到抽象探索函数周期内涵，为符号化表达周期做好铺垫。同时，渗透数形结合思想，培养学生观察与联想能力。

5.3形成概念

类比定义.为了突出函数的这个特性，我们把函数f（x）=sinx称为周期函数，2π为这个函数的周期。若一个周期函数周期为T，则应满足怎样的代数关系？结合图象，运用类比方法，得出周期函数、函数周期定义。

【师生活动】运用类比方法，学生猜想一般性周期函数定义。得出，教师追问学生是如何想到上述关系式的，分享学生认识。

【设计意图】类比正弦曲线有周期类比得出周期函数定义，将学生感性认识转化为理性认识，从特殊到一般地培养学生归纳猜想能力。

5.4理解概念

辨析思考：

（1）函数，有，能否说是的周期？為什么？

（2）函数，周期是多少？

（3）函数的周期为，则也是的周期吗？为什么？你能得出怎样的一般结论？

【师生活动】三个思考学生先独立思考，再小组讨论，使学生在交流中不断完善。思考（1）可以结合数形两方面让学生谈谈不是周期原因；思考（2）引发学生认知冲突，将周期“”进行推广；思考（3）让学生论证2T是周期同时，猜想一般性结论，并从数形两方面加强论证，融入循环替代方法，体现周而复始意义，并利用几何画板动态演示。

【设计意图】通过3个思考，帮助学生辨析函数周期定义，特别是“对定义域内任意x都需成立”，防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质。思考（1）加强定义“任意性”理解，思考（2）将公式中“”推广到，思考（3）猜想一般性结论，并从数形两方面加强论证，融入循环替代方法，体现周而复始意义，同时，思考（2）（3）为引出最小正周期做好铺垫。

5.5運用概念

例1.求下列函数的周期：

思考：你能从例1的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

探究：如果函数的周期是，那么函数（）的周期是是否成立？

【师生活动】例1中（1）～（3）由学生先独立思考，再小组讨论，交流结论与求证方法。（4）、（5）学生独立思考，然后师生共同解决。例1（1）关键是让学生体会应用周期定义求周期；（2）关键是引导学生思考从诱导公式可推断周期是还是2。（3）、（4）则是让体会求周期的一般过程与方法，并总结规律，为解决（5）和探究做好铺垫。

【设计意图】对于例1，运用变式教学思想，逐步改变参数设置，进而让学生把握运用定义法求函数周期的过程方法。当然，除运用定义法，学生也可运用函数图象感知周期。引导学生分析函数周期与解析式中哪些量有关？培养学生的分析能力和抽象概括能力，并引申到一般性问题探究。

5.6课堂小结

问题：本节课你学到了什么数学概念？例题的解答中蕴含了什么数学思想和方法？概括和运用周期函数概念的过程中，你的体会是什么？

（1）研究线索：生活实例→几何直观→定义抽象→判断应用；

（2）思想方法：特殊到一般、数形结合、局部到整体；

（3）数学之美：抽象美、符号美、简洁美、统一美。

【设计意图】采用问题启发，学生根据问题思考总结，教师再从研究线索、思想方法、数学之美等方面更高层次的总结。引导学生对所学知识进行小结，有利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强记忆。

6.教学反思

6.1经历知识发生发展

如何能让学生更好学习概念，笔者以为首要的是要让学生经历概念发生发展的过程。这个发生发展的过程包括：从具体事例中概括出事物共同属性、符号化的表达共同属性，再到辨析概念（能举正例与反例等），最后达到概念的应用内化等。三角函数周期性概念，笔者不急于直接呈现的符号化表达，而是经历三次抽象形成概念：首先，从生活中存在的周期现象观察入手，概括共同属性；其次，从周期为的正弦曲线入手，数形结合的理解内涵；再则，从特殊到一般，猜想周期为的函数的符号表达，使学生亲历概念生长的过程。

6.2充分挖掘知识本质

“数学本质”是指具体数学知识的本真意义。在教学中，教师要善于对数学知识进行深入挖掘，不断地自我追问：“客观事物背后隐藏着什么数学知识与规律？数学知识的本质属性又是什么？统摄具体数学知识及技能的数学思想是什么？”三角函数周期性的本质是什么呢，形式化的表达中“”其内涵为自变量相差个单位函数值相等，其对应的是曲线上点的间隔规律，教学中要充分认识到这一点，由此，笔者在教学过程推进中，融入数形结合、融入几何画板演示，达成从曲线上点的特征到方程坐标的表达。

6.3融入思想方法学习

都知道数学思想方法对数学学习的重要性，数学思想是知识结构的精髓，是数学知识的内核，是数学中的一般性的原理，它具有高度的概括性，有助于学习的迁移。三角函数周期概念的教学是渗透思想方法学习的良好素材，特别是在建构周期概念过程中渗透了数形结合思想、特殊到一般思想、转化与化归思想等，渗透了类比与归纳的方法等，新知识的学习不仅是知识的学习更是方法的学习与能力的培养，一般地，数学概念学习是培育学生良好数学思想方法的重要载体，需要我们在教学中深刻挖掘，充分利用，以此更好促进学生思维发展与能力提升。