论高中数学中“数形结合”的重要性

广东省廉江市廉江中学 郑志兴

一、中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。

一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。将数学中的代数问题形象化。

另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。

而课堂中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，为学生创设愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学。

数形结合的途径

二、数形结合是高中数学中的一个重要的解题思想方法，下面简单介绍一下数形结合的途径

1.由数到形的转换途径

一是方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。

三是构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将a2与正方形的面积互化，将abc与体积互化，将与勾股定理沟通等等。

四是利用解析几何中的曲线与方程的关系，利用数学中一些代数式的几何意义来解题。重要的公式（如两点间的距离点到直线的距离直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。

2.由形到数的转换途径

（1）解析法

建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。

（2）三角法

将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。

（3）向量法

将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。

三、数形结合在教学中的运用

“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系，因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。为了培养学生形成数形结合的思维习惯，在高中数教学中就要有意识地渗透数形结合的思想和方法。

四、要学会灵活的把代数问题转化为几何问题

（1）“数”中思“形”

例2. 解不等式：解: 设，即对应的曲线是以为顶点，

开口向右的抛物线的上半支。而函数y=x+1的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是

（2）“形”中觅“数”

例3.求方程lgx-sinx=0的解的个数。

分析：此方程解的个数为y=lgx的图象与y=sinx的图象的交点个数。

因为sinx≤1, lgx≤1

所以0＜x≤10

在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。

(3)在解析几何上的应用个例分析

综上所述，数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性，简而言之“数形互相取长补短”。

五、正确使用数形结合思想，有可能出现的问题

“数”与“形”作为数学研究的两个基本对象，既是统一又是对立。运用数形结合思想时，要注意“数”与“形”的等价原则。下面仅举例分析最常见的错误。

画图不准确，忽视考虑图形的整体性，如等价性原则中的例题所示。

在使用数形结合思想解题时，出现的问题不局限做草图，所以在应用数形结合法解题时应注意三个问题。

一是要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线与方程的对应关系

二是通过坐标系做好“数”与“形”之间的转化

三是正确确定变量的取值范围

通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了。数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，需要平时多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，提高数学思维水平。