用导数方法解决函数的对称性问题

湖北省宜都市一中 (443300) 裴金玲

用导数方法解决函数的对称性问题

湖北省宜都市一中 (443300)
裴金玲

函数的对称性是函数的一个重要性质.本文用导数方法探讨可导函数的对称性.

先看下面的两个结论:

(1)若函数f(x)关于(m,n)中心对称,则f′(x)关于x=m轴对称.

(2)若函数f(x)关于x=m轴对称,则f′(x)关于(m,0)中心对称.

证明:(1)若函数f(x)关于(m,n)中心对称,则f(2m-x)+f(x)=2n,两边对x求导,得-f′(2m-x)+f′(x)=0,即f′(2m-x)=f′(x).说明f′(x)关于x=m轴对称.

(2)若函数f(x)关于x=m对称,则f(2m-x)=f(x),两边对x求导,得-f′(2m-x)=f′(x),即f′(2m-x)+f′(x)=0.故f′(x)关于(m,0)中心对称.

特例:(1)奇函数的导函数为偶函数; (2)偶函数的导函数为奇函数.

下面我们用以上方法解决一些对称性问题.

例1 探讨函数f(x)=Asin(ωx+φ),A≠0,ω≠0,x∈R的奇偶性.

故可得两个重要结论.

(2)定义域为R的函数y=f(x)为奇函数时f(0)=0,为偶函数时f′(0)=0.

例2 若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，求f(x)的最大值.

首先:若不用导数,本题可以这样做.

可以看出,本解法很好的利用了已知条件f(1)=f(-1)=0.但若题目变为f(x)=(1+x2)(x2+ax+b),再用上述方法,就不好做了.请看导数方法.

两种方法相比,方法一要简单,但方法二可以解决更一般性的问题.

众所周知,三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图像必为中心对称图形,且对称中心为