几例易错的数形结合题

山东省宁阳一中 (271400) 朱存东

几例易错的数形结合题

山东省宁阳一中 (271400) 朱存东

数形结合作为一种数学思想方法，其应用大致可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”．有时候，我们在借助形来解决数的问题的时候，若图形画得不够准确，这不但不会帮助解题，反而会弄巧成拙，事与愿违.下面列举几例易错的数形结合题目，供参考.

例1 函数y=x2的图像与y=2x的图像的交点有 个.

错解：画出y=x2的图像与y=2x的图像如图1，可知有两个交点.

图1 图2

正解：因为x>1指数型函数的增长速度比幂函数的增长速度快，所以，当自变量x比较大时，y=2x的图像要在y=x2的图像的上方.由图像可知，x<0时，y=2x的图像与y=x2的图像必有一交点，x>0时，设f(x)=x2-2x，因为f(1)-1-2=-1<0,f(3)=9-8=1>0,f(5)=16-25=-9<0，所以存在零点x1∈(1,3),x2∈(3,5)，如图2，经计算知，两零点分别为2，4，即交点为(2,4)(4,16).

故两函数共有3个交点.

例2 求正弦曲线y=sinx的图像与直线y=x的交点个数.

错解：画出y=sinx与y=x的图像如图3，可知y=sinx的图像与y=x的图像有三个交点.

图3 图4

例3 方程ex=x+1解的个数有 个.

错解：方程ex=x+1解的个数，即求y=ex图像与y=x+1图像交点的个数，画出y=ex的图像与y=x+1的图像如图5，显然有两个交点.

正解：方程ex=x+1解的个数即求y=ex图像与y=x+1图像交点的个数，因为两个图像均经过点(0,1)，不妨先求一下经过y=ex图像上一点(0,1)处的切线.

图5 图6

图7 图8