重视课堂“三原则”提升学生数学思维

2017-06-28浙江海盐元济中学314300董燕勤李跃仁

中学数学研究(江西) 2017年6期

浙江海盐元济中学 (314300) 董燕勤李跃仁

重视课堂“三原则”提升学生数学思维

浙江海盐元济中学 (314300)
董燕勤李跃仁

随着新一轮教育改革的深入，在提出“减必修，增选修”的同时，人们更加关注课堂教学，特别是课堂教学的效率，提高课堂的有效性已成为教师们关注的焦点，高效课堂已经成为我们的一种追求.

一方面，新课程改革正在如火如荼的开展，新的课堂模式，新的教法，新的概念如雨后春笋般冒出来，但是绝大多数的核心是“动”，彰显学生学习的主动权.杜郎口中学“三三六”自主学习模式，包括课堂自主学习三特点，即主体式、大容量、快节奏；自主学习三大块，即预习，展示，反馈；课堂展示六环节，即预习交流，明确目标，分工学习，展现提升，穿插巩固，达标测评.其“10+35”、“0+45”的教学模式具有显著特色，即学生课堂上自主参与，课堂上绝大部分时间留给学生，老师仅用极少时间实施“点拨”.但是另一方面，我们还必须清醒地看到，在课堂氛围轰轰烈烈之后学生到底掌握了多少？关注了课堂教学的外在形式，思维作为数学的内在是否得到提升？

随着课改的一步步深化，也越来越倒逼教师加强研究，自我充电，提升素养，我们开始认真研究学生的共同特点和个别差异，综合考虑各班每个学生的智力与非智力因素，教学要从学生实际出发，教学要符合教育学心理学规律，即在关注确立学生的课堂主体地位的同时，更应该重视凸显数学应有的数学思维的核心地位！

从学生的认知发展，要经历多种水平，多种阶段.所以教师的教学设计要有直观性、启发性、可接受性，从而逐步提升数学思维.

一、思维的起点：直观性感知，理解最基本的原理、概念

1.1 教学直观性的概念

直观性原则，是指在教学中通过学生观察所学知识，或教师语言的形象描述，引导学生形成所学知识、过程的清晰表象，丰富他们的感性知识，从而使他们能够正确理解书本知识，发展认知能力.

1.2 教学直观性的重要性

教学直观性反映了学生的认知规律，即通过感性、形象而具体知识的学习，提高学生对课程学习的兴趣和积极性，减少学习抽象概念的困难，并通过展示事物的内部结构、相互关系和发展过程，帮助学生形成科学的概念，从而更好地深化认识和运用知识.俄国教育家乌申斯基指出：“逻辑不是别的东西，而是自然界的事物和现象的联系在我们头脑中的反映”.

1.3 教学直观性的应用

虽然中学生的认知发展水平已由具体运算进入到抽象运算阶段，但是即使他们在整体上认知水平已经达到了抽象运算的水平，在每个新数学概念的学习过程中仍然要经历从具体到抽象的转化，他们在学习新的数学概念时仍采用具体或直观的方式去探索新概念.所以教师在备课时需要在直观性的驾驭上做些科学的合情创新，向学生提供丰富的直观背景材料，设计合理的模型、动画，从具体到抽象，从特殊到一般为抽象思维合理铺垫.平时的授课中，可以从以下4方面让学生直观性的感知知识.

1.3.1 结合数学史，呈现概念

讲授新课时，结合数学内容适当引入一些数学史、数学家的故事，或者讲一些生动的数学典故，往往能激发学生的学习兴趣.

比如，解析几何巧妙地将几何与代数结合在一起，是数形结合很好的一个范例.笔者在教学中向学生介绍了1637年解析几何的奠基人笛卡儿在《几何学》中引入了坐标，并用代数方法、坐标方法更换了古代方法，解决几何作图问题.从而让学生认识到解析几何的精髓是：引进坐标，用代数方法表示曲线，然后通过对方程的讨论得出曲线的性质.它用运动的观点把曲线看成为点的运动轨迹，建立了点与实数对的对应关系，把“形”(包括点、线、面)和“数”(包括数、式、方程及函数)两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方程的对应关系.它以坐标的研究为基础、以代数方程研究为前提、以圆锥曲线的定性研究为依据，揭示各知识内在的辩证关系.在圆锥曲线的后续教学中，笔者始终抓住这条主线，反复强化“用代数方法研究几何问题”的思想，这样学生在学习教材的同时，用联系、变化、发展的观念思考问题的习惯也得到了培养.

新概念是为了解决数学中某个矛盾，某种问题或某种需要才引入的.为此引入新概念时，必须向学生讲清引入的目的、原因，要使学生感到是一件很自然、必须做的事情.

1.3.2 借助模型，感知概念

郑毓信先生指出，在更进一步的数学研究中，数学概念只能依靠定义去演绎推理，而不能借助于直观，但就初等数学而言，数学概念反映的是数学对象仍具有一定的直观性，如果能把数学概念的空间形式直观化，就会点击学生认知，活跃学生形象思维，冲破学生思维定势，重构学生认知体系.波利亚说过，对数学特征的直观化表征往往能根植进学生的心灵，因此空间形式直观化能有效地实施概念教学，使学生的概念接受过程变得更浅显，更突出.

“形”是数学研究的对象之一.例如通过观察一个函数的图形可以得出：函数的单调性(增减性)，奇偶性，周期性等概念.通过观察长方体模型来代表空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系可以得出异面直线；直线与平面平行、相交、在平面内；平面与平面平行、相交的概念等等.许多数学概念都是从实物中抽象出来的.

1.3.3 适时开展数学实验活动，获得概念

这是教育本身的典型策略，数学概念教学中的理论联系实际，是指“探究性”学习中学生自主活动，亲身体验，通过实验获得数学概念，在亲自动手、主动参与的过程中培养自己的认知能力，从而获得对概念的理解和掌握.

例如学习“椭圆及其标准方程”时，就椭圆的概念实行实验活动，很多同学都见过木匠师傅画椭圆时采用的方法——固定绳的两端，用黑笔绕绳勾勒.自己动手进行后，总结其内在规律并用数学语言去刻画椭圆——到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹，并且两定点的距离小于定长.这样，对椭圆的概念通过自己的亲身体验得以构建，从而更深刻地理解了椭圆的概念.

1.3.4 结合生活实际，引入概念

数学来源于生活，所以在日常教学中可以以生活实例作为引入，让学生体会生活中的数学，体现数学思维的重要性.

例如，在学习数列的第一课时时的引例：某人得到一家公司的聘用，老板说，目前年薪为1万元，这里有两种方案供你选择：第一种，每一年加1000元；第二种，每半年加300元.试问，如果你打算在该公司工作5年，究竟用那种方案得到收入多？

这是一个很好的等差数列的探究性问题，也是数学文化在生活中应用的具体体现.初看起来，一年加一千，总比半年加三百即一年加六百要好.其实，加薪后是不会减下来的，所以按两种方案得到各时段的实际加薪数的数列，见下表(底薪1万元未记,单位：元)

时段加薪数12345678910方案一10002000300040005000方案二3006009001200150018002100240027003000

由此看出，除了第一年，按方案一得1000元，多于方案二得600元外；第二年按方案一可得1000+2000=3000元，按方案二也可得300+600+900+1200=3000元；到第三年，情况为：

方案一：1000+2000+3000=6000元，

方案二：300+600+900+1200+1500+1800=6300元.

以后再算下去，方案二明显占优势.到第五年后总加薪数为：

方案一：1000+2000+3000+……+5000=15000,

方案二：300+600++900+……+3000=16500.

但是如果方案二是每半年加200元呢？那么每半年加薪多少会使得n年后方案二有利呢？

这一问题的变化还有很多，用这一问题作为数列的第一课时的引入，激起学生对数列的好奇心，对培养学生数学思维能力是很有益的，也使学生获得社会生活经验的积累.

二、思维难点的突破：启发学生解决思维过程中的障碍

2.1 启发性原则的概念

启发性原则是指在教学中教师要承认学生是学习的主体，调动他们学习的主动性，引导他们独立思考，积极探索，生动活泼地学习，自觉地掌握科学知识以提高分析问题和解决问题的能力.

2.2 启发性原则的重要性

子曰：“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也.”这句话的意思是：不到学生努力想弄明白但仍然想不透的程度不要去开导他；不到学生心里明白却不能完善表达出来的程度不要去启发他.陶行知先生说:“真正的教育必须培养出能思考会创造的人.发明千千万，起点是一问.”这就要求教师更加注重培养学生的创造思维和问题意识，而实现这种教学的手段之一就是启发式教学.如果我们用自己的教学来代替学生的主动学习，用自己的思考来代替学生的主动思考，课堂气氛沉闷，学生失去兴趣，久而久之，学生主动求知欲没有了，创造的火花熄灭了，成了消极接受知识的容器.新课改要求我们实行启发式教学，激发学生的创新意识，突出学生的主体地位.

2.3 启发性原则的应用

苏霍姆林斯基曾说过：“在心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要.这种需要在中小学生精神世界尤为重要.”所以教师应从“启”字上下工夫，在启迪引导学生兴趣上动脑筋，创设质疑情境，激发学生求知欲和解决问题的强烈愿望.例如对正弦定理这节课的设计：

(1)引出概念，从特殊到一般

首先，给出直角三角形的情况.

图1

师：如图1，已知直角△ABC中，三边长分别为a、b、c，∠C=90°，则根据初中所学知识可知哪些边角关系？

师：请同学们观察以上几个等式，你能总结出哪些等量关系？

请学生自己列举，肯定的同时适当提醒前面两个式子有什么共同的特点？

生：等式右端分母都是c.

师：我们利用这三个等式，分别表示c，可以得到什么？

引导学生探究可知在直角三角形中，找到了边与角之间构建的和谐等式：

(2)在教学中要注意发挥学生的原有认知

师：同学们不妨大胆猜想一下，这个等式在一般三角形中是否成立？

请同学们用所学过的知识，自己尝试验证.

首先将学生引入一定的问题情境——研究三角形的边角关系，唤起学生已有的相关知识经验，然后给出直角三角形中的正弦定理推导方案，这是个改造和重组已有知识经验的过程，这种经验背景能帮助学生把新知识组织和纳入原有的认知结构中.学生很容易想到的方法是：

方法一：(作高法)在应用作高法推导的过程中学生往往会忽略了对“锐角三角形”和“钝角三角形”的分情况讨论，而只考虑到锐角三角形的情况.对此情况，应注意强调考虑问题的全面性.

至于钝角三角形的情况，由学生自己补充完成证明.

方法二：(面积法)在学生产生感性的认识后，通过由直角三角形中推导的结论(边与角之间的比例关系),引导学生在一般三角形中类比思维，在已有知识结构中寻求能够得到边角之间关系的内容，将已有知识变形、改造，最后得到一般三角形的定理推导方法.通过这样教学设计,学生在原有认知结构基础上,积极去发现，上升到一个新的认知结构.

(3)在教学中要注意挖掘学生的学习能力

教师在教学过程中，仅仅解决学生的疑惑还不够，还要传授新知识和技能，又要有意识地发展学生的思维能力.在推导结论时还可以用向量方法解决，由于向量是学生刚刚接触到的知识，不容易接受，而且应用还不够熟练，但是可以借此机会进一步巩固，因此向量法学生并不容易想到，还需要教师做如下的引导：

师：以上两种方法是比较传统的利用三角形的知识解决正弦定理的推导方法.请思考我们所学的知识中还有什么内容涉及到三角形的边角关系？

学生很容易想到向量.

师：现在我们学习了向量，我们能否用向量的方法推导出正弦定理呢？考虑：正弦定理中既有长度又有三角函数.在向量部分，什么量既有长度又有三角函数？

师：以锐角三角形为例，在△ABC中，三边的向量关系如何？

师：所以要做数量积，就要找合适的向量相乘.找哪个向量与上式的左右两边相乘呢？

教师可从旁提醒观察正弦定理的变形asinC=csinA,即左右要对称，由此可推测所成向量和其中一个向量的数量积为零，学生易得到作AC边上的高.剩下的证明可由学生独立完成！

这个新颖而且同样简单的推导方法往往引起学生的好奇心,从而增强学习动机.对于钝角三角形的情况，留给同学课下证明.学生有了明确的学习目的和浓厚的学习兴趣，求知欲旺盛，反映在学习态度上则表现为积极和主动.

总之，在数学教学中，教师的作用应尽力体现在思维情境的创设、启发性问题的提出、学生创造性思维兴奋点的捕捉等方面，通过导趣、导思、导法，使学生多动、多猜想、多发现、多“创造”.教师只有不断扩充自己的知识，提高自己的业务水平，才能在教学中贯彻落实启发性教学原则.

当然要使数学课程真正具有启发性，需要克服两种偏向：第一，内容过于简单，缺乏思考余地.没有挑战性，不能激发学生思维，甚至不能满足学生学习愿望.第二，内容过于复杂、抽象.超过了学生数学认知结构中“最近发展区”的水平，学生将会由于不能理解它，产生畏惧心理，最后厌恶学习数学.

三、思维程序的组织：让学生在可接受性的同化中提升思维水平

3.1 可接受性原则的概念

可接受性是指教学的内容、方法、份量和进度要适合学生的身心发展，是他们能够接受的，但又要有一定的难度，需要他们经过努力才能掌握，以促进学生的身心发展.

3.2 可接受性原则的重要性

在高中数学的教学中要注意教师传授知识的有效性原则和学生接受知识的可接受性原则.新课改对老师提出了更高的要求，在减少必修的同时就得保证课堂的有效性，而有效的考核即为学生是否接受.教学内容、方法都要适合学生的认知发展水平，获得新的数学知识的过程，主要依赖于数学认知结构中原有的适当概念，通过新旧知识的相互作用，使新旧意义同化，从而形成更为高度同化的数学认知结构的过程，它包括输入、同化、操作三个阶段.因此，作为数学课程内容要同学生已有的数学基础有密切联系，其抽象性与概括性不能过低或过高，要处于同级发展水平.这样才能使数学课程内容被学生理解，被他们接受，才能产生新旧知识有意义的同化作用，改造和分化出新的数学认知结构.

3.3 可接受性原则的应用

在教学过程中，只有通过设置梯度合适的“阶梯”,沟通新旧知识的联系,把问题解决建立在学生“最近发展区”的基础上,一个一个台阶地过渡、递进,才能挖掘出学生的最大潜力,才能实现问题解决能力的飞跃.

如在“基本不等式应用”的教学中，有这样一道例题.