让学生的思维更加“顺其自然”

林练

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2017）12-0047-03

一、困惑与问题提出

课例“三角形三边的关系”是人教版教材四年级下册“三角形”单元中第二课时教学内容，它是在学生初步了解三角形意义的基础上，进一步研究三角形的特征，即三角形任意两边的和大于第三边。从我们收集到的教学资料（设计、实录、评析等）来看，有许多专家学者和名师大都是按以下的思路进行教学设计和执教：首先从操作入手，让学生通过摆小棒活动发现并判断是不是“任意的三条线段可以围成三角形”，在得到“不是”这一结论后，再去研究“满足什么条件的三条线段才能围成三角形”这一问题；学生在研究时，又先要从反例入手，明白“不能围成三角形的原因是因为其中有两条线段长度之和不能大于第三条线段的长”，继而又再回到研究正例“能围成三角形的三条线段的长度之间有怎样的关系”。凭心而论这种以引导学生开展探究活动为主的教学范式若运用得当，确实能收到较好的教学效果。可在实际的课堂教学中，许多老师借鉴这种流程教学时却出现了学生在活动中问题不明、目的不清、操作混乱、课堂热闹，有效性差等问题，而课堂教学往往因时间关系也只能草草收场。这些问题引起了许多学者和一线教师的疑惑，主要有以下两个方面：

1.先从学习课题的名称来思考：学习和研究的重点应该是“在一个三角形内三条边的长度应该满足怎样的关系”，而不是重点研究“满足怎样条件的三条线段（或小棒）构成三角形”，或者说应该推敲在这节课中这样两个知识点的主与次应该怎么样安排？

2.再从学生的学习过程来看，感觉到这样的教学对学生的思维水平的要求太高，特别是思考问题的过程要经历的转折太多：既要“发现”现象（有的小棒组合不能摆成三角形），又要“明白”原因；既要“探索”能（构成三角形）的条件、又要“说明”满足（三角形中三边）的关系。学生经历了这样的学习过程后，有可能对本应要重点知道的三角形三边关系反倒是模糊。其实不仅是学生，就连有相当多的教师在平常的教学中也经常忽视到条件与命题的关系：比如曾有教师命制的考题“一个三角形的三条边分别是1、1、2，请判断它能构成三角形吗？”就让众人目瞪口呆。我们尝试在许多讲座活动中作为一个反面例子测试听课教师，结果还是有相当多的老师无法在第一时间首先意识到这道“题”本就是一个错误的命题。

为此我们提出这个课例的教学问题并不是要否定上述的教学范式，而是基于怎么样借助更为简洁的教学流程，让学生的思维过程更加顺其自然，不要为了突出教师设计的“精彩”而过于提高学生学习过程中的思维难度。

为此我们不妨再通过研读和分析教材，来寻找和推敲相对简约版的教学设计。

二、分析与教学设想

在人教版新修订的四年级下册教材中，先是给出了一个情境图：小明家、学校、邮局和商店及路线图，再用学生的语言说出自己的体会与困惑，并用文字说明了“两点间连线”“线段”“最短”和“距离”等事实与概念。这就给我们提供了一种教学思路：可否先从学生的生活现实引导关注一个事实（近路与距离等）；再将其抽象成一个数学问题（三角形三边的关系）进行研究；然后借助画三角形、量、算其边长数据和简单的比较研究若干特殊具体的例证，再通过归纳得到相应的结论；而适当利用摆小棒活动，就既可以进一步说明结论的正确性，同时又可以知道“满足怎样条件的三条线段能构成三角形”这一知识点，（当然也可以直接告诉这种方法）而不必花费太多的工夫；最后再通过练习和巩固，解决简单的问题等。按这种教学思路学生思维经历的主要过程是：从生活经验的提取到数学原理被发现的抽象过程；从研究若干个三角形的特殊例证到一般结论被证实的归纳过程等，从而显得更为简单和自然。当然这些仅是设想，以下尝试给出简约版教学的几个主要的教学环节：

1.提取生活经验，引出学习课题

首先通过出示课本情境图，提出问题：“从小明家到学校有几条路”“哪一条路最近呢”“说说你的理由”等引導学生思考交流，并鼓励学生结合生活经验用自己的话来描述：走拐弯的路远、直路近等。初步感悟两点间所有连线中，线段最短，并给出这条线段的长度叫做两点间的距离等数学概念。

【教学片段举例】

师：小明去上学，他从家到学校可以怎么走？哪一条路最近？

生：有三条路可走，走中间这条路最近。

师：为什么？

生：走拐弯的路远，走直路近。

师：其实在这个大家熟悉的生活经验里就蕴涵了许多数学知识。这里的“路近”“直路”等就是数学中所说“两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离”等知识。

2.实施数学抽象，提出数学问题

接下来再通过两次数学抽象：一是将实际情境抽象成“三角形”；二是引入字母表示三角形三边的长度，再根据事实经验和不等式，从而提出探究三边之长有何关系的数学问题。

第一次抽象：通过板书演示，连接小明家、商店、学校三地，可以近似地看成一个什么图形（三角形，下同）？连接小明家、邮局、学校三地，同样也可近似于一个什么图形？（注意引导将家、学校等抽象看成点，再连点成线得到三角形）。

第二次抽象：给三角形三条边分别赋予长度a、b、c后，根据事实经验可以得到下面一组不等式：a+b>c；a+c>b；b+c>a。这实质上是说明了“在三角形中的两条边的和要比第三边大（长）”。那么是不是所有的三角形的三条边都有这样的关系呢？从而引出探究三角形三边的长度应该有何关系的数学问题。

【教学片段举例】

师：（指着画好的三角形）如果用字母a、b、c分别表示三角形的三条边，根据刚才上学路线的远近想一想，这三条边的长度之间有什么关系？你们能用字母式表示吗？

生1：a+b>c。

师：如果变化一下情景，比如从小明家去邮局哪条路最近呢，想一想在这个三角形中我们又可以得到哪些关系呢？

生2：类似可得到a+c>b，b+c>a。

师：我们找到的三组关系，都说明了“在这个三角形中两边的和比第三边长”，那么这种现象是个别的还是对所有的三角形都存在的呢？值得我们去研究。

（引出课题）

3.画图计算比较，归纳得出结论

开展实践探究活动：要求同座两人在草稿纸上先画出一个三角形，并量出三条边的长度填写表，然后根据表格数据计算出三角形任意两条边的和，并与第三条边的长度进行比较。然后开展探究情况汇报交流活动，通过每组同学的具体例证，教师引导学生进行归纳而得到“在三角形内较短的两条边的和一定比第三边长”的结论，或者“三角形任意两边的和大于第三边”表述得出的结论（板书）。

【教学片段举例】

安排探究活动，要求同座两人在草稿纸上画一个三角形，量出三条边的长度，填表计算和比较。

汇报讨论部分：

……

师：结合你们的探究表来说说：在你们画的三角形中三条边的长度之间有着怎样的关系？

生：三角形中两边的和大于第三边。

师：还可以怎么说？

生：三角形中任意两边的和大于第三边。

……（得出结论）

4.借助操作明理，巩固拓展结论

虽然列举了很多个例子都是说明了三角形中三条边的关系，但我们无法列举完所有的三角形，因此我们不妨换一个思路来继续思考这个问题：教师提供4根小棒，长度为2、2、1、4。要求学生“从中任选三根，试摆出三角形”开展研究，在设计的数据中已经包含了几种情形。对于能摆成三角形的三条边长关系当然是符合前面所得到的结论，这样就起到一个巩固结论的作用；而对于不能摆成三角形的情形，教师适当指导学生结合小棒长度的关系并说明原因就可，这样就起到一个完善结论的作用。同时可直接告诉学生这是判断是否能构成三角形的基本方法。

【教学片段举例】

……

师：我们再研究取（1、2、4）这样一组小棒时的情况，通过试一试大家知道它们不能围成一个三角形，你们怎么看这个问题？

生：感觉其中两条边加起来不够长。

教师用課件动态演示围不成三角形的过程。

师：提醒大家特别注意这组小棒长度之间有什么特点？

生：有两条小棒的长度之和小于（或等于）另一条的长度。

生：这个时候它们（小棒）根本就不能围成三角形，它们也更不可能是三角形的三条边。

师：怎么样改变这些小棒的长度才能围成三角形呢？

师：（应学生要求演示改变短边的长，比如把1cm延长到3cm）现在可以围成了吗？

生：……

师：再看此时它们各边的长度及关系又怎么样了？

生：在摆成的三角形三边中的任意两边的和都大于第三边的长度。

师生共同总结：

师：通过这个活动进一步肯定了我们前面所获得结论的正确性，即在一个三角形中三条边中任意两边的和都大于第三边的长度。其实这也是判断三条线段是否构成三角形的方法。

……

[要说明的是这个环节是学生学习的难点，因此对于学习能力一般的班级在教学时也可以在得到初步结论后，直接告诉学生这也可以作为判断是否构成三角形的方法，从而降低思维难度]

5.尝试练习运用，解决简单问题

（1）完成基本练习。（略）

（2）给出两条不同长度的纸条，要将其中一条剪成2条，使得3条纸条能摆成三角形，应该怎么做？

（其余略）

通过对“三角形三边的关系”这节课的重新推敲，我们一直思考：到底怎样才能让学生经历有效的课堂学习呢？我们认为有效的学习活动之一应该是教师能结合学生的实际，精心安排学习流程，引导学生有效地进行数学思考；比如在简约版的教学设想中：“从生活经验中抽象出数学问题”的抽象思维引领；“从量、算边长研究具体的例证到归纳一般结论”的归纳思维方式的运用；以及“得到结论后运用结论解决简单问题”的演绎思维训练等，就是对实践“四基”理念的初步尝试。在数学教学中特别要注意对学生思维的走向、难度的控制，讲究思维训练的科学性、辨证性，善于处理好教学中有关“经验”与“新知”、思考时“顺序”与“难度”、探究中“主”与“次”等要素的关系，努力提升常态教学的有效性。

（责任编辑 陈 利）