考虑引力随深度变化的海洋液体压强分析

潘 龙 王永刚 曹传建

(1. 青岛经济技术开发区第七中学，山东 青岛 266510； 2. 青岛黄海学院，山东 青岛 266427)



考虑引力随深度变化的海洋液体压强分析

潘 龙1王永刚2曹传建2

(1. 青岛经济技术开发区第七中学，山东 青岛 266510； 2. 青岛黄海学院，山东 青岛 266427)

初中物理中液体压强公式为p=ρgh,其中g=9.8N/kg是常数.但是实际上,随着液体深度h的增加,同样质量的液体受到地球引力也会随着发生变化.本文将对这种变化进行分析,得到一个考虑引力随深度变化的压强计算公式.在不考虑地球自转和大气压强的情况下,海洋液体内部压强与深度成二次函数关系.地表附近深度较浅时,利用该公式计算液体压强与利用p=ρgh得到的结果高度吻合,随着深度增加,差别越来越大.

液体压强;深度变化;引力变化;二次函数

利用液体压强p=ρgh计算液体压强时，g是常数.因此是忽略了h增加时,地球引力发生了变化这一事实之后的近似.当液体非常深时,利用p=ρgh计算液体压强会有多大的误差?如果h增加时,将引力的变化考虑进去,液体压强又该如何计算?本文就此一问题进行了分析.

为方便得到两种情况下的对比.在分析过程中暂不考虑地球自转以及大气压强的影响.并假设地球是正球体,液体受压缩体积不变.在计算相关引力时,将地球看作均匀球体．

万有引力常量为G,地球平均半径为R,地球平均密度为ρ地,液体密度用ρ表示.

1 p=ρgh公式的变化

因此

(1)

2 压强的精确计算分析

假设有一沿着地球半径方向的液柱,截面积为S.在距离地心r处(r

(2)

由于液体受力平衡,因此距离地心为r处的截面受到的压力F,等于截面以上所有液体受到的地球引力,即

(3)

因为r=R-h,代入(3)式得

(4)

所以

(5)

3 应用

由(5)式可以看出,地球上液体压强p与深度h实际上成二次函数关系.当h≪R时,h2可以忽略,(5)式就变为(1)式,可见p=ρgh是一种地球表面附近的近似公式.

计算(5)式与(1)式的比值可以比较两种计算的相对差别,得到

(6)

表1给出具体h值时,(6)式的值.

表1 两种算法的比值

通过表格中的计算数据可以看出,当h=10m时,(6)式的值为0.999999,几乎无差别.在地表液体深度较浅时,(5)和(1)式高度相似,随着深度增加,差别也增大,海洋最深处约10000m,两种计算的结果相差约8×10-4.

但是假如到了100000m深,就有了8×10-3的差别;在R/2深处,有1/4差别;如果能有直接贯通到地心的水柱,就有了1/2的差别.

4 结束语

也许作者讨论的问题对实际生活并无太大意义.但作者隐约中感觉在非匀强引力场中,液体压强一定不是与深度成正比,其他星球表面也应是如此.并特别希望弄清压强到底与深度的深层次关系,不吐不快.作为一名初中教师,就选取了液体表面为海平面的海洋压强这一最简单的情形进行分析,除此之外,还有好多情形.而且分析中也有好多理想假设.如果起到抛砖引玉的作用,那就太好了.

1 唐淑红.高斯定理在万有引力场的应用[J].湘潭师范学院学报(自然科学版),2008,30(3):14-16.

2016-12-08)