高考数学恒成立问题的求解策略

辽宁省锦州市义县高级中学 王双双

高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）分离变量型；（4）根据函数的奇偶性、周期性等性质；（5）数形结合；（6）变换主元法。

一、一次函数型

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)＞0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

ⅰ）或ⅱ亦可合并定成

同理，若在[m,n]内恒有f(x)＜0，则有

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

二、二次函数型

（1）判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有

（2）最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

四、根据函数的奇偶性、周期性等性质

若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)

(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。

五、数形结合

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。

解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y1＜y2恒成立，显然a＞1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。

故loga2＞1,a＞1,∴1＜a≤2.

六、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例，对任意，不等式恒成立，求x的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。

解：令，则原问题转化为恒成立（）。

当x=2时，可得f(a)=0，不合题意。

当x≠2时，应有解之得。

故x的取值范围为。

注：一般地，一次函数在上恒有f(x)＞0的充要条件为。

由上可见，含参的恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。