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高考数学恒成立问题的求解策略

2017-06-26辽宁省锦州市义县高级中学王双双

卫星电视与宽带多媒体 2017年24期
关键词:判别式奇偶性最值

辽宁省锦州市义县高级中学 王双双

高考数学复习中的恒成立问题,把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:(1)一次函数型;(2)二次函数型;(3)分离变量型;(4)根据函数的奇偶性、周期性等性质;(5)数形结合;(6)变换主元法。

一、一次函数型

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于

ⅰ)或ⅱ亦可合并定成

同理,若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有

处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。

二、二次函数型

(1)判别式法

若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数,有

(2)最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有:

四、根据函数的奇偶性、周期性等性质

若函数f(x)是奇(偶)函数,则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)

(f(-x)=f(x))恒成立;若函数y=f(x)的周期为T,则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。

五、数形结合

数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着密切的联系:若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,图象是抛物线,右边为常见的对数函数的图象,故可以通过图象求解。

解:设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为图所示的抛物线,要使对一切x(1,2),y1<y2恒成立,显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。

故loga2>1,a>1,∴1<a≤2.

六、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。

例,对任意,不等式恒成立,求x的取值范围。

分析:题中的不等式是关于x的一元二次不等式,但若把a看成主元,则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。

解:令,则原问题转化为恒成立()。

当x=2时,可得f(a)=0,不合题意。

当x≠2时,应有解之得。

故x的取值范围为。

注:一般地,一次函数在上恒有f(x)>0的充要条件为。

由上可见,含参的恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。

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