直接证明与间接证明——反证法教学设计

青海省海东市化隆回族自治县第一中学 王国昌

一、教学目标设计⒈知识与能力：通过典型例题，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能和应用意识，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。⒉过程与方法：通过背景材料激发学生认识反证法的渴求,了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的几类命题。⒊情感、态度、价值观：以“ 惨案”的背景材料为载体，学习希帕索斯追求真理的智慧、毅力和不畏强权的奋斗精神，感受数学研究的过程和创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神，树立积极的学习态度。二、教学重难点教学重点：1、理解反证法的概念；2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤；3、用反证法证明简单的命题。教学难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”，即矛盾依据。三、学情分析1、知识起点：知识基础和数学素养整体较差。本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。2、技能起点：在书写的规范性，答题的严谨性方面存在许多问题。尤其反证法的应用需要逆向思维，但在之前的学习中，对逆向思维的训练和应用还是比较欠缺的。3、态度起点：本教学设计实施对象是高二中等班级的学生，但大部分学生缺乏自主学习的习惯，求知欲不太强烈，自主探究不够主动，讲解时听课的针对性不强，很难达到高效课堂的教学效果。四、教学内容分析本课是人教A版数学选修2—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时反证法部分。对于直接论证较为困难的命题，若能恰当运用反证法，就能达到化繁为简、化难为易、化不可能为可能的目的。它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用，而且对学生思维能力的培养和提高有极其重要的作用。五、教学方法设计1、教法分析依据《纲要》和《课标》对本课程的要求，结合高效课堂教学模式，层层设疑，激发学生的求知欲；步步推进，加强知识产生、发展和应用的系统性。采用教育先行者方式、自主式、合作式、探究式和评价等有效整合的教学方法。2、学法指导通过背景材料的引导和典例选讲，使学生体会反证法的含义及其思想方法，指导学生自己总结反证法的基本步骤和基本题型。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。六、教学过程设计教师活动 学生活动 设计意图（一）情景设置，预设问题问题一：谁能说说数系的发展过程呢？问题二：为何有理数就“有理”呢？而无理数又是如何产生的呢？（附件1）1、讨论并回答数系的大概发展过程和概念的分类；2、聆听有理数“有理”的时代背景；了解无理数产生的由来（背景材料：“了解数系的发展；激发学生的兴趣；自然地引入课题。惨案”）。

不是有理数”的呢？过度问题：你能证明“过同一条直线上的三点A,B,C不能确定一个圆”吗？（证明见课件）问题三：希帕索斯如何证明“不可能是整数，那么1、分组讨论根据有理数的类型，首先判定只有是两个互质的整数比，即分数。继而导出矛盾，并分析产生矛盾的原因；2、归纳思路；3、写出证明过程使学生学会讨论、合作、归纳的学习方式。（二）新课讲授1、反证法的概念；2、反证法的步骤。（归纳见屏显1、学生讨论回答；2、学生归纳总结；3、教师引导规范。培养学生善于、敢于归纳总结，并注意规范性3、典例选讲，加强应用例1. 写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”。(1).互补的两个角不能都大于90°.(2).△ABC中,最多有一个钝角.(3).a,b,c中至少有一个是正数.师：根据上述问题中的量词,我们能联想到什么? (词语的否定)例2. 用反证法证明：如果a＞b＞0，那么1、小组讨论，代表发言，解决例1；2、小组讨论，选派学生代表板演例2，教师点评；3、学生分析，教师引导，体验反证法的妙用；加深理解、用反证法证明简单的数学命题。例1的设置：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障。例2的设置：检验学生对反证法的应用及书写的规范性；a＞b（三）课堂练习1、课本P91练习：1，2.1、学生独立完成；2、小组交流检查。1、能否独立完成2、培养交流合作（四）课堂小结⑴.反证法证明命题的一般步骤⑵.证明命题的常规方法⑶.用反证法证明的常见题型1、学生总结归纳；2、异组矫正补充；3、教师引导归纳。（屏显）1、培养学生提炼归纳、表述规范；2、达到巩固升华（五）目标检测检验学生学习效果六）布置作业⑴书面作业：①若p＞0，q＞0，p3＋q3＝2.试用反证法证明：p＋q≤2.②实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd＞1,求证：a,b,c,d中至少有一个为负数。⑵能力提升：每位同学寻求至少一道题,利用反证法证明.一是每位同学力所能及,得益不同层面的收获；二是集众人之力搜集更多的反证法题型，扩大知识面七、教学反思在引入上，通过数系的发展,无理数的由来,自然衔接到本节的主题，很好的体现了知识的产生和发展的过程,既贯穿了新课程理念,也便于激发学生的求知欲。虽然篇幅有点长,耗时有点多,但起到了很好的效果。便于让学生铭记反证法并有意识的应用。