左连续函数上确界的左连续性注记

罗群

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆 526061）

左连续函数上确界的左连续性注记

罗群

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆 526061）

利用左（右）连续函数及上（下）确界的定义，讨论了定义在区间[a,b]上的有界函数y=f(x)的左（右）连续性与左（右）连续性的关系.

左连续函数；右连续函数；上确界；下确界；连续函数

1 示例解析

在文献[1]的第92页有一道习题，见例1.

例1[1]92设函数y=f(x)在区间[a,b]上有界，证明函数

在[a,b]上左连续，并举例说明它们可以不右连续.

事实上，通过下面的例2可以看出，这个结论是错误的.即当函数y=f(x)在区间[a,b]上有界时，函数上可以不是左连续，也不是右连续.

例2设

显然 f(x)在[-2,2]上有界，但是

在[-2,2]上既不是左连续也不是右连续.

显然g(x)在[-2,2]上有界，但是

在[-2,2]上既不是左连续也不是右连续.

通过例2可知例1的结论是错误的，下面讨论为使结论成立，需要增加什么条件.

本文利用左（右）连续函数及上（下）确界的定义，讨论了定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的左（右）连续性与左（右）连续性的关系.

定义1[2]设函数 f在点x0的某右邻域U+(x0)内有定义，若∀ε>0,存在δ>0,使得对任意x∈[x0,x0+δ)⊂U+(x0),有

则称 f在点x0右连续.

若函数 f在区间I上每一点都是右连续，则称 f在区间I上为右连续函数.

设函数 f在点x0的某左邻域U-(x0)内有定义，若∀ε>0,存在δ>0,使得对任意x∈(x0-δ,x0]⊂U-(x0),有

则称 f在点x0左连续.

若函数 f在区间I上每一点都是左连续，则称 f在区间I上为左连续函数.

若 f在点x0既是右连续又是左连续，则称 f在点x0连续.

若函数 f在区间I上每一点都连续，则称 f在区间I上为连续函数.

定义2[2]设S为实数集R的一个数集，若数β满足如下条件：

1）∀x∈S,有x≤β;

2）∀ε>0,存在x0∈S,使得β-ε

则称数β是数集S的上确界，记为β=sup S.

设S为数集，若数α满足如下条件：

1）∀x∈S,有x≥α;

2）∀ε>0,存在x0∈S,使得x0<α+ε,

则称数α是数集S的下确界，记为α=inf S.

2 主要结论

在(a,b]上均为左连续.

证 1）显然，M(x)在[a,b]上为增函数.∀x0∈(a,b],要证M(x)在点x0为左连续，即要证∀ε>0,存在δ>0,使得对任意x∈(x0-δ,x0]⊂[a,b],有

定理1 设函数y=f(x)在区间[a,b]上有界且左连续，则函数

i）若t0=x0,由于tl→imx-0f(t)=f(x0)=f(t0)>M(x0)-ε,由极限的局部保号性，存在t1∈[a,x0),使得M(x0)-ε0,则∀x∈(x0-δ,x0]=(t1,x0]⊂[a,b],有

ii)若t0∈[a,x0),取δ=x0-t0>0,则

综合i),ii)可知，M(x)在点x0为左连续，因此，M(x)在(a,b]上为左连续.

2）显然，m(x)在[a,b]上为减函数.∀x0∈(a,b],要证m(x)在点x0为左连续，即要证∀ε>0,存在δ>0,对任意x∈(x0-δ,x0]⊂[a,b],有

i)若t0=x0,由于0由极限的局部保号性，存在取δ=x0-t∗>0,则∀x∈(x0-δ,x0]=(t∗,x0]⊂[a,b],有m(x)=ai≤nt≤fxf(t)≤f(t∗)

ii)若t0∈[a,x0),取δ=x0-t0>0,则对任意x∈(x0-δ,x0]=(t0,x0]⊂[a,b],有

综合i),ii)可知，m(x)在点x0为左连续，因此，m(x)在(a,b]上为左连续.

注1 在定理1的条件下，M(x)和m(x)可以不是右连续.

例3设

显然 f(x)在[-2,2]上有界且左连续，但是

在(-2,2]上是左连续而不是右连续.

显然g(x)在[-2,2]上有界且左连续，但是

在(-2,2]上是左连续而不是右连续.

定理2 设函数y=f(x)在区间[a,b]上有界且右连续，则函数

在[a,b)上均为右连续.

证 1）显然，M(x)在[a,b]上为增函数.∀x0∈[a,b),要证M(x)在点x0为右连续，即要证∀ε>0,存在δ>0,

对任意x∈[x0,x0+δ)⊂[a,b],有

由于 f在点x0右连续，所以∀ε>0,存在δ>0,对任意t∈[x0,x0+δ)⊂[a,b],有

任取x∈(x0,x0+δ),由及上确界的定义，对上述ε>0,存在点t0∈[a,x],使得

若t0∈(x0,x]⊂[x0,x0+δ),有

所以，由式（1）和（2）得

故M(x)在点x0为右连续，因此，M(x)在[a,b)上为右连续.

2）同理，可证m(x)在[a,b)上为右连续.

注2 在定理2的条件下，M(x)和m(x)可以不是左连续.

例4设

显然 f(x)在[-2,2]上有界且右连续，但是

在[-2,2)上是右连续而不是左连续.

显然g(x)在[-2,2]上有界且右连续，但是

在[-2,2)上是右连续而不是左连续.

由定理1与定理2可得推论3.

推论3[1]83设函数y=f(x)在有界闭区间[a,b]上连续，则函数在[a,b]上均为连续.

[1] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:6-72.

ANote of Left Continuity of Supremum about Left Continuous Function

LUO Qun

（School of Mathematical and Statistics,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China）

By the definitions of left(right)continuous function and supremum(infimum),the relationship of the left(right)continuity of functiony=f(x)and d efine on[a,b]is discussed.

left continuous function;right continuous function;continuous function;supremum;Infimum

O171

A

1009-8445（2017）02-0026-04

（责任编辑：陈 静）

2016-11-03

罗 群（1963-），女，重庆人，肇庆学院数学与统计学院教授，博士.