圆锥直观图画法依据探讨

在中学数学教学中，作为空间几何体的主要基本载体之一——圆锥，它的直观图画法一直困扰着大家.大家熟知的斜二测圆锥（如图1所示），总有点说不出的别扭，而“生活经验告诉我们”的圆锥（见图2），却又缺少画法依据.

图1 斜二测圆锥

图2 生活经验告诉我们的圆锥

图2中圆锥的底面是我们生活中看到的、也是我们需要的结果，但是凭借正等测或斜二测画法却无法得到我们期望的结果.这里我们引入T平行投影方法来解决这一个问题（所谓T平行投影，其实就是遵从最原始的、直视物体方向的平行投影）.

T平行投影方向[1]：设平行投影线与x轴、y轴、z轴的夹角依次为α，90°，90°-α（α为锐角），则称这种投影方向为T平行投影方向，如图3所示.

图3 T平行投影方向

为了说明问题，再回顾一下轴向伸缩系数的定义.

轴向伸缩系数：轴测轴的单位长度与相应直角坐标轴的单位长度的比值，叫作轴向伸缩系数，它的几何意义如图4、图5所示.

图4 斜二测轴测轴单位长度

（作直观图时量取的长度）

图5 斜二测相应直角坐标轴

单位长度（计算用坐标数据）

不难验证下列结论.

结论一：在T平行投影时，直观图上轴测轴方向的线段长度也就是我们直接看到的、投影面上的线段长度（如图3中的AC）.所以，图3中x轴的轴向伸缩系数=ACAB=sinα.（AC就是AB在平行投影线法平面上的射影，而AB正是在相应直角坐标系中占有的计算长度）

结论二：在T平行投影方向下，这三个坐标轴的伸缩系数依次为sinα，sin90°，sin（90°-α），即sinα，1，cosα.

对圆锥进行T平行投影时，圆锥底面在视线法平面上的射影就是圆锥直观图中的底面椭圆，如图6所示.设圆锥直观图中的椭圆半短轴为b，半长轴为a，半焦距为c，见图7.且对于图7中的角α′，cosα′=ca=底面橢圆的离心率.

图6

图7

关于T平行投影方向的推论：圆锥直观图的纵向伸缩系数等于圆锥底面椭圆的离心率.

证明 由结论一，sinα=2b2a=ba=sinα′，α=α′，见图7.

由结论二，z轴的轴向伸缩系数=cosα，又α=α′，所以z轴的轴向伸缩系数=cosα′，而cosα′=ca=底面椭圆的离心率，因此，z轴的轴向伸缩系数等于圆锥底面椭圆的离心率.通俗地讲，圆锥纵向伸缩系数等于椭圆离心率.

证毕.

结论在圆锥直观图画法中的意义：

1.我们需要的圆锥直观图可以从T平行投影得到.

下面对高等于底面直径的圆锥，用不同的底面椭圆离心率画出的圆锥直观图比较如下.

图8图9图10

图8为纵向伸缩系数等于1的情形，由推论，c=1，从而底面椭圆退化为直线段；

图9为椭圆短轴等于15长轴时，纵向伸缩系数约等于0.98，直观性较好，比较有利于教学活动，它也是我们期望的结果；

图10椭圆为正等测椭圆，其离心率约等于0.82，它的纵向伸缩系数也约等于0.82，无论是画轴截面还是纵向尺寸的理解，对学生空间想象力的培养都是不利的.

从教学画图的方便性考虑，椭圆短轴等于15长轴是值得推荐的.

图11

2.如果要画的圆锥的高相对于底面直径很小，为了展示其真实比例（所谓真实比例，就是纵向伸缩系数接近于1），那么底面椭圆的离心率也必须接近于1，即这个椭圆要画得很扁，如图11所示.

“圆锥纵向伸缩系数等于椭圆离心率”，结论很好记，应用很方便.

【参考文献】

[1]唐文虎.再论“球体直观图的尺规画法与球体直观图北极点位置定理”[J].上海中学数学，2016（9）：34.