直线关于直线的对称直线的公式

李锦成

直线l1：A1x+B1y+C1=0，关于直线l0：A0x+B0y+C0=0的对称直线l2的方程：（A1A20-A1B20+2B1B0A0）x+（B1B20-B1A20+2A1A0B0）y+（2A1A0C0+2B1B0C0-C1A20-C1B20）=0.

证明：在直线l1上任取一点（x1，y1），设它关于直线l0的对称点为（x，y），由中点公式可知：

A0x1+A0x+B0y1+B0y+2C0=0.（1）

1.当直线l0与y轴平行时，即B0=0，A0≠0时，

则过点（x1，y1），（x，y）的直线方程为y=y1.（2）

解方程（1）（2）得x1=-A0x-2C0〖〗A0，y1=y，

并代入l1：A1x+B1y+C1=0，得它的对称直线方程：

A1A0x-B1A0y+2C0A1-C1A0=0.

2.当直线l0斜率等于0时，即A0=0，B0≠0时，

则过点（x1，y1）（x，y）的直線方程为x=x1.（3）

解（1）和（3），同理可得对称直线方程：

A1B0x-B1B0y-2B1C0+B0C1=0.

3.当直线l0斜率存在且不为0时，有y-y1x-x1=B0A0.（4）

解方程（1）（4）并将x1和y1代入l1：A1x+B1y+C1=0得它的对称直线方程：

（A1A20-A1B20+2B1B0A0）x+（B1B20-B1A20+2A1A0B0）y+（2A1A0C0+2B1B0C0-C1A20-C1B20）=0.

最后统一1、2、3，所求对称直线l2：

（A1A20-A1B20+2B1B0A0）x+（B1B20-B1A20+2A1A0B0）y+（2A1A0C0+2B1B0C0-C1A20-C1B20）=0.

例求直线l1：3x+2y-1=0关于直线l2：y=-2〖〗3x+1的对称直线的方程.

解把已知方程标准化：

l1：3x+2y-1=0，l2：2〖〗3x+y-1=0.

应用公式得9x+46y-59=0.

【参考文献】

[1]王志和.点关于直线对称点的一种求法[J].数学教学，2010（5）：31-32.