浅谈求异思维在学生数学创新思维中的应用

吉晓利

【摘要】创新思维是一种不依常规，力图多角度、多层次、多方位思考问题，寻求答案或解决问题途径的求异思维.而求异便是创新的基础.要创新需要先求异，数学求异往往需要发散性的去思考，尽可能多地寻找解决问题的办法.在数学教学过程中，要引导学生发展自己的求异思维，多思考、多练习，创造适用于自己解决问题的方式，来达到与实践相结合的教学目的.引导学生先求异再创新，突破数学常规思维，是今天数学教育工作者的重要任务之一.

【关键词】数学学习；求异思维；创新思维；发散；思考

当今社会的飞速发展，为知识型人才带来了无可比拟的发展平台.然而，发展越快，优胜劣汰的现象就更加明显，这个时候，创造出新的东西并应用它会是你脱颖而出最快捷的途径.同理，在学习的过程中，创造往往会让人收获意想不到的效果.要创新，则必须要寻找出不一样的东西，要在现已有的东西中去求异，来加深我们对事物的认知与理解.

一、创新必须先求异

求异，顾名思义就是寻找不同的知识或事物，是发展创新的基础.求异思维又叫作发散思维，不同于常规思维的是，它打破了我们使用同一方法来解决类似问题的思维定式，向不同的方向，运用各种可能的设想来解决问题，得到一种新的、快捷的解题方法.也可以说，求异思维是创新思维的核心.

例1已知a，b，c，d均为正数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：ac+bd≤1.

分析由已知可以直接采用代数法来解答，过程相对来说比较复杂.因为a，b，c，d都是正数，且a2+b2=1，c2+a2=1，可以运用三角函数去解，然后，采用余弦定理得出结论.

证法一把已知两式相加，得

a2+b2+c2+d2=2，①

由a2+c2≥2ac，b2+d2≥2bd，两式相加，得

a2+b2+c2+d2≥2（ac+bd），②

比较①和②得，ac+bd≤1.

命题得证.

命题得证.

二、求异创新四部曲

要创新必须先求异，求异不仅仅使我们表面所说的一种不一样的思维方式，它需要建立在一定的理论基础之上，并且要准确、可信.求异创新思维的形成不是一朝一夕的事情，需要在教学的同时，通过打破常规的思维方式，一步一步引导学生“多解”“多变”“多疑问”“多反思”[1]，在学习的过程中去了解，去掌握，去创新.

（一）多解

在数学学习中，我们知道，一道题并不是只有一种解法.我们在遇到问题时，首先，想到的是与问题条件相一致的系统的解题思路，然而，这却不一定是最快捷、最准确的方法.“多解”就是让我们对于一个问题尽可能多地提出设想，从习惯性的思维方式中走出来.

分析由已知可以将分母通分去掉然后进行解答，认真观察，也有很多其他的解法，可以利用换元法将已知的元素替换掉，或者引用参数量，这样可以更加快捷地得到解题的答案，还可以运用坐标解析等等.

证法一将已知条件去分母

（二）多变

我们都知道，一道数学题不仅有不同的解法，并且问题的本身还是可以千变万化的.我们经常会遇到这种情况，看似相似的问题，但却有不同的解题方法和思路，思考的出发点也不尽相同，而一个问题也同时，有多种问法，解法却是相同的，打破了学生想着简单模仿就可以解决问题的幻想.例如，改变条件，交换结论与条件等等，还可以由条件猜结论，由结论猜需要已知的条件，这些都需要我们从不同的方向去认识数学问题.求异创新，会使得数学学习更加趣味盎然.

1.同一問题的不同问法

分析：上述六个问题看起来大不相同，但是如果我们仔细观察，会发现这几个问题思考的出发点和解答方法却异曲同工，只是换了不同的问法而已.

2.相似问题的不同解法

分析由已知，我们不能直接采用均值不等式的方法，但是可以通过介入新的参数，再利用均值不等式解出答案.

解答设参数λ满足0<λ<2，

3.猜条件，猜问题

在解决数学问题时，我们会发现，数学解答题总会出现两个或者两个以上的问题，需要我们从已知的条件中去寻求答案.为了让学生更加得心应手地解决此类问题，发现问题与条件、问题与问题之间的关联，我们应该在日常教学中对学生的解题思维加以多方面的引导和训练.例如，给出已知条件，根据条件去猜测可能会问到的问题；或者给出一个结论，要得出这一结论又需要什么条件等等.

例5直线y=ax+b交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边作正方形，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E.根据以上条件，我们可以发现这道题的问题有哪些？

分析我们可以由上述已知条件来猜这道题可能会给出的问题：

（1）求C，D的坐标；

（2）抛物线的解析式；

（3）正方形沿着直线运动，若给出速度，求正方形落在x轴另一边的面积S与滑行时间t的函数关系式.

例6需要已知什么条件，来证明在四棱锥S-ABCD中，M是侧棱SC的中点（如图1）？

分析由题给的结论，若我们要证明该结论，则需要已知的条件有：

（1）底面ABCD为矩形，且SD⊥底面ABCD；

（2）AD=a，DC=SD=b；

（3）∠ABM=60°，M在侧棱SC上.

（三）多疑问

数学试卷的解答题有一个明显的特征，就是一题多问，不论是数列，函数还是代数问题，往往不会只有一个或者两个问题，总会有那么一两道如同附加小题的存在，让我们束手无策，甚至会由于考试时间问题而放弃解答.数学问题中，题目所给出的已知条件会带有不一样的问题和结论，这就需要强大的综合知识，系统性地来解决，更要在日常学习中对于所学到的知识反复了解，求异和创新，会有意想不到的收获.

例6在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；

（3）求点N到平面ACM的距离.

解答由题意可作图，如图2.

（1）由题可知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC.

又因为PA⊥底面ABCD，

则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD.

则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD.

（2）如图所示，建立直角坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；

设平面ACM的一个法向量n=（x，y，z），

由n⊥AC，n⊥AM，可得2x+4y=0，2y+2z=0.

令z=1，则n=（2，-1，1）.

（3）由条件可得，AN⊥NC，

一道习题在相同条件下可以提出很多问题，就上述问题而言，我们还可以试求球体在四棱锥平面PCD切割的圆的表达式或者面积等问题.当然，求异创新并不是局限于此，我们还可以将思维扩散到其他方面，如，三角函数，代数求值问题等等，使我们对数学知识的探索更深一层.

（四）多反思

“学而不思则罔，思而不学则殆”，从古至今，多少人用实际行动来证明了学习与思考之间的关系.作为一门学科，数学是所有教学者和学习者的一大难题，数学的学习与思考之间联系之紧密，在学习的过程中我们都有着深刻的体会.在解决数学问题的时候，我们经常会发现，运用常规的思维方式有时候不仅解决不了问题，反而会走入一个死胡同，这就需要我们在日常学习过程中多反思，在求异创新的基础上加强我们的解题能力.

例7设a，b都是自然数，当a2+b2除以a+b时，商为q，余数为r，试求出所有数对（a，b），使q2+r=1 977.

思考这是一道难度相对较大的代数问题，我们看到问题的时候，总会考虑首先将商和余数如何代入原公式，然后解答.这时，我们会发现，已经没有办法进行下一步解答.那么，如何解决这道习题，我们就应该考虑从不同条件、不同方向入手.

解由q2+r=1 977可以得到隐含条件

r≥0，q>0，r，q∈Z，

∴q2≤1 977，q≤44.

又當q≤43时，有r≥128，

a2+b2=q（a+b）+r≤44（a+b），

而（a+b）2≤2（a2+b2）≤88（a+b）a+b≤88与r≥128矛盾，

所以q=44，r=41.

将q=44，r=41代入条件①有

a2+b2=44（a+b）+41，

即（a-22）2+（b-22）2=1 009.

于是原题就转化为求二元不定方程在自然数集内的特解问题，用验算法找出

a=50，b=7或a=50，b=37.

故满足问题的数对只有（50，7）或（50，37）.

苏霍姆林斯基曾说：“一个人到学校，不仅是获得一份知识的行囊，而主要是获得聪明.因此，我们的主要的努力就不应用在记忆上，而应用在思考上.所以真正的学校应是一个思考的王国，必须让学生生活在思考的世界里.”在教与学的过程中，我们不仅仅要去学习，更加要求思考，不仅要让学生知道该怎样做，更要让学生知道为什么这样做，甚至于学生的突发奇想，发现其他的、合理的做法，我们都应该加以鼓励和引导.

三、数学与求异创新

我们知道，数学解题中的求异创新往往会带来出其不意的收获，数学与求异创新息息相关.可以说，数学离不开求异创新.一般来说，数学上的新概念、新设计、 新模型、 新方法等都是创造性思维的结果[2].先求异再创新已经成为突破数学常规思维的一个方向和方法.事实上，一个新的数学成果，在形成之前的思维方式都是求异思维的结果.

吉尔福特说：“正是在扩散性思维中，我们看到了创造性思维最明显的标志.”扩散性思维又等同于求异思维的能力.它具有找到符合问题要求的多种答案的能力.作为教学者，我们要求将求异思维通过与现实相连并且以丰富的知识和创新的逻辑形式传授给学生，以这种非严格科学意义上的数学教育，让学生喜欢数学，感受数学的作用，才能使学生将求异创新思维更好地应用于数学学习中.

【参考文献】

[1]李中俐.数学教学要重视培养学生的求异思维[J].吕梁教育学院学报，2006（2）：63-65.

[2]王宪昌.数学思维方法[M].北京：人民教育出版社，2010.

[3]苏倩.训练求异思维培养创新能力[J].广西教育学院学报，2003（1）：148-151.

[4]缪立民.浅谈在数学教学中求异思维的培养[J].宁德师专学报，2003（4）：408-410.

[5]钱金戈，周丽叶.谈在小学数学教学中发展求异思维培养学生创新能力[J].中国培训，2015（18）：247.

[6]陈乾美，胡德绫.在数学教学中发展学生的求异思维[J].重庆教育学院学报，2002（3）：91-95.

[7]程新民.数学求异思维[M].北京：新华出版社，2010.

[8]郑毓信，肖柏荣，熊萍.数学思维与数学方法论[M].成都：四川教育出版社，2001.

[9]马忠林主.数学学习论[M].南宁：广西教育出版社，2003.

[10]陈自强.数学解题思维方法引导[M].长沙：中南工业大学出版社，1995.