追本溯源，注重思维训练——《直线与平面垂直》教学分析

北京市第七中学 刘文志

一、概念辨析求精度

学习立体几何的一个重要途径就是熟练掌握每一个概念、每一个定理及其用途。教师以一组小题回顾，与学生一同复习直线与平面垂直的定义，直线和平面垂直的判定定理及性质定理，明确定义定理的作用是什么，多用在什么地方，怎么用。

通过这样的训练，使学生进一步领悟知识的内涵，掌握在平面上表示空间图形的方法和技能，提高学生将自然语言，图形语言和符号语言相互之间转化的能力，培养学生的空间想象能力和几何直觉能力。

二、思想渗透有顺度

对立体几何学习的有效性的实现，应循序渐进，有顺度地渗透数学思想，不断制造成功机会，使每一个难点的突破成为学生获得成功的喜悦点，从而使其形成稳定、持久的学习兴趣。

例1.已知PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，且α∩β= l ，求证：AB⊥l .

请同学们审题，也就是明白“求证题”的已知是什么?条件是什么?未知是什么?结论是什么?

生：AB⊥ll⊥面PAB

学生通过思考在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,找出已知与未知的直接或者间接的联系。

生：线线垂直线面垂直

师：会运用直线和平面垂直的定义，判定定理及掌握线线，线面垂直之间的相互转化思想证明相关题目。（学生板书解题过程）

三、思维提升带广度

学习立体几何除了相关的定义，定理之外，最重要的就是要有空间想象能力。这就需要多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”。空间几何体，特别是正方体，其中的棱与棱、棱与面之间的位置联系，是探讨直线与直线、直线与平面位置联系的直观载体。

例2.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，请指出下列各组直线与

平面的位置关系，并说明理由.

(1)直线AB与平面BCC1B1；

(2) 直线AC与平面BB1D1D ；

(3) 直线BD1与平面ACB1 .

生：(1)要证直线A B与平面BCC1B1垂直，关键找直线AB与平面BCC1B1内的两条相交直线垂直，可以找BB1和BC。

师：很好，已知直线AB与平面BCC1B1垂直，那么AB与B1C 什么关系？

生：由线面垂直的定义可知AB与B1C垂直。

师：同学们还能类似在正方体ABCD-A1B1C1D1得到棱与侧面或底面垂直的呢？

生：BB1垂直于面ABCD，AD垂直于面C1D1DC

师：很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。请同学们接着思考直线AC与平面BB1D1D ；BD1与AC是什么样的位置关系呢?

生：垂直。

师：同学们很有空间想象能力和几何直觉能力，谁来说说为什么

生：要证线线垂直找线面，要证线面垂直找线线，不断地进行线线垂直线面垂直之间的转化。

师：那么BD1与B1C的位置关系怎样呢？

生：垂直。因为B1C垂直于面ABC1D1

师：很好，直线BD1与平面ACB1的位置关系呢？

生：垂直。因为BD1垂直于B1C与AC

师：非常好。（学生板书解题过程）

四、娴熟思维重梯度

三维空间是人类生存的现实空间，他们直观、具体、对培养学生的几何直观能力有很大的帮助。由于立体几何学习的知识内容与学生的联系非常密切，以形状的角度反映现实世界的物体时，经过抽象得到的空间几何体就是现实世界物体的几何模型，这些模型可以描体述现实世界中的许多物体。认识空间图形，弄清楚图形是什么几何体，规则的、不规则的等，从而缩短了学生与立体几何的距离，消除学生对立体几何的神秘感，使学生乐于接受它。

例3.如图，在空间四边形SABC中,SA ⊥平面ABC, ∠ABC= 90°,AN⊥SB于N,

AM ⊥SC于M .求证：

(1) AN ⊥BC;

(2) SC ⊥平面AMN.

学生先独立思考，然后在小组内交流。

生：要证明线垂直于线，重点分析会有哪些线面垂直，要证明直线m垂直于面β，只需要证明直线m与面β中的两条相交的直线n和h垂直即可

师：虽然同学们在解答立体几何题目时，题干中往往会给出特定的图像，若缺乏空间想象力，常将空间问题看成平面问题，不能及时提取已知条件中的有关信息,识图就难。通过刚才同学的分析，发现解立体几何的不足，主要是将信息资源如何作出合乎逻辑的有效组合，充分运用“转化”的数学思想，明确在转化过程中前后有什么联系是非常关键的。

生：SA ⊥平面ABCSA ⊥BC，又由∠ABC= 90°,可得BC ⊥平面SABBC ⊥AN(1)得证，又由AN⊥SBAN ⊥面SBCAN ⊥SC，又由

AM ⊥SC，所以SC ⊥平面AMN，(2)得证。

学习立体几何不仅需要较强的逻辑思维能力，还需要弄清楚几何体结构特征，用丰富的空间想象能力联想面面、线面、线线之间有哪些关系，利用题设条件的性质适当添加辅助线是解题的常用方法之一。

例4.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，

M、N分别是A1B、B1C1的中点.求证：MN⊥平面A1BC；

学生先独立思考，然后在小组内交流。

生：要证明线垂直于面，需要转化为证明直线MN垂直于平面A1BC内的两条相交的直线A1B和A1C即可。

生：在解答立体几何题时,有时需要添加辅助线.这里的关键就是如何添加平面内的辅助线。连结A1N和BN，由全等三角形得A1N与BN相等，推出MN垂直于A1B。再连结AC1，AC1交A1C于点O，在正方形AC1 中，AC1⊥A1C,最后通过证明平行四边形C1NMO，得MN与C1O平行，得到MN垂直于A1C为培养和发展学生的归纳、概括能力，由学生总结本节课所学的内容进入课堂尾声。

生：本节课复习了直线与平面垂直的定义，直线和平面垂直的判定定理及性质定理，掌握了线面垂直与线线垂直之间的转化。

师：学习立体几何，一方面要注意以实际出发，把学习的知识与周围的实物联系起来，另一方面，也要注意经历以现实的生活抽象空间图形的过程，注重探讨空间图形的位置联系，归纳、概括它们的判定定理和性质定理。还有什么注意点吗？

生：对照已知看懂图形，理清思路总结规律，按照标准规范训练。

师：学贵知其当然与所以然，同学们在平时做题的过程中进行反思，在反思中总结、提炼，不断提升空间想象能力及分析问题和解决问题的能力。