论数形结合在中学数学中的应用

房爽

摘要：数形结合是中学数学教学中一种重要的思想方法，在中、高考中有着广泛应用。数形结合思想囊括了数量的分析与图形的直观，并且结合二者各自的优势，帮助学生尽快地找到解题的途径，给学生解题带来极大的方便。

关键词：数形结合；中学数学；不等式；解析几何

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）23-0201-02

一、引言

自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想就得到了突飞猛进的发展。数学家华罗庚曾就说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔家分家万事休。”数形结合是重要的数学思想，有极大的探索研究空间。本文将通过实际的案例分析，展示出数形结合这一思想在中学数学中的广泛应用。

二、数形结合思想在中学数学解题中的应用

数形结合本质上是通过将符号语言“数”，图形语言“形”进行结合转化，使问题得到解决。“形”主要提供研究的对象和辅助思考的工具，而“数”则是为研究提供必要的工具、方法、视角。两者之间的结合具有双重含义。可广泛应用于函数、解析几何、不等式等多个方面。

1.由“数”转化为“形”的应用。“数”和“形”是一种对应。有些数量比较抽象，难以把握，而“形”具有形象直观的优点，对解决问题的重要作用。

例1.不等式■≥x的解为m≤x≤n，|m-n|=2a，a>0，求a.

问题分析：本题看似是一道以“数”表现出的求解不等式的问题，即求解得■-x=0的根，而解题误区在于m，n的值和方程的根的关系。若不应用数形结合思想，便极易出错，而解题者却难以察觉。

解：作曲线C：y=■，直线l：y=x，如图1所示，显然有m=-a，由y=xy■=x+a可得大根x=■，

即n=■.根据|m-n|=2a.

得■+a=2a，解得a=2.

例2.实数x，y满足等式（x-3）■+y■=3，求y/x的最大值。

问题分析：通过观察y/x的几何意义，发现y/x即为点（x，y）与点（0，0）连线的斜率k，应用数形结合的思想方法，题目就比较简单明了。

解：绘制图2可观察到，直线m与图中圆相离，直线l与圆相切，直线n与圆相交，α为直线l与x轴的夹角。观察图形可知，当过原点（0，0）的直线与圆相切，且直线只在一三象限时，斜率k的值最大。设直线方程y=kx，则圆心（3，0）到直线l的距离为d=■=■，解得斜率k=■，所以y/x的最大值为■.

除了通过距离公式求斜率，学生还可以应用直角三角形性质，构造下式：

k=tanα=■=■.

问题小结：在数学解题中，方法至关重要，同一道题目可能有多种解决办法，学生需要不断地思考探索，发挥主观能动性，提高自身的学习素质。

2.由“形”转化为“数”的应用。虽然“形”有形象、直观的优点，但在定量计算问题方面还必须借助代数方法，尤其是对于较抽象的“形”。在解题过程中，不但要把图形数字化，而且还要注意观察图形的特点，发掘题目中隐含的条件，充分利用图形的性质与几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，并对其进行分析计算。

例3：在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆■+y■=1上的一个动点，求S=x+y的最大值。

问题分析：拿到此类题目，初始想法与本文中例2类似，一是对椭圆的方程进行代数运算，配出x+y；二是作椭圆的图形，观察图形性质。实际操作可发现，两种思路的可操作性低，应当另辟思路。在高中数学学习中，圆锥曲线占有重要地位。题中■+y■=1为椭圆一般式，而椭圆的另一种表现形式圆锥曲线参数方程，在中学数学解题中的应用体现了数形结合思想，可以作为一种思路。

解：因椭圆■+y■=1的参数方程为x=■cosφy=sinφ，（φ为参数）。故可设动点P的坐标为（■cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=■cosφ+sinφ=2（■cosφ+■sinφ）=2sin（φ+■），故φ=■时，S取最大值2。

问题小结：对于某些问题，采用单纯的几何和代数方法，都无法使问题得到妥善的解决。但根据圆锥曲线参数方程，将平面上的点代数化，再由三角函数的性质，能更好地解决问题。此过程展现了“数”与“形”的互相转化。

三、结论

从以上几个方面可以看出，数形结合是学生学好数学的一把“金钥匙”。在运用数形结合思想的过程中，学生需要进行联想，从而激发学生的想象力。學生还需要进行一定的创造活动。创造的成功能唤醒学生的求新意识，激发他们创新的激情，提高学生的创造力，从而增强学生综合素质。由此可见，中学数学中数形结合的思想方法，充分地把握了数学的精髓和灵魂，值得学生深入探索研究。

参考文献：

[1]林龙军.数形结合在中学数学中的应用[C]//第三届世纪之星创新教育论坛论文集，2016.

[2]孙东耀.浅谈数形结合方法在高中数学解题中的应用[J].数学教学通讯，2011，（08）.

[3]钱珮玲，邵华.数学思想方法与中学数学[M].北京师范大学出版社.

[4]徐文龙.“数形结合”的认知心理研究[D].广西师范大学硕士学位论文，2005.

[5]顾亚萍.数形结合思想方法之教学研究[D].南京师范大学硕士学位论文，2004.

[6]高中数学教学与测试.理科总复习[M].苏州大学出版社，2007.

[7]竺仕芳.把金钥匙交给学生——谈强化数形结合的思想方法的教学[J].科学教育，2004，（08）.

On the Application of Combination of Numbers and Shapes in Middle School Mathematics

FANG Shuang

（School of Mathematics Science and Application，Nanjing Normal University Taizhou College，

Taizhou，Jiangsu 225300，China）

Abstract：The combination of number and shape is an important thinking method in mathematics teaching in middle school，has been widely used in the college entrance examination.The combination of ideas include a number of intuitive analysis and graphics，and the combination of two respective superiority，help students to find the way of solving problems，bring great convenience to the students' problem solving.

Key words：combination of numbers and forms；middle school mathematics；inequality；analytic geometry