面向刚柔耦合卫星的有限时间输出反馈姿态控制

肖 岩，叶 东，孙兆伟

(哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150001)

面向刚柔耦合卫星的有限时间输出反馈姿态控制

肖 岩，叶 东，孙兆伟

(哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150001)

针对进行大角度快速机动的刚柔耦合卫星，提出了有限时间控制方法。首先在考虑卫星本体运动与柔性附件变形耦合效应的情况下，建立一次近似刚柔耦合动力学模型。其次假设柔性附件振动信息可测，考虑外部干扰和转动惯量不确定性，基于非奇异快速终端滑模(NFTSM)原理，设计了有限时间全状态反馈控制器，根据Lyapunov原理证明其有限时间稳定性；进一步考虑柔性附件振动信息不可测的实际情况，设计了非奇异快速终端滑模动态输出反馈控制器，该控制器仅利用角度和角速度信息就可以实现有限时间快速姿态稳定。最后对提出的控制算法进行了数值仿真，并通过与现有文献中控制算法进行对比，验证了本文设计的输出反馈控制算法的有限时间快速稳定特性。

刚柔耦合卫星；快速机动；姿态控制；有限时间控制；终端滑模；输出反馈

0 引 言

为了减轻发射重量，控制发射成本，完成特定的在轨任务，柔性附件在现代卫星上的应用越来越普遍，如通信卫星上的太阳能帆板，遥感卫星上的大型柔性天线，在轨服务卫星上的大型柔性机械臂等[1]。由于柔性附件本身的结构特点，如低模态频率，弱阻尼等，卫星在轨的姿态机动必然会引起柔性附件的振动，柔性附件振动和中心刚体运动相耦合，会极大地降低卫星在轨姿态控制的精度[2]。此外，复杂的航天任务要求卫星在轨具有大角度快速机动能力，比如遥感卫星成像过程中在多目标之间的切换，侦察卫星对空间目标的捕获等。在大角度快速机动情况下，刚柔耦合特性会更加明显，所以就更加不能忽略其对姿态控制的影响[3-4]。

针对柔性卫星的控制问题，一些文献进行了相关的研究。文献[5]结合模糊机制和滑模控制，针对三轴柔性卫星设计了姿态机动控制器，达到了姿态的渐近稳定。文献[6]针对刚柔耦合卫星，基于Lyapunov方法设计了姿态反馈调节控制器，控制过程中考虑了外在干扰，姿态角和角速度可以渐近收敛，柔性附件的振动也达到了衰减。文献[7]针对柔性卫星，在挠性模态不可测的情况下，设计了混合H2 /H∞ 输出反馈姿态控制器，在达到姿态稳定的同时，减小了挠性振动模态。针对喷气控制且柔性附件安装有挠性应变片的三轴稳定柔性卫星，文献[8]设计了自适应滑模姿态调节控制器，并基于线性二次调节设计了正位置反馈主动振动抑制机制，达到了姿态渐近稳定。文献[9]针对柔性卫星设计了滑模姿态机动控制器。首先对姿态机动中的角速度进行规划，减少对柔性附件振动的激发；然后基于幂次趋近律设计了滑模控制律，在达到姿态稳定的同时，有效抑制了抖振。文献[10]针对柔性卫星，设计了无角速度情况下的姿态机动控制器，使用扩展状态观测器对角速度和系统总干扰进行了估计，最后设计了姿态反馈控制器达到了渐近稳定。上述针对柔性卫星进行设计的姿态控制器只能保证柔性卫星姿态渐近稳定，其收敛时间理论上是无限的，往往并不能满足快速机动的要求。

有限时间姿态控制稳定时间是有限的，相比于无限稳定时间的控制器，具有快速稳定的优势。此外，由于有限时间控制方法中引入了分数次幂，所以还具有更好的鲁棒性和抗干扰特性。针对有限时间姿态控制，许多文献进行了相关的研究。文献[11]针对单个刚体航天器设计了有限时间姿态跟踪控制器，在此基础上针对多个航天器设计了有限时间姿态协同控制器。针对四元数表示的刚体航天器动力学模型，文献[12]设计了有限时间终端滑模控制器，使用自适应方法对外在干扰进行了估计。文献[13]在考虑模型不确定性和外部干扰上界未知的情况，针对刚体卫星设计了非奇异快速终端滑模控制器，通过自适应方法对控制器增益进行了估计，该控制器在保持有限时间收敛的同时，具有更快的收敛速度，而且还避免了奇异。文献[14]引入了扩展状态观测器对系统总扰动进行了估计，在将估计值进行反馈补偿的基础上设计了非奇异快速终端滑模跟踪控制器，使得卫星姿态可以有限时间收敛。文献[15]针对刚体航天器设计了有限时间非奇异快速终端滑模控制器，在模型不确定性以及外界干扰上界未知的情况下引入自适应估计策略，由于该控制器是连续的，所以明显削弱了抖振，最后基于Hubble望远镜的数值仿真验证了控制器的有效性。

根据对以上相关文献的研究发现，虽然一部分文献针对卫星进行了有限时间姿态控制的研究，但是没有考虑柔性附件对卫星姿态控制带来的影响。同样针对柔性卫星的姿态控制，一部分文献设计了稳定的控制器，使得柔性卫星姿态渐近稳定，但是均不能达到有限时间快速稳定。在此研究背景下，本文针对大角度快速机动的柔性卫星，进行了有限时间快速姿态控制研究。与现有文献相比，本文在动力学建模过程中，充分考虑了柔性附件振动与中心刚体运动之间的刚柔耦合效应。在此基础上设计了有限时间快速稳定控制器，使得柔性卫星姿态可以达到有限时间快速稳定。

本文在考虑外部干扰和模型不确定性的情况下，研究了刚柔耦合卫星的有限时间输出反馈控制方法。文章安排如下： 第1节基于一次近似耦合方法建立了刚柔耦合动力学模型。第2节基于非奇异快速终端滑模原理，设计了有限时间状态反馈控制器,并且进一步考虑柔性附件振动不可测的情况，设计了仅利用姿态和角速度信息的有限时间输出反馈控制器。第3节利用数值仿真验证了控制器的有效性。第4节为结论。

1 一次近似刚柔耦合动力学模型

为提高大角度快速机动背景下的刚柔耦合卫星建模精度，本节基于一次近似耦合建模方法，建立了柔性卫星一次近似刚柔耦合动力学模型。与传统的线性模型和零次近似刚柔耦合模型相比，本文建立的模型在变形位移场中引入了横向变形与轴向伸长的二次耦合项，充分反应了柔性附件变形与中心刚体转动之间的耦合效应，在大角度快速机动情况下更为精确。

如图1为带有柔性附件的刚柔耦合卫星模型俯视图，中心圆柱体为刚体，柔性附件固联于刚体表面。柔性附件为细长梁，忽略剪切与扭转形变。梁在水平面内运动，忽略重力效应，梁自由端固联有质量块。坐标系OXY为原点位于中心刚体球心的惯性坐标系，坐标系ORxy为原点位于柔性梁连接点，x轴沿未变形梁的参考坐标系。

依据有限元法和Hamilton最小作用原理[16-18]，建立一次近似刚柔耦合动力学方程如下

(1)

(2)

其中

GT=G=Dr-Ms>0

式中：θ为中心刚体转角；JH、JA、JT分别为中心刚体、柔性附件和末端质量块相对于转轴的转动惯量；Tc为控制力矩，Td为外部干扰力矩；Ms、Ks分别为柔性梁结构质量矩阵和结构刚度矩阵，均为对称正定矩阵；对称正定矩阵Dr为柔性梁转动刚度阵，且Dr-Ms满足正定对称条件；Cs=b1Ms+b2Ks为根据Rayleigh比例阻尼设计的系统结构阻尼矩阵，b1、b2为大于0的系数；U为刚柔耦合系数矩阵。

(3)

(4)

(5)

其中

其中,F为刚柔耦合参数，H为包含柔性变量的柔性部分。将高阶刚柔耦合项看作干扰，TD为包含高阶刚柔耦合项的系统干扰。

(6)

其中：

式中：ΔM为转动惯量不确定引起的模型未知项，g为外部干扰项。

2 非奇异快速终端滑模控制器设计

2.1 有限时间控制

为方便后文控制器设计，给出有限时间稳定相关定义和引理。

1)V为正定函数；

2)存在正实数α>0,1>p>0，以及一个不包含原点的开邻域D0⊂D，使得函数V满足

(7)

那么系统为有限时间稳定，且收敛时间为

1)V为正定函数；

2)存在正实数α>0,β>0,1>p>0，以及一个不包含原点的开邻域D0⊂D，使得函数V满足

(8)

那么系统为快速有限时间稳定，且收敛时间为

在控制器设计过程中，大多数情况并不需要系统轨迹在有限时间内严格收敛于零，而只需要稳定于满足设计需要的一个小邻域，为此，有的学者提出了更适用的实际有限时间稳定(Practical finite-time stable，PFS)[21]。

2.2 非奇异快速终端滑模

将误差动力学方程，改写为状态空间形式：

(9)

(10)

其中

式中：d=Jmog+JmoΔM为包含高阶刚柔耦合项、干扰力矩以及转动惯量不确定项的系统总干扰。

针对一次近似刚柔耦合动力学模型，传统的线性滑模面可以设计如下

(11)

其中,k>0，系统轨迹在到达滑模面后，只能渐近收敛到零点。

终端滑模在传统线性滑模面的基础上引入了非线性项，从而使系统轨迹可以沿滑模面在有限时间内收敛到零点，具体设计如下

(12)

(13)

式中：k,k1>0，0<γ<1。由上式可知系统轨迹在远离零点的时候，由线性项k1θe提供更快的收敛速度，当系统轨迹接近零点的时候，由收敛速度更快的非线性项ksig(θe)γ作为主导，所以系统轨迹在全局都能快速收敛。

对快速终端滑模求导得

(14)

式中：a,b>0,2>γ2>1，且γ1>γ2。对非奇异快速终端滑模函数求导得

(15)

由于γ1-1>0，γ2-1>0，非奇异快速终端滑模可以有效避免奇异。

2.3 状态反馈控制器设计

采用式(14)表示的非奇异快速终端滑模面，将动力学方程(9)代入式(15)得

(16)

假设1. 存在非负函数L(θ,p,χ,t)，满足

由于角度、角速度是有界的，高阶刚柔耦合项、外部干扰和转动惯量不确定性与控制力矩相比是小值，易知d是有界的，所以假设1是合理的。

在姿态信息和柔性附件振动信息均可测情况下，根据终端滑模控制器设计原理，设计如下状态反馈控制器

Tc=Teq+Tvss

(17)

(18)

Tvss=-(λ+L(θ,p,χ,t))sgn(s)

(19)

定理1. 针对存在干扰和模型不确定性的卫星动力学系统(9)、(10)，存在控制器(17)～(19)，使得系统轨迹在有限时间内收敛到零点。

证. 设Lyapunov函数为

(20)

对上式求导，并将控制器(17)～(19)代入得

L(θ,p,χ,t))sign(s)))≤

(21)

(22)

在满足滑模到达条件后，系统轨线到达滑模面s=0，即

(23)

(24)

证毕。

2.4 动态输出反馈控制器设计

在实际的在轨任务中，柔性附件的振动信息很难进行测量或进行精确实时测量，所以将柔性附件的节点坐标信息当作系统状态进行反馈控制在通常情况下很难实现。针对这一问题，本节在状态反馈控制器的基础上设计输出反馈控制器，仅利用角度和角速度信息来达到系统的有限时间稳定。

采用非奇异快速终端滑模面(14)，基于假设1以及姿态角和姿态角速度信息，设计动态输出反馈控制器如下：

(25)

(26)

式中：

控制器切换增益λ和λ1为常数，且满足λ>0,λ1>1。Γ为正定对角的观测增益矩阵，基于柔性附件具有非负惯性阻尼的假设,可知存在Γ满足ΓA<0。

定理2. 针对存在干扰和模型不确定性的卫星动力学系统(9)、(10)，存在控制器(25)、(26)，使得s、ep和eχ一致最终有界。

证. 选取Lyapunov函数如下

(27)

对式(27)求导，并将控制器(25)、(26)代入得

(λ+L(θ,p,χ,t))sgn(s)-λ1s))≤

(28)

证毕。

通过式(28)的证明，可以知道s、ep和eχ是一致最终有界的，但是这并不能说明卫星姿态可以在有限时间收敛[25]。设

(29)

定理3. 针对柔性卫星刚柔耦合误差动力学方程(9)、(10)，存在控制器(25)、(26)，当初始条件满足

(30)

其中,Vmax>0，滑模面s可在有限时间到达邻域

(31)

(32)

(33)

(34)

证. 设Lyapunov函数

(35)

对Lyapunov函数进行求导，并将控制力矩代入整理得

(λ+L(θ,p,χ,t))sgn(s)-λ1s))≤

-φb1V-φb2V1/2+φc

(36)

式(36)推导过程中用到了如下不等式关系

(37)

(38)

当b1-c/V>0时，由引理2可知式(37)符合快速有限时间稳定形式，则滑动模态s可在有限时间内收敛到区域

(39)

当b2-c/V1/2>0时，式(38)符合快速有限时间稳定形式，则滑动模态s可在有限时间内收敛到区域

(40)

(41)

上式可整理为如下两种形式

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

证毕。

3 仿真结果与分析

本节主要对文中提出的状态反馈控制器(17)～(19)和动态输出反馈控制器(25)、(26)进行数值仿真以验证其有效性，并与文献[6]中设计的自适应输出反馈控制器进行对比。其中柔性卫星参数采用文献[18]中给出的参数。

3.1 状态反馈控制

从图2可以看出，针对姿态角控制，控制器(17)～(19)可在25s收敛，并在32s达到5×10-6rad控制精度，同样从图3可以看出，本文提出的控制器可在20s使得姿态角速度收敛到小值，并在30s达到2.5×10-6rad/s控制精度，由图4可知，挠性附件末端初期振动较大，但是振动可以快速衰减。由图5的仿真结果可以看出，本文的控制力矩存在微弱抖振现象，这是由于控制器中存在不连续的符号函数导致，与理论分析相一致。

3.2 动态输出反馈控制

分析仿真结果可知，在柔性信息不可测的情况下，本文设计的动态输出反馈控制器可以使得误差姿态角和姿态角速度有限时间快速收敛，由于柔性信息估计误差的存在，控制精度有所下降，但是仍然满足要求。由于在柔性信息估计过程中引入了滑模变量，从图10～11可以看出，估计值与真实值相比，振动频率更大，但是误差值快速收敛，可以提供控制器设计所需精度的柔性信息。

针对姿态角控制，由图6可知，相比于文献[6]中的自适应控制器，控制器、可在35s达到5×10-6rad控制精度，而文献中的自适应控制器直到120s才达到稳定，虽然稳态精度比本文的控制器精度高，但是均处于同一数量级，相差并不大。同样从图7可以看出，本文提出的控制器可在30s使得姿态角速度达到2×10-5rad/s控制精度，而文献[6]中的控制器直到80s才可稳定，稳态精度为1×10-5rad/s。对于需要完成大角度快速机动的刚柔耦合卫星来说，本文提出的控制器在收敛时间上有明显优势，而且稳态精度也满足在轨任务的要求。从图9可以看出，与文献[6]相比，本文控制器饱和阶段更短，且衰减更快。从图8可以看出，挠性附件末端振动与文献[6]相比，虽然初期振动要稍大，但是更早开始衰减，且衰减速度更快。所以在考虑柔性附件振动的情况下，本文设计的控制器也具有优势。

4 结 论

本文研究了大角度快速机动情况下刚柔耦合卫星的有限时间姿态控制问题，具有以下特点：

1)建立了一次近似刚柔耦合动力学模型，充分考虑了动力刚化效应，在大角度快速机动背景下更加精确。

2)设计了利用柔性信息的全状态反馈控制器和仅利用角度和角速度信息的动态输出反馈控制器，均实现了有限时间姿态控制，且显示了其快速稳定的优越性和高精度的控制性能。

3)另外，在控制器设计过程中同时考虑了外部干扰和转动惯量不确定性，所以控制器具有良好的鲁棒性和工程实用价值。

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通信地址：哈尔滨市南岗区一匡街2号3013信箱(150001)

电话：18846455145

E-mail:xiaoy@hit.edu.cn

叶 东(1985-)，男，博士，讲师，主要从事航天器姿态控制及其物理仿真验证研究。本文通信作者。

通信地址：哈尔滨市南岗区一匡街2号3013信箱(150001)

电话：(0451)86412357

E-mail:yed@hit.edu.cn

(编辑：牛苗苗)

Finite-Time Output Feedback Attitude Control for Rigid-Flexible Coupling Satellites

XIAO Yan, YE Dong, SUN Zhao-wei

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

A study on finite-time control is made for the rigid-flexible coupling satellites in a large-angle rapid maneuver. A first-order approximation rigid-flexible coupling dynamic model is set up, considering the serious coupling effect between the deformation of the flexible appendages and the large-scope spatial movement of the central body. Given that all states including the flexible vibration measurements of the satellite system can be measured, a nonsingular fast terminal sliding mode (NFTSM) full state feedback controller is designed in the presence of the model uncertainties and disturbances. The finite-time stability of the system is proved by the Lyapunov theory. Then a modified NFTSM output feedback controller is proposed in the condition that the flexible vibration measurements are not available, and the finite-time output feedback control is based on measurements of the angle and angular velocity only. At last, the numerical simulations of the proposed controllers and comparisons with the controller in present literature together demonstrate the finite-time stability of the control method proposed.

Rigid-flexible coupling satellite; Rapid maneuver; Attitude control; Finite-time control; Terminal sliding mode; Output feedback

2016-10-08;

2017-02-17

国家自然科学基金(61603115,91438202,61273096)；中国博士后科学基金(2015M81455)；微小型航天器技术国防重点学科实验室开放基金(HIT.KLOF.MST.201501，HIT.KLOF.MST.201601)；黑龙江省博士后资助经费(LBH-Z15085)

V448.22

A

1000-1328(2017)05-0516-10

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.05.010

肖 岩(1990-)，男，博士生，主要从事航天器姿态控制研究。