平面解析几何中曲线方程的求法Q

李功天

【摘 要】在高中数学的教学体系当中，求解曲线方程是一个非常重要的部分。解析几何有着比较稳定的规律，因此求解曲线方程的方法也趋于确定。本文以四种常规的求解方法为主线，讲解平面解析几何中曲线方程的求解方法。

【關键词】高中数学 解析几何 曲线方程

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）02B-0157-02

根据曲线满足的约束条件求解曲线方程是解析几何中的基本内容，熟练掌握曲线方程的求法是学习平面解析几何的基本要求之一。笔者总结了四种基本的求解方法，供各位读者学习、讨论。

一、一般求解，掌握规律

没有方法的方法就是普适性的方法。如果涉及特殊的解法，必然要有一些局限的条件。因此，在掌握特殊的解法之前，首先要掌握好基本的解法，也就是一般解法。掌握了一般解法，也才有进行变换的可能。

一般解法有四步。第一步，确定坐标系，一般来说试题中的坐标系是已经确定好了，学生需要做的就是明确已知曲线在坐标系中的位置信息。第二步，设点，即将所求的曲线上任意一点设为（x，y），将此点作为一条曲线的特征值。这一步是比较固定的一步，无论什么方法都适用。第三步，是关键性的一步，列出所设点满足的等式，列式依据为题中给出的已知条件。第四步，出成果的一步，将第三步中的等式进行化简，化成 f（x，y）=0的形式，曲线方程也就求出来了。在一些有特殊要求的题目中，还要加一步验证的过程。至此，整个一般解法就形成了一个完成的程序，其中的规律性也非常的明显。下面以一道例题进行详细说明。

如图，已知曲线 C：x2+y2-4x-6y+9=0，从原点 O 引一条割线 OP2 交曲线C 于 P1 和 P2 两点。假设 P1P2 的中点为P，求 P 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形。

根据一般解法的原则，第一步，要明确坐标系，将已知曲线进行配方，得（x-2）2+（y-3）2=4，因此得出了已知曲线为以（2，3）为圆心，半径为 2 的圆；第二步，设 P 的坐标为（x，y）；第三步，根据题意，知 RP 与 OP1 之间是垂直关系，由此可得 kRP×kOP1=-1，列出相应的方程；第四步，化简方程，得出结果为 x2+y2-x-3y=0。

一般解法具有非常大的适用性，但是也存在运算量大、解决难题效率低等问题。凡事从基础做起，一般解法是学生在学习过程中必须掌握的技能。只有当基本的解题方法运用熟练之后，一些灵活的思想才有可能形成。

二、引参消参，间接求解

在解题中，学生运用一般解法找点线关系时，往往受到一些因素的制约，或是关系式难以化简，或是关系抽象不能列式。这时候就不能“不撞南墙不回头”了，要学会运用间接的方法，如引入一些参数，通过消去参数的方法（引参消参法）来进行求解。

运用引参消参法需要注意三个原则。一是可控性。即引入的参量的变化轨迹能够以明确的曲线方程表达出来，便于列式，避免“为了引参”而强行引入变量，加大解题难度。二是简易性。引入参量的目的是简化等式关系，因此参量与因变量、自变量的关系要简明。三是易消性。即参量要在含 x，y 的方程中容易消去，否则解题将进入死胡同。仍然以上面的题目作为例子进行说明。我们观察到 P 点、R 点、O 点的位置关系不明确，但是与割线 OP2 的关系比较密切，而 OP2 过坐标原点，因此可以引入 OP2 的斜率 k 作为参量。设 P 点的坐标为（x，y），割线 OP2 的斜率为 k，那么 OP2 的方程即为 y=kx，代入曲线 C 的方程中得（k2+1）x2-2（3k+2）+9=0，设 P1（x1，y1），P2（x2，y2），则 x1 和 x2 为此方程的两个根。由韦达定理和中点定理可求得方程。又因为（x，y）在 OP2 上，所以最后求得 P 的轨迹为 x2+y2-x-3y=0。

引入参量相当于增加变量，这是属于增加了求解的“负担”，但是引入参量的意义在于通过一种间接的关系，将所有的变量关系集中到参量上，从而将建立的关系进行简化。所以说引参消参的方法是增多了变量，但简化了思路。

三、常数待定，精准解答

求解曲线方程，就是要确定方程中的所有未知参数，因此把问题落在这个未知参数上，通过整理，又将未知参数集中到一个待定的常数上，通过已知条件中的等式关系，确定出此常数，这样问题也就迎刃而解了，这就是常数待定法的思路。

应用常数待定法求解，将求解目标缩小到了一个待定常数上面，提高了解题的目的性和精准度，解答的整个过程变成围绕该常数来展开，减少了很多变化的因素。使用待定常数法进行解题时，不仅要熟悉各种曲线方程的标准形式，而且还要熟悉它们的特殊形式，在尽量大的限度内减少待定常数的数量。举下面一道题目为例。

现有一双曲线以 2x±y=0为渐近线，并且过点 N（2，），求该曲线的解析式。

分析这道题目，双曲线的渐近线一旦确定，那么就剩余一个常数待定了，可将此常数设为变量来集中求解。

解题过程：由于双曲线以 2x±y=0为渐近线，可设双曲线方程为（2x）2-y2=，因为 N（2，）在双曲线上，所以 16-12=，=4，所以双曲线方程（2x）2-y2=4，化成标准形式即可。从以上的解题过程中可以看出，将渐进线的条件转化成待定常数的关系式是整个过程中的关键性一步，这就需要学生熟练掌握双曲线的性质。

数学解题的原则就是“准确”与“快速”。“准确”就是要求学生的思维必须缜密，“快速”就是要求解题目标明确。待定常数法解题兼具“准确”与“快速”的一种方法，但是并不适合所有题目。

四、坐标变换，灵活求解

在常规的解法中，我们的注意点往往集中在曲线方程上面，对于一些题目来说可能有些困难。此时我们可以将注意力转移到坐标上来，通过点的坐标之间的变换，来实现曲线方程之间的转化，促成解题，灵活求解。

曲线是由一系列点构成的，因此点的关系也在一定程度上代表了曲线之间的关系。在求解曲线变换时，可以先建立点的坐标之间的变换关系，然后通过转化来求解。例如下面一道题目：

如图，已知圆 M：x2+y2+6x-10y+33=0 和一条直线 l：3x-y+4=0。求圆 M 关于直线 l 的对称圆 N 的方程。

分析这道题目，我们可以发现整个待求的方程未知量都集中在圆心之上，如果确定了圆心的位置，那么圆N的方程自然也就确定了。我们以圆心的坐标进行变换求解，解法如下：

将圆 M 进行配方：（x+3）2+（y-5）2=1，通过圆 M 的方程确定了圆心 M（-3，5）。设点 M 关于 l 的对称点为 N，MN 直线的参数方程为 x=-3+3t，y=5-t，代入 l 可得 3（-3+3t）-（5+t）+4=0，t=1。因此可得 xN=-3+3=0，yN=5-1=4，所以 N 点的坐标为（0，4）。在圆对称变换的情况下，圆的半径不变，所以圆 N 的方程为 x2+（y-4）2=1。

在求解曲线时，不一定要“直接”求解，一条曲线的组成要素有很多种，比如点的坐标、曲线的特征曲线等，作为解题者要善于将曲线之间的关系转化为点坐标之间的关系，通过点与点之间的坐标变换，来灵活求解。

综合来说，曲线方程的求解有很多种方法，但是没有一种方法是万能的。这就说明了求解曲线方程，或者说是求解任何一种数学问题，都不会有一劳永逸的方法。各种各样的方法是逐渐积累而来的，需要学生在练习中不断总结归纳。

【参考文献】

[1]刘祖望.谈平面解析几何中曲线方程的求法[J].四川教育学院学报，2004（1）

[2]杨永刚，阎恩让.解析几何中轨迹方程的求法[J].宝鸡文理学院学报，1996（2）

（责编 卢建龙）