敞亮经验，建构数学“理解性教学”

陈昌萍

摘 要：从儿童、数学、教学和对话四个视角可以对数学“理解性教学”进行操作建构。儿童的“前数学经验”是建构“理解性教学”的前提，数学的“活动性经验”是建构“理解性教学”的基础，教学的“生长性经验”是建构“理解性教学”的关键，而对话的“生成性经验”是建构“理解性教学”的源泉。

关键词：理解性教学；前数学经验；活动性经验；生长性经验；生成性经验

“数学理解”是儿童数学学习的重要范畴，也是儿童数学学习的一种活动。人民教育出版社章建跃先生认为，“数学理解”是提升数学效率的重要途径。英国著名数学教育心理学家斯根普认为，数学理解有三个层面：工具性理解、关系性理解（意义性理解）和创新性理解。这些关于“理解”的理论为研究和实施数学“理解性教学”提供了重要架构与支撑。在数学教学实践中，笔者从儿童、数学、教学与对话四个视角出发，对数学“理解性教学”进行操作建构。

一、儿童的“前数学经验”：“理解性教学”的前提

著名数学教育家奥苏贝尔认为，影响数学教育最为重要的因素就是儿童已经掌握了什么。据此，在数学教学中，教师要洞察、丰富、运用儿童的数学前理解。儿童的数学前理解是数学教学的逻辑起点，主要包括儿童的原生经验、雏形认知、原发思考、原初资源等。儿童的这些前经验、前理解为儿童的数学学习活动走向深刻与丰盈提供了生长动力和现实路径。

例如教学《认识小数》（苏教版小学数学教材第6册）的一个月前，笔者“预谋”，让学生到商店了解各种商品的价格，并和“小数”亲密接触，丰富学生的数学前经验、前理解。学生经过多次了解商品价格、买卖商品活动，与小数结下了深厚的友谊。在正式学习小数时，犹如“旧友重逢”，他们对小数不再陌生，一种熟悉的亲近感油然而生。教学中，笔者“退居二线”，运用“问题导学单”对学生“友情提醒”，充分利用儿童的数学前经验，让儿童自主探究。“实践出真知”，通过数学活动，他们不仅认识了“一位小数”，而且对“两位小数”“三位小数”等都有了较为深刻的认知。不仅如此，由于学生有了丰富的“买东西与找零”经验，他们对“简单的小数加减法”也有了相应的数学认识。丰富的活动经验让儿童的数学认知向后延伸，积累和孕育了儿童的“小数加减法”的后续活动经验。这种丰富儿童前经验的数学活动，对儿童的数学“前理解”来说是一种充实、一种激活、一种发现、一种打开……值得注意的是，由于儿童的数学前经验、前理解是内隐的、粗糙的、感性的甚至是片面的、错误的，因此教师在教学中必须给予积极关注，适时激活与点拨，及时主动地跟进。

二、数学的“活动性经验”：“理解性教学”的基础

著名数学教育家张奠宙教授曾经这样说，“教什么永远比怎样教更为重要。”在数学教学中，教师不仅要着眼于儿童，更要着眼于数学。要深刻地理解数学知识“是什么”，即要深刻领悟数学知识所蕴含的丰富的数学思想方法及其育人的科学价值。教学中，教师要对儿童的数学活动经验进行提升，促进儿童的“数学理解”。

例如教学《认识方程》（苏教版小学数学教材第10册），教学中笔者引导儿童开展数学活动。首先是感性直观，出示一架天平，让学生在天平的两边放上砝码，并用算式将天平的状态描述出来，建立“等式”的概念，突破“等号”作为指示计算的作用，凸显“等号”的关系性质。其次，让学生将天平左边或右边的砝码换成物体，天平不平衡，形成“不等式”的概念。再次，组织学生展开丰富有序的数学活动：一是在天平的左边放上物体，让天平保持平衡；二是在天平的右边放上物体，让天平保持平衡；三是在天平的左右两边同时放上物体，让天平保持平衡，逐步分类、概括，建立“方程”的概念。在这个过程中，教师要依据学生的数学活动提升学生的数学活动经验，促进学生的数学理解：由于物体既可以放在天平的左边，也可以放在天平的右边，所以方程中的未知数既可以在方程的左边，也可以在方程的右边，凸显“含有未知数的等式是方程”这一数学知识本质。当儿童稳固地建立了“方程”的概念后，笔者引导学生通过具体的式子对方程、等式和不等式等展开辨析，让学生对概念的本质属性和非本质属性有通透性的理解和认知。

三、教学的“生长性经验”：“理解性教学”的关键

美国著名实用主义教育家杜威先生认为，“教育即生长。”在杜威那里，“生长”是一种积极的、能动的力量，是内生而不是外铄的。这启示我们，在“理解性教學”中，当学生需要指引时，教师应给予学生思想、方法与力量，助推学生的学习；而当学生尝试自主建构数学知识时，教师应当退到学生身后，即“以学定教”。在数学教学中所获得的助推儿童生命成长的“生长性经验”是“理解性教学”的关键。

例如教学《运用三角尺画角》（苏教版小学数学教材第7册），笔者预设的环节是：①运用量角器量出一副三角尺上6个角的度数；②运用一副三角板中的任意两个角进行拼角；③将得到的角按照从小到大的顺序排列起来，你发现了什么？开始研究后，学生对于第一、第二个问题渐渐达成了共识：从30°，45°，60°，75°…一直到150°，180°。在对第三个问题展开交流时，许多学生都认为相邻两角相差15°，但是两个角的空白让另一些学生觉得“美中不足”。于是，笔者启发学生“拼角的时候，我们除了可以运用加法如75°=30°+45°外，是否可以尝试运用减法”，由此召唤孩子、“逼迫”孩子展开深度的数学思考。在孩子们的数学交流中，15°呼之欲出（即15°=45°-30°和15°=60°-45°）。当孩子们将三角尺中30°角与45°角的一条边重合，将45°角与60°角的一条边重合时，班上有一位学生却将两个90°的直角进行重合，他用量角器测量了三角尺两条斜边之间的夹角，竟然拼出了笔者都未曾拼过的165°的角，孩子们兴奋无比。他们经历了一种真正意义上的数学创造，将用“三角尺拼角”这一数学知识臻于完美。

四、对话的“生成性经验”：“理解性教学”的源泉

儿童的数学理解建基于师生、生生、生本的平等对话。可以说，没有对话就没有儿童思维的推进，没有对话就没有儿童思维的砥砺。对话仿佛是流淌在儿童、教师、教学媒介之间的意义溪流。在对话中，数学知识的原貌、本质将被凸显出来，儿童在对话中能够实现对数学知识意义和本质的理解。经过对话，儿童彼此间互相分享知识经验、思想方法经验，渐渐达成视界融合。

例如：教学《用方向和距离确定位置》（苏教版小学数学教材第12册），教学中，笔者放弃了教材中简单呈现的教学路径，从知识的发生视角展开教学。首先笔者运用多媒体课件在平面图上显示两艘轮船分别从正北方向略偏东、正东方向略偏北两个位置行驶过来，学生发现两艘轮船都在同一个区域——东北区域内，但是位置不同，由此激发了学生创造“数学规定”的热情。有学生认为，我们不能再用传统的东北方向来刻画船只的位置了；有学生认为，应该加上角度来精确刻画位置；有学生认为，还要加上距离；有学生认为，方向的科学厘定比什么都重要；还有学生认为，一艘是正北方向略偏东，另一艘是正东方向略偏北；……这时，笔者运用多媒体课件展示了第三艘轮船，其位居“北偏东45度方向”，由此激发儿童认知冲突——“这个方向既是北偏东45°，也是东偏北45°，怎么办呢？”这时，笔者出示指南针，经交流，孩子们普遍认为应当以南北方向作为基本方向。至此，孩子们深刻体验到“北偏东”“南偏西”规定的合理性。在对话中，孩子们既关注了距离又关注了方向和角度。

基于儿童、数学、教学与对话的“前经验”“活动经验”以及“生长性经验”“生成性经验”是儿童数学素养、数学生命可持续性发展的重要资源。教学中，教师要适时点拨、启发引领，助推儿童的数学发现、数学创造。要放大蕴含于数学知识中的数学思想与方法雏形，将数学知识融入儿童数学思想生长的脉络中，不断丰盈、敞亮、提升儿童的“数学之思”。