考研数学利用洛比达法则求函数极限方法探讨

杨淑菊

摘要：利用洛必达法则求未定式极限是研究生考试的重要内容，本文结合具体的问题探讨应用洛必达法则求极限的计算方法与技巧。

Abstract： Using L'Hospital's rule to seek infinitive limit is an important content for the postgraduate examination. This paper combines specific problems to discuss calculation methods and skills according to the application of L'Hospital's rule.

关键词：极限；洛必达法则；化简

Key words： limit；L'Hospital Rule；simplification

中图分类号：G633.66 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）17-0230-02

0 引言

极限是高等数学的一个重要的概念，研究生入学考试数学试题每年都有极限的问题，试题求解要求考生具备灵活应用知识解决问题的能力。纵观近年的考研试题，发现极限题目大多可以用洛必达法则解决。本文结合具体的问题探讨应用洛必达法则求极限的计算方法与技巧。

1 洛必达法则

设（1）当x→a（或x→∞）时，函数f（x）与g（x）都趋于零（都趋于无穷大）；（2）f'（x）与g'（x）在点a的某去心邻域内（或者当x>X，X为充分大的正数）都存在，且g'（x）≠0；（3）存在（或无穷大）；则=。

2 实例

例1（2016年考研數学一）求极限：

解析：分子是一个变上限积分确定的函数，提示需用洛必达法则简化分式。注意到x→0，1-cosx2～x4，在应用洛必达法则之前，先进行等价无穷小替换。

解：

例2（2008考研数学一）求极限：

解：原式=（用洛必达法则）

此题求解的过程首先应用重要极限公式=1进行化简，之后用洛必达法则，在用完一次洛必达法则又进行化简。一般的，在考研求有限个函数相加减的极限时，极限存在的先算出；求有限个函数相乘的极限时极限存在且不为零的先求出，这样可以简化求解过程。

例3（2014年考研数学一、二、三）求极限：

分析：分子是变限积分确定的函数，提示需用洛必达法则简化分式。若直接对分子分母求导，分子可以简化，分母则变复杂。注意到x→∞，→0，ln1+～先对分母做等价无穷小替换。

解：

在此我们看到一个∞-∞型未定式极限。对于∞-∞型未定式极限常用的方法有：①若函数中有分母，通常采用通分后将加减法转化为乘除法，以便于应用其它的依据（比如洛必达法则）；②若函数中没有分母，可采取提公因式、分子有理化、作倒代换等方法。当题设为x→∞时，可做倒代换t=，转化为t→0再求解。

令u=，则

这时它又是一个型的未定式极限，再用洛必达法则

例4（2017考研数学二）求极限：

解析：分子是变限积分确定的函数且分子的被积函数含参数x，积分变量是t，在积分过程中x是常数，应将x分离出来提到积分号外。

解：令x-t=u，则有t=x-u，dt=-du；t=0，u=x；t=x，u=0

原式=

例5（1997年考研试题）求极限：

解：由=，x→0，ln（1+x）～x得

可用洛必达法则，但出现循环、繁琐、不好约分化简，注意到=1把它拆分后先算出。

一般地，若待求极限的函数表达式中含有当sin与cos或sinx与cosx时一般不用洛必达法则，而考虑用无穷小量的性质：无穷小量乘以有界变量仍是无穷小。

3 总结

洛必达法则是求解，未定式极限的一种非常有效的方法，应用洛必达法则之前要化简，很多问题如果不化简就计算，计算过程会非常的繁琐，有的甚至可能计算不出结果。化简的方法有：①求有限个函数相加减的极限时，极限存在的要先算出；②求有限个函数相乘除的极限时，极限存在且不为零的先算出；③等价无穷小替换。对于变限积分表示的函数求导时，如果被积函数中含参数，要先通过换元将参数分离出来，提到积分号前面再求导。

参考文献：

[1]张宇.高等数学18讲[M].北京：北京理工大学出版社，2017.

[2]陈文灯，黄先开.考研数学复习指南[M].北京：北京理工大学出版社，2015.

[3]同济大学数学系编：高等数学上册[M].六版.高等教育出版社，2004.