也谈基本不等式求最值的一个教学困惑的突破

江苏省兴化市楚水实验学校(225700) 俞杏明

也谈基本不等式求最值的一个教学困惑的突破

江苏省兴化市楚水实验学校(225700) 俞杏明

1 问题提出

2 问题探究

图1

图2

事实上,f(x)≥g(x)x∈D等价于f(x)的图像不低于g(x)的图像,不等式取等号的意义仅表示两曲线有交点.当g(x)为常数时(如图2),交点的纵坐标即为f(x)的最小值;当g(x)为非常数函数时(如图1),交点的纵坐标一般不是f(x)的最小值.这就形象解释了中的“=”仅表示不等式左右可以相等,所对应两个函数图像有公共点.一般只有ab(或者a+b)为定值时,该公共点对应的纵坐标才是所求最值.

3 解后反思

3.1直观先于抽象,本质重于形式人的认知习惯是是先直观再抽象.感性知识和经验是学生理解、掌握知识的支柱.把比较抽象的数学知识具体化、形象化,为学生感知、理解、掌握创造条件,使知识的生成符合学生的认知规律.这也就是建构主义理论提倡的“意义建构”的过程.

令z=(a+2b)(a−b)(5−3a)(a+2b＞0,a−b＞0且其对应的图像为曲面.应用三元基本不等式求最值过程中的“凑定、取等”就是保证该曲面与平行于xOy的平面相切,此时z=(a+2b)(a−b)(5−3a)的最大值就是切点在z轴上对应坐标的z值.

类似地,应用n元基本不等式a1+a2...+an≥求最值过程中的“凑定、等号”的意义同样可以用维数至多n−1维空间中的图形关系解释.

[1]王峰.基本不等式求最值的一个教学困惑[J].中学数学教学参考(上月刊),2015,4.

[2]王胜林.基本不等式求最值的一个教学困惑的另类突破[J].中学数学教学参考(上月刊),2016,3.