关于固结弹性薄层空间轴对称接触问题精确解的探讨（Ⅰ）

曲祥君，朱 凯，唐 迪，李 青

（遵义师范学院工学院，贵州遵义563002）

关于固结弹性薄层空间轴对称接触问题精确解的探讨（Ⅰ）

曲祥君，朱 凯，唐 迪，李 青

（遵义师范学院工学院，贵州遵义563002）

基于Papkovich-Neuber势函数研究了固结薄层的轴对称静压接触问题。通过Fourier积分变换得到薄层接触应力、位移的Fourier形式。利用边界条件，采用积分变换手段探讨了该接触问题的精确解，并最终得到第一类奇异积分方程。

弹性薄层；Fourier积分变换；轴对称接触

弹性薄层固结构件的层合结构常见于各大行业领域中，如暖通管道与保温耐腐层的结合体。此种结构在应用时常与其他构件接触，从而产生多种接触问题。固结薄层体的空间轴对称接触问题，是其中最基本、最重要的一种，国内外学者对其进行了相应研究。Johnson[1]创立了著名的Johnson假设，并以该假设为基础研究了固结薄层体的静态挤压接触问题，得到了精确的解析解。该假设后来成为薄层体解析分析、数值分析的重要奠基石，但该假设的结果无法应用于薄层体层内应力场、位移场的分析研究。Jaffer[2]以Johnson假设为基础，研究了可压缩弹性薄层体受竖向静态挤压接触时的接触应力分布。Barber[3]采用不同的方法研究了静态挤压接触问题的接触应力分布情况。Ning等[4]也以Johnson假设为基础，并利用仿真分析得出了与理论值高度吻合的接触应力分布形式。Jaffer[5]以Popov[6]和Alexandrov[7]的研究成果为基础，利用修正Legendre多项式对接触应力、位移分量开展了相应的研究。Mattthewson[8]从平均应力、平均应变的角度对固结弹性薄层体的静态挤压接触问题进行了全新的研究，得到了相应的精确解。朱凯[9]采用解析分析的方法，利用简单的数学推导，求出了固结弹性薄层空间轴对称问题的解析解。此外，还有许多学者[10-14]对该问题进行了大量研究，所有这些研究为薄层体结构的制备及工业应用提供了理论指导，并推动了接触力学的发展。

本文以朱凯研究的模型为基础，旨在寻找一种针对此类问题的精确的半解析解。作者采用一系列积分变化手段，探讨固结弹性薄层空间轴对称接触问题的精确解，最终将该问题成功转化为第一类奇异积分方程，该方程可以利用数值手段进行求解，并得到接触应力的精确表达式。

1 问题的建立

考虑有厚度为 的弹性薄层固结刚性基底，如图1所示。半径为 的刚性圆球在外力 的作用下与薄层发生空间轴对称接触，接触半径为a，薄层产生深度为d的凹陷，圆球的最大压入深度为d。过球心作横截面，建立笛卡尔坐标系进行辅助求解，其中相对应的位移分量为

图1 刚性基底上固结弹性薄层与刚性球状压头的法向接触

2 边界条件

由图1可知，刚性圆球与薄层之间的接触区域为球冠状，接触半径为a。假定刚性圆球与薄层之间的摩擦系数为零，同时由图1可知，只有接触区域内有应力分布，故可得如下的边界条件：

3 问题的求解

在平面应变问题几何方程、弹性方程的基础上，利用Fourier积分变换可求得的Fourier形式

由式（21）、（23）可建立接触应力与竖向位移的关系式：

由式（32）可知，本文中的轴对称接触问题转化成为第一类奇异积分方程的求解。

4 讨论及结论

本文通过积分变换手段，对固结弹性薄层空间轴对称接触问题进行了探讨，并最终将问题转化为便于数值求解的第一类奇异积分方程。该方程可以运用Gauss-chebyshev积分法进行离散，然后采取Chebyshev多项式零点作为Gauss节点对接触应力进行数值求解，最终得到精确的结果。相应的数值分析及结果讨论将在第Ⅱ部分工作中呈现。

[1]Johnson KL.Contact mechanics[M].Cambridge:Cambridge university press,1987.

[2]Jaffar MJ.Asymptotic behaviour of thin elastic layers bonded and unbonded to a rigid foundation[J].International Journal of Mechanical Sciences,1989,31(3):229-235.

[3]Barber JR.Contact problems for the thin elastic layer[J].Inter national Journal of Mechanical Sciences,1990,32(2):129-132.

[4]Ning X,Lovell M,Slaughter WS.Asymptotic solutions for axisymmetric contact of a thin transversely isotropic elastic layer[J].Wear,2006,260(7):693-698.

[5]Jaffar MJ.A numerical solution for axisymmetric contact problems involving rigid indenters on elastic layers[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids,1988,36(4):401-416.

[6]Popov GI.The contact problem of the theory of elasticity for the case of a circular area of contact[J].Journal of Applied Mathematics and Mechanics,1962,26(1):207-225.

[7]Aleksandrov VM.Asymptotic solution of the contact problem for a thin elastic layer[J].Journal of Applied Mathematics and Mechanics,1969,33(1):49-63.

[8]Matthewson M J.Axi-symmetric contact on thin compliant coatings[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1981,29(2):89-113.

[9]朱凯,张旭,马清.固结弹性薄层的空间轴对称接触问题[J].遵义师范学院学报,2016,18(1):107-110.

[10]Meijers P.The contact problem of a rigid cylinder on an elastic layer[J].Applied Scientific Research,1968,18(1):353-383.

[11]Alblas JB,Kuipers M.On the two dimensional problem of a cylindrical stamp pressed into a thin elastic layer[J].Acta Mechanica,1970,9(3-4):292-311.

[12]Gladwell GML.On some unbonded contact problems in plane elasticity theory[J].Journal of Applied Mechanics,1976, (43):263.

[13]Matthewson MJ.Axi-symmetric contact on thin compliant coatings[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1981,29(2):89-113.

[14]Popov VL.Contact mechanics and friction[M].Berlin:Springer Berlin Heidelberg,2010.

[15]Gladwell G M L.Contact problems in the classical theory of elasticity[M].Berlin:Springer Science&Business Media, 1980.

[16]Sneddon N I.Fourier transforms[M].New York:Dover Publications Inc,1995.

（责任编辑：朱 彬）

Axisymmetric Contact Problem of the Bonded Elastic Thin Layer (Ⅰ)

QU Xiang-Jun,ZHU Kai,TANG Di,LI Qing
（College of Engineering and Technology,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China）

The axisymmetric contact problem for the elastic thin layer bonded to rigid foundation is concerned on the basis of the Papkovich-Neuber potential function,using the Fourier transform to get the stress and the displacement expressions of the elastic thin layer. Considering the boundary conditions,the solution for the contact pressure is obtained by Fourier transforms.

Elastic thin layer;Fourier transform;Axisymmetric contact

O343.3

A

1009-3583（2017）-0104-03

2016-11-04

曲祥君，男，贵州遵义人，遵义师范学院工学院助理实验师。研究方向：滚动轴承、界面处理。