把握数学本质 发展空间观念

王春霞

[摘 要]培养学生的空间观念是小学数学教学的重要目标。在“立体图形的体积”教学中，教师要挖掘教材内涵，把握数学本质，从源头上下功夫，渗透“数形结合”“转化”等数学思想，让学生在多种感官协同下积累丰富的数学活动经验，从而促进学生空间观念的发展和数学素养的提升。

[关键词]数学本质；空间观念；立体图形；体积

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）14-0017-02

“空间观念”是课程标准明确指出的十大核心词之一。“立体图形的体积”属于“图形与几何”的范畴，其核心价值在于发展学生的空间观念。那么，教师在教学实践中应如何正确把握数学的本质，发展学生的空间观念呢？下面笔者以“立体图形的体积”教学为例，谈谈自己的一些思考与实践。

一、由易错题引发的思考

【例题】一根圆柱形钢筋，底面直径为2厘米，长1米，把它截成5段，表面积增加了多少？

对于这一道练习题，一部分学生由于缺乏相应的空间观念，误认为截成5段就需切5刀，从而错误地列式为3.14×（2÷2）2×5。究其原因有：（1）通过计算立体图形的体积，体积计算公式已深深地根植于学生的头脑中，但是，以体积为主的频繁计算练习，使得学生对体积公式的理解及推导的意义逐渐淡化。（2）教师的教学策略与方法相对单调。教师虽然提供了观察和操作的材料，但是学生观察不充分，实验不到位；教师对学生的操作过程安排和干预太多，导致学生经历知识的内化过程相对贫乏，缺少有效的“体验”。（3）没有把立体图形体积的特征与计算建立起内在的联系，导致学生对算理的认识模糊不清以及对算法一知半解。反思案例中出现的问题，最根本的原因是学生对基本的直接问题与发展后的间接问题不能进行有效的转换，空间想象力比较弱。

二、对教学内容的再认识

立体图形的体积包括长方体和正方体的体积、圆柱和圆锥的体积。新课程为了把学生空间观念的培养落到实处，增加了平移、旋转、对称、物体的相对位置等与现实生活密切联系的内容，但仍然保留了传统教材中“积的计算”的教学内容，与以往不同的是，明显削弱了单纯的求积计算，减少计算的量，控制计算的数，把重心放在学生空间观念的培养上。

在小学阶段，空间观念以空间表象为主要表征形态，涉及初步的空间想象。培养学生的空间观念，在小学的不同学段有不同的目标和侧重点。教学“立体图形的体积”之前，学生已经获得了空间与图形的基础知识，初步形成了空间观念，因此教学“立体图形的体积”时，教师既不能原地踏步，也不能揠苗助长，要根据学生的年龄和思维特征，挖掘数学内涵，把握数学本质，从而进一步发展学生的空间观念。

学生的研究由平面图形的面积扩展到立体图形的体积，是空间观念发展中的一次飞跃。“立体图形的体积”的教学，无论是体积公式的推导，还是拓展练习中的问题解决，均要重视“数形结合”“转化”等数学思想的渗透，从学生的经验入手，借助观察和动手操作，采取对比、推理、想象、交流等手段，适时进行抽象概括，使学生的空间观念在多種感官协同下得到更深层次的发展。

三、教学的实践与对策

1.数形结合，在探究中形成空间表象

“数形结合”是把抽象的数学语言与直观的图形相结合，通过数与形的相互转换来解决数学问题的一种重要数学思想。由于小学生以具体形象思维为主，因此在立体图形的体积公式推导中，需要从形的方面入手，通过动手操作、观察联想、比较分析等途径，将图形的特征与计算相结合，理清知识的来龙去脉，丰富学生的空间表象。

例如，教学“长方体的体积”时，学生虽然有了推导长方形面积公式的经验，但要学生从经验顺利地过渡到长方体的体积公式推导，理解公式的本质含义，仍是一次“跨越”。因此在探究长方体的体积公式时，可以让学生经历以下活动过程。

（1）数一数。课件出示由1立方厘米正方体拼成的长方体（长4厘米，宽3厘米，高2厘米），让学生数一数长方体体积单位的个数。由学生介绍数法，教师借助课件直观演示，帮助学生理解各种数法，并从中得出既准确又快捷的数法：先数每行个数，再乘以行数，得到每层个数，再乘层数，即长方体含体积单位的个数。

（2）摆一摆。给每个4人小组预先准备40个边长为1厘米的小正方体，要求各小组摆出3种不同的长方体，并把所得数据记录到学习卡上。

学生通过摆一摆、数一数、算一算，完成上述表格数据填写后，交流不同的摆法和想法。

（3）想一想。根据表格中收集到的数据，先让学生想象长方体的具体形状，及思考每行摆几个、摆几行及每层摆几个、摆几层，再向学生呈现长方体的立体图形，让学生想象用小正方体摆成的长方体的实物图，从而在数与形之间建立起应有的联系。

（4）说一说。让学生回想操作过程，观察表中的数据，说说有什么发现。学生在交流中体会长、宽、高和体积的关系，明白长方体的体积就是若干个体积单位的叠加，“计算”只是叠加方法的优化。

上述过程，学生利用数形结合思想，通过“动手操作—形成表象—想象描述—抽象概括”，对立体图形的体积计算公式的本质意义有了深刻的理解。

2.等积变换，在辨析中提升空间思维

“圆柱和圆锥的体积”这部分内容抽象性和逻辑性较强，而小学生的认知水平又存在局限性，因此教学难度大，教师处理不好，就有可能制约学生空间观念的发展。渗透转化思想可有效突破此教学难点。下面笔者以“圆柱的体积”教学为例，谈谈在不同的学习阶段如何渗透转化思想。

（1）推导中理解。在新授课中，教师可设计三个问题作为探究活动的主线，如你会怎样去研究圆柱的体积计算公式？圆柱能不能转化成已学过的立体图形？如何转化？比较圆柱与拼成的长方体，你有什么发现？如何“转化”是教学难点，教师可借助多媒体的演示，让学生清晰感知“转化”过程：将圆柱底面分成许多相等的扇形，再把圆柱切开后重新拼起来，得到一个近似的长方体，分成的扇形越多，拼成的立体图形越接近长方体。如何辨析“圆柱与长方体的关系”是教学的关键点。学生通过对比，发现圆柱的底面积和高分别等于长方体的底面积和高，从而顺利得出了圆柱的体积计算公式。

（2）练习中强化。要使学生理解圆柱体变换成长方体的转化过程，光靠新授课是远远不够的，还需要在练习课中引导学生温故知新，不断强化。

【习题】把底面半径为5厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了60平方厘米。圆柱的高是多少厘米？体积是多少立方厘米？

教学时，先让学生回忆圆柱体积公式的推导过程，再让学生辨析，得出增加的60平方厘米就是拼成的长方体（竖放）左右两个相等长方形的面积和，该长方形的宽相当于圆柱的底面半径5厘米，因此圆柱的高是60÷2÷5=6（厘米），圆柱的体积就是3.14×52×6=471（立方厘米）。

（3）复习中提升。在复习课中可再现知识点，重点引导学生回忆圆柱体积计算的推导过程。在解题时，可将圆柱切成的长方体由竖放变成横放，通过变换方位寻求解题方法，使学生理解和掌握转化思想，提升空间思维能力。

【习题】一个圆柱与一个长方体的体积相等，圆柱的底面半径与长方体的高相等，都是4厘米，圆柱的高等于长方体的宽。求长方体的长。

由于题中缺少套公式所需的直接条件，学生解题的常规思路受阻。此时若将长方体由竖放变成横放，根据题中两个条件，就能清楚地辨析出长方体的长就是圆柱底面周长的一半，即4π厘米。

“等积变换”在体积计算教学中应用比较广泛，且渗透着转化思想，其实质是“变中有不变”。教学时，教师只要把握其实质，就能提高学生解决问题的能力，发展学生的空间观念。

3.面体转换，在变式中拓展空间想象

为了突出平面图形与立体图形之间的关系，发展学生的空间想象力，教材设置了一些“面体转换”的习题。基于此，教师要选择合适的素材，让学生通过卷一卷、转一转、想一想、移一移等丰富多彩的活动，体验平面图形与立体图形之间的联系，促使学生思维转换，发展学生的空间观念。

（1）卷一卷。预先准备一张长1厘米、宽5厘米的长方形纸，让学生卷一卷，看看可以卷成什么形状，有几种卷法。（把纸卷起来，沿着长边对接和沿着宽边对接，可以分别围成两个不同形状的圆柱体。沿着长边对接，圆柱的底面周长就是长方形的长，圆柱的高就是长方形的宽；沿着宽边对接，圆柱的底面周长就是长方形的宽，圆柱的高就是长方形的长。）

（2）转一转。如果将长方形纸转一转可以得到什么样的圆柱体呢？

将带柄的长方形小旗快速地旋转，学生发现同样能生成圆柱体。经过小组合作讨论，得出三种旋转方法：沿着长边旋转；沿着宽边旋转；沿着中軸旋转。教师引导学生说出圆柱体的底面半径和高分别是什么，使学生建立起圆柱的底面半径、高与长方形的长、宽之间的对应关系，发展学生的空间观念。

（3）想一想。有了“面体转换”的基础，教师可引导学生直接想象圆锥可以用什么图形旋转而成。

以直角三角形的两条直角边为旋转轴进行旋转，可以得到不同大小和形状的圆锥体。直角三角形的两条直角边分别是圆锥的底面半径和高。

（4）移一移。利用多媒体的动态演示，使学生理解圆柱可以看成由圆平移一定的距离形成的运动轨迹，圆就是圆柱的底面积，平移的距离就是圆柱的高。同样，长方形（或正方形）经过平移也能成为长方体（或正方体）。

从“面”到“体”的空间转换，渗透着平面图形经过运动形成立体图形的模型思想。教学时，教师要通过多角度、多途径让学生感知从“面”到“体”的形成过程，比较二维面积与三维体积之间的差异，寻找几何体各部分之间的联系，拓展学生的空间想象。

总之，发展学生的空间观念不是一蹴而就的，需以学生已有的经验为基础，以教材内容为核心，把握数学的内在本质，让学生在活动中体会重要的数学思想，并积极动手、动眼、动脑，从而促进学生空间观念的发展和数学素养的提升。

（责编 黄春香）