“三角形的面积”的教学实践与思考

陈立

[摘 要]要有效开展数学探究活动，教师需摸清学生的学习起点，找准探究的切入点，把握探究的重点。“三角形的面积”一课的教学，从学生熟悉的平行四边形面积计算公式的推导入手，以方格背景下锐角三角形面积计算公式的推导为突破口，激活学生的数学思维，以点带面突破直角三角形、钝角三角形面積计算的难点，进而归纳并概括出三角形的面积计算公式，体现由特殊到一般的完全归纳推理思路，从而进一步提高探究活动的有效性。

[关键词]三角形的面积；教学实践；思考；探究

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）14-0013-04

有效的探究活动，并不是流于形式、只动手不动脑的操作，而是学生主动运用已有知识解决新问题的学习过程。思维的主动参与是有效探究的灵魂。要有效开展探究活动需要教师摸清学生的学习起点，找准探究的切入点，把握探究的重点。笔者以“三角形的面积”为例对此进行了教学实践与思考。

一、教学困惑

“三角形的面积”（人教版五年级上册第六单元第二课时）属于“空间与图形”板块，是继平行四边形的面积之后的又一节几何概念课。学生是在掌握了三角形的特征及长方形、正方形、平行四边形的面积计算的基础上学习的。学好这一课，有助于学生学习梯形和多边形的面积计算公式。以往教学这一内容时，为了让学生理解并掌握三角形面积计算公式的推导过程，一般采取以下两种策略。

一是“拼组法”，即将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，然后归纳出三角形的面积公式。这种方法看似易于学生理解，但学生其实并不理解为什么要用两个完全相同的三角形来拼。这种做法忽略了学生的主体地位。基于对学生学习起点的认识，笔者发现，由于受平行四边形面积计算公式推导的影响，学生更倾向于用一个三角形进行“剪拼”转换，进而推导出三角形的面积计算公式。

二是“剪拼法”，即将一个三角形沿其中位线剪开并通过旋转拼成一个平行四边形，或者沿高线中点并垂直于高剪开后通过旋转拼成一个长方形。学生由于知识和经验不足，往往不能剪拼成功。

那么对于这两种策略，在本节课的教学中到底应以谁为重？抑或是两者兼顾？

二、课前思考

为了解决这个困惑，笔者决定先弄清楚两个问题，一是学生的学习起点，二是教材的编排意图。

1.学生的学习起点

对于本节课，学生的知识起点是已了解三角形的特征和平行四边形的面积计算公式及推导方法。经验起点是在经历推导平行四边形面积计算公式的过程中，已初步掌握运用转化思想和割补方法推导平面图形面积计算公式的方法。这些知识起点和经验起点导致学生尝试推导三角形的面积计算公式时，只会沿着三角形的高剪开三角形。

2.教材的编排意图

对于本节课，教材先通过小女孩的实际问题“怎样计算红领巾的面积”引发学生思考，接着根据平行四边形面积公式的推导方法提出解决问题的思路：能不能把三角形也转化成学过的图形？在此基础上，再提出用拼组的方法加以推导，即引导学生把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。学生通过动手操作和实验，发现三角形与平行四边形的关系，进而推导出三角形的面积计算公式为“底×高÷2”。

教材按照“操作实验→归纳结论→应用结论”的顺序来编排学习内容，体现由特殊到一般的完全归纳推理思路，符合小学生的认知规律。

在现实的教学活动中，学生很难想到用两个完全相同的三角形来拼平行四边形。因此教师要从学生的常规思维出发，即用“剪拼法”来推导三角形的面积公式，同时兼顾“拼组法”，从而促进学生真正理解三角形的面积计算公式及其推导过程。

三、教学设想

1.确定教学思路

基于上述的分析与思考，笔者认为本节课的教学应从平行四边形面积计算公式的推导入手，结合转化思想，以锐角三角形作为突破口，通过将单个锐角三角形剪拼成长方形或平行四边形，或将两个锐角三角形拼成平行四边形，并联系转化前后图形之间的关系，从而得出锐角三角形的面积等于“底×高÷2”。通过对比，优化“拼组法”，进一步得到直角三角形和钝角三角形的面积也是“底×高÷2”，从而归纳概括出所有三角形的面积都等于“底×高÷2”。这属于完全归纳推理的思路。

2.确定教学目标及重难点

教学目标：（1）让学生理解并掌握三角形的面积计算公式，并能正确计算三角形的面积；（2）引导学生经历三角形面积计算公式的推导过程，发展学生的空间观念；（3）渗透转化思想，培养学生合作学习、积极动脑思考的良好学习习惯。

教学重点：探索并掌握三角形的面积计算公式，能正确计算三角形的面积。

教学难点：理解三角形面积计算公式的推导过程。

四、教学实践

【环节一】复习引入，唤醒认知

师：前面我们已经学习了平行四边形的面积计算公式，你们知道这个公式是怎样推导的吗？

生1：将平行四边形剪拼成长方形……（课件演示剪拼过程）

师：你为什么要把平行四边形变成长方形？这是应用了什么数学思想？（板书：转化）

【环节二】转化引路，推导三角形的面积计算公式

师：今天这节课，我们就来研究三角形的面积。（出示课题：三角形的面积）

1.初步探究

师（课件出示一个三角形）：为了研究方便，我们将它放上格子图，如果格子图中每个小正方形的边长是1厘米，那么这个三角形的底和高分别是几厘米？

师：若要求这个三角形的面积，能否像推导平行四边形的面积公式那样把它转化成已学过的图形呢？

2.分组操作

师：请拿出事先准备好的学具（两个锐角三角形和一张网格纸），通过剪一剪、拼一拼、折一折等，把三角形转化成所学过的图形。转化好后，完成以下操作记录单，然后同桌相互交流。（学生动手研究，教师巡视指导）

3.汇报交流

师：你们都研究出了什么？谁愿意与大家分享？请停下手中的操作，听一听其他同学的说法，看看他们想的是否和你一样。

师：你把这个三角形转化成了什么图形？

生2：把左上的小三角形剪下移到左下，右上的小三角形剪下移到右下，拼成长方形（如图1）。（教师随着学生的回答进行课件演示）

师：刚才你把三角形转化成了长方形，那么长方形的面积怎样计算？

生2：6×2=12（平方厘米）。

师：三角形的面积与这个长方形的面积有什么关系？

生3：相等。

师：长方形的长与这个三角形的底是什么关系？长方形的宽与这个三角形的高是什么关系？

生4：长方形的长与三角形的底相等，但长方形的宽只有原三角形高的一半。

师：那么原三角形的面积可以写成“底×（高÷2）。（板书：高×（底÷2））

师：你还能把它转化成什么图形？

生5：把左下的小三角形移到左上，右下的小三角形移到右上，拼成长方形（如图2）。（课件演示）

师：这个长方形的面积怎样计算？

生6：4×3=12（平方厘米）。

师：三角形的面积与这個长方形的面积有什么关系？

生7：相等。

师：长方形的长与这个三角形的高是什么关系？长方形的宽与这个三角形的底是什么关系？

生8：长方形的长与三角形的高相等，长方形的宽是三角形的底的一半。

师：那原三角形的面积可以写成“高×（底÷2）”。（板书：底×（高÷2））

师：还能把它转化成什么图形？

生9：把上面的三角形剪下移到右边，拼成一个平行四边形（如图3）。（课件演示）

师：你把三角形转化成了平行四边形。平行四边形的面积怎样计算？

生9：6×2=12（平方厘米）。

师：三角形的面积与这个平行四边形的面积有什么关系？

生10：相等。

师：平行四边形的底与这个三角形的底是什么关系？平行四边形的高与这个三角形的高是什么关系？

生11：底相同，平行四边形的高是三角形高的一半。

师：那原三角形的面积可以写成“底×（高÷2）”。（板书：底×（高÷2））

师：还能把它转化成什么图形？

生12：把原三角形沿高分成两个小三角形，左边的补上一个小三角形，右边补上一个小三角形，拼成一个大的长方形（如图4）。（课件演示）

师：你把原三角形拼成一个大的长方形。大长方形的面积怎样计算？

生12：6×4=24（平方厘米）。

师：三角形的面积与这个大长方形的面积有什么关系？

生13：三角形的面积是大长方形面积的一半。

师：大长方形的长与这个三角形的底是什么关系？大长方形的宽与这个三角形的高是什么关系？

生14：长与底相同，宽与高相同。

师：那原三角形的面积我们可以写成“底×高÷2”。（板书：底×高÷2）

师：还能把它转化成什么图形？

生15：把两个完全一样的三角形拼成平行四边形，原三角形面积是平行四边形的面积的一半（如图5）。（课件演示）

师：原三角形的面积怎么计算？

生15：6×4÷2=12（平方厘米）。

师：你刚才把三角形转化成了大的平行四边形，转化时用了两个三角形，这两个三角形有什么特点？

生15：完全相同。

师：这里有一个三角形跟黑板上的三角形是完全相同的，有谁愿意到黑板上操作，转化成大平行四边形。（学生操作）

师：这个平行四边形的底与原三角形的底有什么关系？这个平行四边形的高与原三角形的高有什么关系？

生16：一样。

师：原三角形的面积与这个大平行四边形的面积有什么关系？

生17：一半。

师：那原三角形的面积可以写成“底×高÷2”。（板书：底×高÷2）

4.阶段小结

师：通过讨论，我们发现这个锐角三角形可以转化成很多种图形，并得出了锐角三角形的面积可以用底×（高÷2）、高×（底÷2）、底×高÷2来计算。“底”写到最前面，“÷2”写到最后面，则这个锐角三角形的面积可以写成“底×高÷2”。（板书：底×高÷2）

5.深入探究

师：锐角三角形的面积可以用“底×高÷2”来进行计算，那么直角三角形和钝角三角形的面积是否也可以用“底×高÷2”来计算呢？

（1）探究直角三角形和钝角三角形的面积公式

师（为学生准备完全一样的直角三角形和钝角三角形各2个）：研究这些三角形，它们的面积是不是也可以用“底×高÷2”来计算？（学生动手操作）

（2）汇报交流（请学生上黑板演示并讲解）

师：直角三角形的面积能用“底×高÷2”来计算吗？

生18：能。把完全相同的两个直角三角形转化成长方形，长方形的长就是原三角形的底，长方形的宽就是原三角形的高，原三角形面积是长方形面积的一半，长方形的面积是“长×宽”，所以原三角形的面积是“底×高÷2”。

师：那钝角三角形的面积能用“底×高÷2”来计算吗？

生19：能。把完全相同的两个钝角三角形转化成平行四边形，平行四边形的底就是原三角形的底，平行四边形的高就是原三角形的高，原三角形面积是平行四边形面积的一半，平行四边形的面积是“底×高”，所以原三角形的面积是“底×高÷2”。

（3）归纳公式

师：同学们通过动手操作、学习研究后发现，直角三角形、钝角三角形的面积也可以用“底×高÷2”来进行计算。因此，所有的三角形面积都可以用“底×高÷2”来计算。（板书：三角形的面积=底×高÷2）

师：如果三角形的面积用S表示，底用a表示，高用h表示，那三角形的面积可以写成什么？“底×高”表示什么？为什么要除以2？

生20：S=ah÷2。“底×高”表示用两个完全相同的三角形拼成的平行四边形的面积，因为其中一个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以要“÷2”。

6. 介绍其他方法

师：今天我们一起推导了三角形的面积计算公式，早在2000多年前，我们的祖先就已经提出了这个公式，请看大屏幕。

师：如图6所示，你看懂刘徽的证明方法了吗？

师：长方形的长是什么？宽是什么？三角形的面积又是什么？

师：刚才我们通过剪一剪、拼一拼等方式，得出了三角形的面积是“底×高÷2”。下面，我们就用这个公式来解决一些简单的实际问题。

【环节三】分层练习，强化三角形面积计算方法的运用

1.基础练习

（1）计算下面三角形的面积。（注意书写格式）

思考：①4×2表示什么？（请学生上台指一指）还有不同的想法吗？（指名学生回答）

②计算第三个三角形面积时为什么不用10这个数据呢？（强调底和高要对应）

师：生活中哪些地方需求三角形的面积？（学生举例）

师（PPT 出示一条红领巾）：要求这一条红领巾的面积，需要哪些数据？（底和高）

师：红领巾的底是100cm，高是33cm，它的面积是多少平方厘米？（学生独立计算））

2.提高练习

选一选：做这样的四块标识牌至少需要多少平方分米的铁皮？（ ）

A.9×7.8÷2 B. 9×7.8÷2×4 C. 9×7.8×2

师：请大家说说选择的理由。

师：老师觉得选项C是正确的，你知道老师是怎么想的吗？

3.拓展练习

（1）会变的三角形

师（出示一组平行线）：这是两条什么线？大家仔细看下面的这条线（闪烁线段），这是一条很神奇的线段，它会变出很多个三角形。（点击鼠标演示）大家比比看，哪个三角形的面积最大？你发现了什么？（三角形的面积与底和高有关，与形状无关；等底等高的三角形面积相等）

（2）求涂色部分的面积（大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米）。

【环节四】总结全课，回顾三角形面积计算公式的推导过程

师：这节课你有哪些收获？我们是怎样推导出三角形的面积计算公式的？ 计算三角形面积时需要注意什么？

五、课后再思考

思考1：两种教学策略如何把握？

对于“剪拼法”与“拼组法”两种教学策略，在教学中应侧重一种，只需将另一种作为补充，以丰富学生对知识的建构。在本节课中，笔者以剪拼法为重，经过反思，笔者认为应以“拼组法”为重。主要原因有以下两点：第一，对于本节课的学习，学生对三角形剪拼成平行四边形的知识储备还不够，因为对于中位线等概念，学生还未掌握；第二，前一课学习平行四边形的面积采用的是割补法，即沿高剪开平行四边形后将其两部分拼成一个长方形，从而推导出平行四边形的面积计算公式，后一课将要学习梯形面积计算公式的推导过程，将梯形剪成一个三角形和一个平行四边形；将梯形剪拼成一个三角形或平行四边形；用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。基于教材的编排顺序，本节课的教学应侧重“拼组法”。

思考2：探究活动是否都要基于精选材料而展开？

在很多公开课中，许多探究活动都是基于精选材料而展开的。在这个过程中，学生积累的活动经验，也是一种基于精选材料探究而获得的学习经验。然而，无论是今后要学习的其他图形面积公式的探究，还是其他知识的建构，都无法提供现成的精选材料，真正富有意义的学习活动，很多时候只能依靠学习者本身。因此，在这节课中教师应为学生设置一个基于基本材料而探究的学习活动，以此帮助学生积累更有价值的活动经验。比如，教师只给每个学生提供一个三角形（无方格背景），随后充分放手，讓学生自主探究三角形面积的计算公式。由于离开了精选材料的帮扶与暗示，很多学生可能会暂时茫然、不知所措，但经过思考后，他们会想到在方格上摆一摆、与同伴拼一拼、动手剪一剪等方法。显然，这种前期“山穷水尽”后带来的“柳暗花明”的学习经历，更能让学生有深刻的学习体悟，真正深入理解知识的本质与内涵。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 王国元.基于学习起点 优化学法指导[J]. 小学数学教师， 2014（5） .

[2] 叶柱.由“教什么”谈起[J]. 小学教学设计（数学），2015（11）.

（责编 黄春香）